定位教学目标实现数学教育--以“函数单调性”教学为例_函数的单调性论文

定位教学目标，实现数学育人——以一节“函数的单调性”的教学为例，本文主要内容关键词为：调性论文,为例论文,教学目标论文,函数论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      数学概念是学生学好数学知识、掌握数学思想方法、提高思维能力的基础，同时又是培养学生科学态度和理性精神的基本要素.而数学概念的概括性和抽象性对刚刚进入高中学习的学生来说具有一定的挑战.为此，在概念教学中我们要充分揭示数学概念的发生、发展和形成过程，体会蕴涵在其中的数学思想方法，发挥概念教学的育人功能.实践证明，要在课堂教学中真正落实上述要求，需要教师对教学目标做好准确定位.近期，笔者参加了市教研室组织的对高一年级教学的视导活动，所听的四节课题同为“函数的单调性”，从教学情况看，不少教师对教学目标的定位还存在着明显的偏差.下面笔者选取其中的一个典型教学案例进行分析，以期与同行切磋.

      一、主要教学环节实录

      环节1：建构概念

      师：大家观察函数

的图象，分别指出函数在哪一段是递增或递减的？

      

：在区间（-∞，3]上是递减的，在[3，+∞）上是递增的.

      师：我们以前研究过的一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数等，都是通过观察函数图象，得出其在哪一段是递增或递减的.但是，数学研究讲求精细、严谨、规范，通过图象进行直观判断，不符合数学研究的要求.那么我们该如何深入研究呢？

      

：当y随x的增大而增大时，函数递增；当y随x的增大而减小时，函数递减.

      师：有了一些进步，但还是不够严谨.要用x和y的大小变化的关系，来刻画函数的递增或递减.请大家翻开教材，我们一起来看教材上是怎样定义的.

      环节2：深化理解

      师：虽然这节课的核心内容已经基本推出，但对于这些内容的认识不能只限于文字上的记忆，还要进一步研究其中的丰富内涵.定义中，除了“

”之外，最关键的词是什么？

      

：应该是“任意”一词.

      师：对，这说明我们不能只用两个特殊值来验证，否则就要犯以偏概全的错误.

      师：函数

有怎样的单调性？

      

：函数在整个定义域内都是单调递减函数.

      

：有两个单调区间，在区间（-∞，0）和（0，+∞）上分别是递减函数.

      师：到底哪名同学是正确的？理由是什么？

      

      环节3：巩固训练

      师：接下来，我们一起完成下面的例题.

      

      例2 作出函数

的图象，并指出其单调区间.

      师：现在大家作图，并根据图象写出函数的单调区间.

      学生完成例2（过程略）.

      

      师：显然，下面需要以1为界，分类讨论.

      环节4：归纳提升

      师：下面，我们一起来归纳本节课的内容.我们掌握和理解了函数单调性的定义和丰富的内涵；巩固了函数单调性的证明方法，即设元、作差、变形、判定、定号；对数形结合、等价转化、分类讨论等重要的思想方法有了更进一步的认识.

      二、教材内容简析

      教学目标对教学设计起着统领作用，准确定位“函数的单调性”的教学目标，需要从以下几个方面进行分析.

      1.内容分析

      （1）单调性本身层面.

      教材中对函数单调性的教学安排分为两个阶段.第一阶段：通过对函数图象的观察，形成对函数单调性的直观认识，用自然语言描述函数单调性的特征，用数学符号语言形成函数单调性概念，通过运算严格证明函数的单调性；第二阶段：用导数研究函数的单调性.高一阶段的函数单调性的教学处于第一阶段.

      （2）函数层面.

      单调性和奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律.单调性是高中教材中研究函数的第一个性质.

      （3）数学学科层面.

      单调性的研究为进一步研究函数的其他性质提供了方法依据，是学习不等式、极限、导数等其他数学知识的基础，在培养学生科学态度和理性精神方面具有重要的意义.

      2.学情分析

      学生在初中阶段对函数单调性有了初步的了解，其主要是通过数形结合的方法，对函数单调性形成直观的认识，并能用自然语言描述函数单调性，这是我们教学的起点.函数的单调性是学生进入高中阶段以后，研究的函数的第一个性质，也是学生第一次用数学符号语言来描述数学概念，第一次尝试用代数的方法证明函数的性质.同时，函数单调性的研究过程对学生今后学习函数其他性质具有较强的迁移作用.

      3.重、难点分析

      重点：建构函数单调性的概念.

      难点：理解函数的单调性.

      4.目标定位

      （1）建构函数单调性的概念.

      （2）掌握判定函数单调性的方法.

      （3）在函数单调性概念建构过程中，让学生体验知识发生、发展和形成的过程，培养其科学态度和理性精神.

      （4）初步掌握用数形结合的方法来研究函数.

      三、课例中教学目标定位的偏差分析

      1.概念的形成过程需要进一步细化

      本课例中，在“建构概念”环节，教师明确了本节课的任务，引导学生通过三个层次逐渐加深对函数单调性的认识.第一个层次是让学生通过对二次函数图象的观察，指出递增和递减区间.第二个层次是学生用自然语言对函数的单调性进行描述，同时指出，需要用自变量和函数值大小变化的关系来刻画“递增”和“递减”（本意是明确如何用数学符号语言刻画函数的单调性），以达到比学生用自然语言更加精细、严谨、规范的要求，指出了给出符号化概念的必要性.在第三个层次，教师用阅读教材的方式给出了符号化概念.我们认为，这种直接将结果呈现给学生的方式，有“灌”的痕迹，显得不够自然.实际上，在函数单调性概念的形成过程中，起主导作用的智力活动方式是学生根据自己的生活体验，通过对函数图象的观察，对初中学习函数单调性描述性定义的回忆，对函数单调性概念进行符号化的建构.其中，观察、分析是基础，抽象、概括是关键.学生能否在观察分析的基础上抽象出函数单调性的本质属性并概括出其定义，是这种智力活动方式成败的关键，也是区分学生的学习是否是有意义的学习关键.从“数学育人”的角度看，函数单调性概念的建构过程，是培养学生科学态度和理性精神的不可多得的素材.要让学生全程参与到单调性概念的发生、发展和形成过程，是因为数学概念教学，不仅在于要使学生掌握书本知识，更重要的是让他们从中体验数学家概括数学概念的心路历程，领悟数学家用数学的观点看待和认识世界的思想真谛，学会用概念思维，进而发展智力和培养能力.[1]

      2.例题的选择值得商榷

      判断、证明函数的单调性是本节课的另一个重点内容.此处是学生第一次用代数方法论证问题，学生独立思考和探究的能力还相对较弱.同时，由于教材的安排，在后续的学习中，还要学习用导数研究函数的单调性.随着研究工具的进步，在高一阶段感到有难度的问题，用导数来进行研究却相对容易.因而在高一阶段，让学生掌握判断、证明函数的单调性的方法，就是让学生掌握对一些简单函数在某个区间上的单调性进行判断和证明的方法，领悟概念的本质.例1中，利用分子有理化判断正负，技巧性较强.为什么要先将分子有理化而不能直接判断？学生未必能真正理解.例3的教学中，为什么以1为界就能判断出代数式

的符号？这些对刚刚接触代数证明的高一学生来讲并不容易.例2是根据函数图象指出函数的单调性，并非本节课学习的重点和难点，也非本节内容中核心的、主干的知识和方法.所以笔者认为例题的选择值得商榷，应选择与本课重、难点吻合且难度合适的题目.

      3.研究方法的一般性需要进一步凸显

      笛卡儿认为，最有用的知识是关于方法的知识.函数的单调性是学生学习函数概念后，研究的第一个函数性质，因而其研究方法具有一般性意义.因此，在建构函数单调性概念的过程中，要体现数学研究的框架和函数性质研究的一般方法.而这些研究方法，就如华罗庚先生所言，数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.

      四、改进教学的几点建议

      1.问题引领，体现建构过程

      根据“问题引领，自主建构”数学教学模式的要求[2]，对本课教学进行如下完善.

      先提出一个初始问题：如何用数学符号语言表示“函数值随自变量的增大而增大”？接着提出问题链.

      问题1：如何用数学符号语言表达“自变量的增大”？如何用数学符号语言表达“函数值随自变量的增大而增大”？

      

      问题3：如果取两个点不行，要取多少个才行？无限个点行吗？

      通过探究，学生发现：对区间I上有限个或无限个自变量满足

，都不能反映“函数值随着自变量增大而增大”的本质.

      问题4：要取遍区间内所有点才行，能做到吗？我们用什么术语就能做到？

      

      问题5：能否把“区间”去掉？

      在上述层层递进的思考问题的过程中，学生通过观察、分析、判断、质疑、抽象、概括等方法来研究问题，这其实就是用科学研究的方法在研究问题.通过以上探究活动，学生参与了建构函数单调性符号化概念的全过程，体验了概念发生、发展和形成的过程，培养了学生的理性思维和理性精神.

      2.用好教材，夯实知识基础

      教材上提供的例子具有很强的科学性、典型性和示范性，具有较高的开发潜质.因此，如何挖掘这些例题的潜在功能，值得我们思考和研究.教材[3]中，例1的两个问题，是对函数单调性概念的深化理解.函数在某个区间上是增函数，但在定义域内不一定是增函数；函数在（-∞，0）和（0，+∞）上分别是减函数，但在整个定义域内不具有单调性，这深刻揭示了函数单调性是函数的局部性质，是某个区间上的性质.用好这个例子，课例在“深化理解”环节中的问题就可以不选.对于教材中的例2，可改编为：判断并证明函数y=

-1的单调性.这样的改编，增加了学生探究的机会，拓展了探究空间，让学生能够总结、梳理判定函数单调性的常用方法，即观察法、定义法、转化法（转化为常见的基本函数进行判断）.证明部分要对照函数单调性的定义，总结出证明函数单调性的步骤，即“作差——变形——判断正负”，严格操作，帮助学生形成方法技能.

      3.总结提炼，揭示一般方法

      要通过对本节内容的学习，让学生了解研究函数性质的基本思想方法，即由形到数，建立函数单调性的概念；再由数到形，运用函数单调性解决各类数学问题.在课堂小结阶段，师生应共同回顾本节课的主要活动程序，为下面研究函数的其他性质奠定基础.

      《普通高中数学课程标准（实验）》提出了教学的三维目标，虽然有很多教师在做积极的探索和实践，但不可否认的是还有部分教师对此并没有太多思考.只有加强对课标的研究，尤其是对“过程与方法”“情感、态度与价值观”两个维度的目标进行深入研究，并领会教材编写意图，才能对教学目标进行准确的定位，真正实现数学教学的育人价值.

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