关于数学基本思想的若干认识与思考，本文主要内容关键词为：思想论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
长期以来，“双基”（基础知识、基本技能）一直是我国数学课程的首要目标.《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011）》）取得的重大进展之一，就是把数学课程的总目标从“双基”发展为“四基”，即“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”.这是在数学课程目标完善方面迈出的重要一步，是我国数学课程改革取得阶段性进展的重要标志.
把思想、活动经验这些能力性目标推上前台、把人们通常认为是“软任务”的思想、经验提升为与“双基”同等重要的“硬指标”，势必在观念转变、经验积累、教学方式更新、资源开发等方面，对教师理解和贯彻课程标准提出新的要求，对改革产生新的、有力度的推动.为此，本文将以基本思想为例，谈谈如何理解和把握这一新变化.
一、数学基本思想在《课标（2011）》中的体现
过去，关于数学课程总体目标的提法经常是“口号”式的，听起来很响亮，但与具体的内容目标之间往往存在脱节现象.新一轮课程改革以来，《课标（实验稿）》和《课标（2011）》都在努力克服这种脱节现象.《课标（2011）》不仅在总体目标中把数学“基本思想”表述得很明确，同时也比较注意把“基本思想”融于课程内容的具体目标之中，注重“基本思想”在基本理念、总体目标中的体现以及与具体内容标准之间的相互呼应与协调，为“基本思想”成为实实在在的目标奠定了较好的课程基础.主要表现在以下三个方面：
其一，数学基本思想是“课程基本理念”的重要组成部分.
《课标（2011）》在基本理念中提出：“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律.它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法.”这里，不仅把“数学思想”作为课程理念提出，还强调了数学思想是和数学结果的形成过程联系在一起的事实，揭示了如何帮助学生积淀数学思想的基本思路与实践路径.
其二，数学基本思想是“课程目标”中具有支撑作用的目标.
《课标（2011）》课程总目标的第一条就是“四基”，这一条是整个数学课程目标体系中具有支撑作用的目标.早在《课标（实验稿）》总体目标关于知识与技能目标的具体阐述中，就已经把“经历将一些实际问题抽象为……问题的过程”定位为“双基”的具体目标，把“过程与结果”作为一个整体纳入“双基”目标之内.这个表述是对传统“双基”目标的重大改变，它意味着《课标（实验稿）》已经开始把“基本思想”视为“双基”的一部分了.不过从实际情况看，这种“纳入”的效果并未尽如人意.在很多人的脑海里，“双基”是效率与准确性的代名词，一提到“双基”，首先想到的就是完成教学任务的多寡、学生成绩的优劣等.例如，当人们发现学生的计算速度没那么快了、错误率有点高的时候，常常会把原因归结为“双基”弱了、“双基”抓得不够.这里的“双基”显然不包含过程，与思想和经验无关.总之，把知识性目标和能力性目标融为一体的想法很好，但在固有的传统面前，事实上反而弱化了后者.
伴随着《课标（2011）》的深入贯彻实施，中国数学课程的历史有可能因“四基”目标的最终确立而改变.
其三，数学基本思想在具体的“课程内容”中几乎无处不在.
如果“基本思想”只是出现在课程标准的理念里、总体目标中，然后就看不见了，那难免不会再成为一句空话.事实上，在《课标（2011）》具体课程内容的表述中，“思想”一词确实难以再见到，但对于基本思想的要求则几乎无处不在，覆盖面很广，渗透得也比较深.这主要是通过描述过程目标的行为动词“经历、体验、探索”来反映的.
与《课标（实验稿）》相比，《课标（2011）》明确提出了在课程标准体系内使用的七个基本行为动词：了解、理解、掌握、运用、经历、体验、探索，并通过它们对具体课程内容的实施提出了要求，从而使具体课程内容的把握尺度更为规范和清晰了.一般说来，“了解、理解、掌握、运用”主要用于对结果性目标或知识性目标的要求，而“经历、体验、探索”则主要用于对过程性目标或能力性目标的要求.于是，凡是和“经历、体验、探索”有关的条目，讲的内容就都与“基本思想”有关了.例如：“经历从日常生活中抽象出数的过程”、“体验数据中蕴涵着信息”、“探索一些图形的形状、大小和位置关系”（见《课标（2011）》第10和12页）等.这里列举出的只是《课标（2011）》两页当中与“基本思想”有关的内容，从中可以看出基本思想的覆盖面及与课程内容之间联系的紧密程度.简言之，有过程的地方就有思想，有经历、体验、探索空间的地方就有思想.《课标（2011）》中的“基本思想”与方法、经验、知识、技能等交织在一起，无处不在，清晰可辨，为在教学过程中实现基本思想这一目标提供了较为丰富的课程资源.
二、数学基本思想的涵义及特征
数学基本思想主要有两个方面的涵义：其一是指推动和支撑数学科学产生与发展的思维活动及其结果.在数学从无到有、从小到大，以至发展成为今天社会生活和科技进步不可或缺的动力的过程中，起着推进和支撑作用的思维活动结果及由此形成的观念就是数学基本思想.这个思想在作为教育内容的数学课程中的体现，就是《课标（2011）》总体目标中的“基本思想”的涵义.具体说来，数学基本思想的另一个方面是指学生在数学学习过程中能够习得的数学思想，即学生在数学学习过程中“再发现”的数学思想.
其实，这两个方面的“思想”是同一个思想，只是所处领域不同.第一方面是就数学的学科领域而言，第二方面是就数学的教育领域而言，两方面的涵义相通.但由于领域不同，二者又呈现出了不一样的功能和目的.第一方面的思想维系着数学的存在与发展，第二方面的思想维系着数学教育的根基与活力.作为教育内容的数学都是现成的结果，这里的“现成”是指在数学学科领域内已经被发现的，是对成人而言的.而对儿童、学习者来说，这些结果一点都不现成，每一个都值得探索，每一个都是一块值得挖掘、孕育着发现的土壤.在这样的探索、挖掘和发现的过程中产生的思维活动，就是推动和支撑数学发展的思想的再现.数学新课程一而再，再而三地强调过程，就是要解决思想从哪里来的问题.没有过程而仅把现成的结果直接端出来就没有思想，都是“又对、又快、又准”，缺少必要的“慢”和“笨”大概也难说有什么思想.
了解了基本思想的涵义，并不意味着已经能把握基本思想了.作为教育内容的数学“基本思想”具体指什么，应当是广大教师最为关心的.由于思想是思维活动的结果，所以不大可能处理得条块清晰、表述得天衣无缝.这是由思想自身的特征决定的：第一，思想本身就其内容而言，属隐性知识或缄默知识，一定是“所知比能言多”，所以无论如何努力勾勒描画，思想必定比任何华丽的辞藻都要丰富不知多少；第二，思想的载体完全是非技术性的，它与人的大脑、周边的环境、整体氛围密切相关.因此，思想的流通会比较困难，灌输完全不起作用，只有通过亲身的经历、体验、探索、领悟、传递、转化来逐步实现.日常生活中的思想工作特别难做的原因也就在这里.
了解思想的这两个特征，有助于我们在走进具体的“思想”之前澄清几个认识：
1.真正的思想一定是朴实、自然，提法不那么“刁钻”和华丽的.就像邓小平说的“让一部分人先富起来”，可能用几十本书去论述，仍会觉得意犹未尽.但即便一本书都没读的普通老百姓也知道这个思想是什么意思.正因为有了这一思想，才有了深圳、珠海等经济特区的建设，才有了中国经济长达三十多年的持续发展.这个思想朴实、自然，贯彻起来效果立竿见影，虽然不是数学基本思想，但对我们理解数学的基本思想有借鉴意义.
2.思想的形成需要氛围，对思想的追求不能太过刻意，要注意营造有助于思想生长的情景和环境.特别是要给过程以特别的关注，使之融入日常教学活动，同时注重过程中的“四基”一体，引导学生在过程中发现、认识和理解数学.这样，数学基本思想才会在不知不觉中生成.
3.对思想做泛化的处理、搞出五花八门的思想类型，可能是无用功.把思想按类型层叠在一起，只能把人吓跑.也不要尝试去给思想做严密的定义，一旦你做到了，千万别沾沾自喜，因为你可能是规范了一套工作程序，或界定了某种方法或技巧，总之会离《课标（2011）》中的“思想”很远.
下面的例子给出了一种作为课程内容的数学思想的较为合理的表述方式，或者说至少在思路上是对了的方式：“……教学新的方法和原理应从实在的需要出发，先使儿童从观察实测具体的事实和计算日常生活中的问题，明白方法的功用，然后用归纳法一步一步地进行，切忌用演绎法推求……”这个表述引自我国1940年的《小学算数课程标准》（见课程教材研究所编写的《20世纪中国中小学课程标准·教学大纲汇编：数学卷》，人民教育出版社2001年版），叙述朴实，娓娓道来，人人读得懂，而且读过之后就会知道该怎么做.虽然从中看不到“思想”一词，但讲的是实实在在的数学基本思想——归纳推理.其中“一步一步地进行”的提法，让人有置身其中之感，而“切忌用演绎法推求”又鲜明地体现出小学的数学思想该如何呵护.这样的写法今天已不多见，却是一种表述“基本思想”的恰当方式，不仅兼顾了前面提到的关于思想的特征，也将那几点认识融入了其中，很值得今人借鉴思考.
三、数学基本思想的具体体现
目前来看，关于数学基本思想的具体所指，比较权威且有说服力的描述来自联合国教科文组织和《数学思想概论》（史宁中，东北师大出版社，2010）一书中的提法.他们提出的基本思想简洁、清晰、科学、合理，都把数学基本思想具体概括为：抽象、推理和模型（建模）.这三种数学思维活动形式构成了数学思想体系中最重要的部分，故为“基本思想”.下面依笔者的理解分别作些说明，一般说来：
1.抽象是一个去生活、去情境的过程，是把现实问题转化为数学问题过程中的思维活动.抽象的结果一般是得到由数字、字母组成的符号串或平面图、立体图一类的直观图示.显然，作为教育内容的数学，抽象无处不在，大家也比较熟悉.
2.任何推理的基本形式都是“如果……那么（则）”，即如何由前提而推及结论，或如何由已知推得未知.从前提到结论的论证过程中的思维活动结果就是推理.长期以来，“演绎”在我们这里几乎成了推理的代名词，其实这是一个很大的误解.事实上，推理的核心是前提清楚、依据充分和步步有据.在这样的前提下，推理形式远不只是干巴巴的“三段论”，而是相当丰富多彩.只要是在前提清楚、依据充分和步步有据的前提下由已知推得未知的思维活动结果都是推理.数学里充满了基于观察、实验、归纳、直观、空间想象的推理，作为教育内容的数学，推理无处不在.
3.模型由“关系及其表示”构成，而关系的发现和表示的获得都离不开抽象和推理，并且通常需要多重的、反复的抽象和推理才能完成.模型是数学的内部世界与外部世界之间的桥梁.数学之所以成为差不多能在解决所有现实问题中派上用场的利器，出面的都是模型.模型就是数学在解决实际问题的过程中思维活动的结果.
需要注意的是，作为思维活动的结果，抽象是从现实问题到数学问题的发展；推理是从数学问题到数学对象、结论的发展；模型是多级、多次抽象和推理的结果，是对象、结论的呈现形式.虽然前面对这抽象、推理、模型要分别介绍，但它们的出现从不是相互独立的，通常以先后关联、起承转合、相互交织的方式，在一起共同发挥作用.
因为思想具有隐性的特征，所以，结合教学实例解读数学基本思想应该是比单纯的文字叙述更为合理的方式.
通过上文粗浅的分析，可以初步梳理出以下结论：
1.基本思想本身反映了数学作为“成长载体”的教育价值，以它为目标，有可能使那些可以普遍迁移的，如兴趣、好奇心、洞察力、质疑能力、探究能力、反思精神、合作精神、创新精神的养成成为现实.
2.把数学基本思想作为课程目标，使得学生有可能通过自己的发现习得新的数学知识内容，在探究过程中领悟数学概念和方法的来龙去脉及用途.有助于从把数学仅仅看成是供记忆复制的一套程序转向思考和探索；有助于从强调机械操练转向强调猜想、发现和解决问题；有助于从把数学看做一个孤立的概念和程序的结合体转向把数学看成一个思想和应用相互交织的整体.
3.关注数学基本思想，有助于促进教学方式的改革，有助于改变“只听不想、只学不问、只知不识”的教学状态，有助于促进教师重新审视“教什么，怎么教，教得怎么样；学什么，怎么学，学得怎么样……”这些带有根本性的问题，为转变教学模式、教学观念、教学行为提供重要的支撑.
虽然数学基本思想已经成熟博大，但数学课程中的基本思想尚属初出茅庐，需要分析、研究、尝试、探求的空间很大.这是一个需要探究、值得探究、必须探究、已经不能不探究的教学领域，让我们以积极的心态共同为之努力.