衢江区职业中专 浙江 衢州 324022
摘 要：数学变式教学是通过变式的方式进行数学技能和思维训练的教学，有概念变式、命题变式、习题变式等多种课堂形式，是概念、定理、公式理解与掌握的一种重要方式。在教学中，教师运用一题多解、一题多变等方式，引导学生自主学习，串联相关知识，变重复性学习为创造性学习，锻炼学生的解题思维，培养学生的问题意识，有利于学生良好思维品质和创新能力的形成。
关键词：中职数学 变式教学 自主学习 创新思维
数学“变式教学”是通过转换问题的条件或结论，变更问题的形式或内容，不断改变数学概念的非本质特征，对概念、定理、命题等进行各种情形的变化，进行数学技能和思维的训练，展现各知识点间的内在联系，充分体现数学问题的本质属性。
中职生数学基础薄弱，学习水平较低，思维方式和认知模式单一，数学学习注意力分散，效率低下。利用变式教学可以让学生由浅入深地学习数学，通过学生的自主探究和教师的适当引导，数学问题被循序渐进地逐个击破，能降低学习数学的难度，使学生在整个学习过程中体验成功，增强自信心。
一、数学概念的变式
数学概念是抽象的，每个概念都有一个明晰的边界，会随着学生认知水平的发展而逐步深化，将概念的外延作为变化范围，通过比较不同变式，归纳出它们的共同特征，深入揭示概念的内涵，有利于学生对概念本质属性的理解。
例如，二面角的概念，是“从一条直线出发的两个半平面所组成的图形”。这里的“半平面”学生觉得抽象难懂，且属于立体图形。此时，教师若通过在黑板上画平面直观图进行教学，会造成视觉上的失真，学生较难理解。我们以书为例，将书翻开，或以教室的门为例，将门打开，就是两个显而易见的“半平面”形象。这样将数学概念与实际生活相联系，用现实直观的东西变抽象为具体，来帮助学生理解概念的内涵，能收到事半功倍的效果。
又如，讲解抛物线的概念时，首先通过展示实际生活中有关抛物线的图片，让学生从感性上认识抛物线，通过回顾点的轨迹：当0<e<1时是椭圆，当e>1时是双曲线，引导学生作图分析，合理猜想当e=1时的图形。其次，指导学生合作学习，自己动手画抛物线，体验画抛物线的过程，并以此了解抛物线上点的特征。最后，教师用几何画板动态演示曲线的形成过程，不断引导学生理解“到定点和定直线距离相等”的含义。这样，通过实验探索规律，引导归纳总结出抛物线的概念，有利于学生对数学概念的本质的认识并激发学习热情。
二、数学命题的变式
数学定理、公理、公式和法则等，都是数学命题的变式。教学时，通过对条件与结论的拓展，以及改变定理、法则的外部形式，从不同角度揭示问题本质，有利于帮助学生深层次理解和灵活运用数学命题。
例如，不等式的基本性质中，三条推论就是三条性质的变式。
基本性质：（传递性）如果a＞b,b＞c,则a＞c；（加法法则）如果a＞b,则a+c＞b+c；（乘法法则）如果a＞b,c＞0,则ac＞bc；如果a＞b,c＜0，则ac＜bc。
变式一：（推论1）如果a+b＞c，则a＞c-b（加法法则的变式）。
变式二：（推论2）如果a＞b,c＞d，则a+c＞b+d（加法法则和传递性的变式）。
变式三：（推论3）如果a＞b＞0,c＞d＞0，则ac＞bd（乘法法则和传递性的变式）。
又如，平面的基本性质中有这样一条公理：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，它的三条推论其实就是公理的三种变式。教材中定理或公式的变式例子很多，这里不一一列举。
再如，用数字1,2,3,4,5,6,7七个数字，若各位数字不允许重复，能组成多少个三位数？
变式一：用数字1,2,3,4,5,6,7七个数字，若各位数字允许重复，能组成多少个三位数？
变式二：用数字0,1,2,3,4,5,6七个数字，若各位数字不允许重复，能组成多少个三位数？
变式三：用数字0,1,2,3,4,5,6七个数字，若各位数字允许重复，能组成多少个三位数？三位奇数？三位偶数？
变式一是各位数字不允许重复和允许重复的区别，变式二是数字0不能作首位的区别，变式三还增加了奇数和偶数的判别，通过一系列问题的变式练习，理清各位数字之间的数量关系，揭示问题本质，有利于提高学生分析问题、解决问题的能力。
三、数学习题的变式
1.一题多解
在中职数学教学中，教师要善于引导学生分析题目的条件，用不同的方法和思维方式去思考问题，探索不同类型的解题思路，通过一题多解，培养学生思维的发散性和创造性。
例如，已知0＜x＜2，求x(2-x)的最大值。
解法一：（配方法）∵x(2-x)=-x2+2x=-(x2-2x)=-(x2-2x+1-1)=-（x-1）2+1≥1，∴当x=1时，x(2-x)的最大值是1。
解法二：（二次函数）设y=x(x-2)=-x2+2x，抛物线开口向下，顶点坐标（1,1），∴当x=1时，有最大值1，即当x=1时，x(x-2)的最大值是1。
解法三：（均值定理）因为0＜x＜2，所以x＞0，2-x＞0，所以x(x-2)≤（ ）２=1，当且仅当x=2-x，即x=1时，等号成立。所以当x=1时，x(x-2)的最大值是1。
解法一首先二次项系数化为1，再配上一次项系数一半的平方，利用完全平方数的非负性确定取值范围，配方法是常用的解题方法。解法二转化为二次函数问题，利用数形结合思想通过二次函数顶点坐标公式求值。解法三运用均值定理，是不等式的一条重要性质，求两个正数的最值问题经常用到。以上三种解法注重知识之间的衔接和联系，开拓了学生的解题思路和思维空间。
又如，求双曲线 － =1被点P(2,1)平分的弦AB所在的直线方程。
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解法一：（弦长公式法）
当该直线斜率不存在时，直线方程为x=2,该直线与抛物线无交点，舍去。
设所求直线的斜率为k,则根据点斜式可得直线方程y-1=k(x-2)。联立可得 ，消去y可得，(4-9k2)x2+18k(2k-1)x-9(2k-1)2-36=0，由中点横坐标可得： ＝ =2,解得k= ，所以直线 方程为：8x-9y-7=0。
解法二：（点差法）设直线与双曲线的两个交点坐标为(x1,y1)和(x2,y2)，将两点坐标代入双曲线方程可得:
，两式作差可得
即 － =0。
由中点坐标公式可得，x1+x2=4，y1+y2=2代入上式可得 = ，即k= ，可得直线方程为：8x-9y-7=0。
解法三：设直线与双曲线的一个交点坐标为(x1,y1)，则另一个交点坐标为(4-x1,2-y1)，将两点坐标代入双曲线方程，可得 ，将两式作差可得，8x1-9y1-7=0，显然点(x1,y1)在直线上， 将另一交点坐标代入，发现也满足方程8x-9y-7=0，所以直线方程为：8x-9y-7=0。
解法一是解决直线与圆锥曲线相交问题中常用的方法，学生容易想到，但计算量较大。解法二是专门针对中点弦问题的一种解法，分析元素之间的关系，运用整体思想解决问题。解法三是学生在自主学习中得到的解法，比点差法更简单快捷。
由此可见，教学中，通过变式，给学生适当的思维时空，不仅能培养学生独立思考的习惯，而且对锻炼学生的思维品质，提高思维能力，具有积极的作用。
2.一题多变
“一题多变”是通过题目的引申、变化、发散，揭示问题的本质，暴露问题的逻辑关系，发展学生的辩证思维能力，培养学生的创造性思维品质。
例如，求数列（1+2+3+…+n）（ + + +…+ ）的和。
变式一：求数列1+ ，2+ ，3+ ，…，n+ 各项的和。
变式二：已知数列的通项为an=n+ ，求数列｛an｝的前n项和。
变式三：已知a1= ，an+1= an+ n+1求数列｛an｝的前n项和。
变式一直接给出数列，可以把该数列分解成等差数列和等比数列求和，学生容易求解。变式二给出的是数列的通项形式，直观性减弱，难度增加。变式三属于拓展类型，给出的等式需要变形才能得出需要的通项公式，对学生的综合运用能力要求较高。
通过这种地起点、缓坡度的变式教学，给学生的思维搭建了拓展的梯子，切合中职生的认知规律，学生容易获得成果体验，有利于培养数学学习的兴趣。
四、几点思考
要想顺利开展变式教学，并达到预期的效果，就需遵循一定的准则，在实际教学中要注意以下几点。
1.变式教学目标要准确
教学目标直接决定了哪些是知识内容的本质特征，哪些是非本质特征，哪些可变，哪些不可变。要达到教学目标，教师要了解学生学情，仔细钻研教材，设计出具体可行的教学过程，紧紧围绕教学目标，不断以“为何要变，为何如此变，如何变更好”为导向，而不能脱离教学目标，为变而变，要克服变式教学的随意性。
例如，新授课的例题、习题或概念变式只需达到本节课的教学目标即可，而习题课的变式除了围绕整个章节内容开展外，还需适当渗透数学思想方法，复习课的习题变式相对要求更高，除了渗透数学思想方法外，还要进行纵向和横向的联系。
2.变式教学要循序渐进
学生的认知是一个由低到高、不断变化的过程，教师在变式教学中要循序渐进，从易到难，逐步深入。如果变式过多，又不注重由浅入深，容易导致学生的思维疲劳，对知识不能深刻理解，要使学生顺利接受新知识，变式的难度要以学生现有的认知水平为基础。
例如，初级认识阶段，习题变化难度不易过高，通过一些习题的简单变式，使学生牢固掌握基础知识，否则会影响学生探究问题的兴趣，进入知识升华阶段，在前一阶段的基础上，通过多种形式的变式训练，使学生的解题水平上升到一定高度，能触类旁通，举一反三，培养学生灵活运用知识的能力。
3.变式教学要有启发性
数学教学是思维活动的教学，改善学生的思维品质是变式教学的目标，学生思维的积极性和主动性依赖于教师的循循善诱，不断启发。教师应精心设计问题情境，引导学生逐步发现、分析，最终去解决问题，通过合理设置思维障碍，激发学生的好奇心，唤起学生的求知欲，使学生主动参与学习和探究。
教师通过示范，教会学生一些构造变式的常用方法。例如，通过改变原问题条件的描述方式来构造变式，通过对原问题的类比或对比来构造变式，通过对原问题的深层次发问来构造变式，甚至可以将原问题改造成开放题来构造变式，根据学生的能力水平，循循善诱。
4.变式教学要有创新性
教学过程是学生思维活动的过程，只有当学生具有良好的学习动机，认知和情感都融入到教学活动中，实现自主学习时，才能取得最优的学习效果。变式教学必须由学生自主参与才能达到预期目标，而要使学生自主参与，需要养成勇于探索、勤于思考、敢于创新的学习习惯。这就要求教师必须为学生创设自主探索、开拓创新的激励氛围，给予学生可以开垦思维的土壤，尽量挖掘好点子、好创意，开展丰富有趣的变式。
例如，教师要指导学生自创变式，训练学生思维的深度、广度，对提出有价值的变式问题的学生，要及时给予表扬，让学生感受成功感的同时，激励其他学生积极参与，开动脑筋，发表不同意见，不断活跃学生的创造性思维和创新意识。
总之，教师运用丰富多彩的变式教学，可以创设生动活泼、富有启发性的情境，为学生搭建探究的时空，发挥学生的想象力和创造力。针对中职数学教学实际，要求教师必须对变式教学的认识更加深刻，不断探索、不断完善，使变式教学更好地为中职数学课堂服务，更进一步提高教学质量。
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论文作者:刘小康 邵志刚
论文发表刊物:《教育学文摘》2016年1月总第180期
论文发表时间:2016/3/29
标签：学生论文; 数学论文; 解法论文; 式教学论文; 概念论文; 直线论文; 思维论文; 《教育学文摘》2016年1月总第180期论文;