在数学实验中发展学生的数感，本文主要内容关键词为：数学论文,学生论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“数感”源于英文文献中的“number sense”.1974年Bob Wirtz在讨论数的概念的教学时就提出了“number sense”的观点，他要求学生从自己日常的生活经验中去了解数，并由这些经验拓展为更多的数的概念.在经过有针对性的教学后，他发现，学生都对数具有一种特别的感觉，他们能够直观地察觉到数与数之间的关系，也能察觉到这些数在现实世界中所代表的意义，也就是产生了他所说的数感.1989年美国的“数学课程标准与评价标准”中提出数感就是对数的一种直观的认识.2000年出版的“美国数学课程标准”指出，数感是随着学生建构意义和运算技能的水平，认识和运用数之间的关联解决问题的水平，以及建立新、旧知识之间的关联的水平逐级发展而发展的.我国《义务教育数学课程标准（2011年版）》将数感作为学生发展的核心概念之一，认为建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系，明确了数感是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟.这里的“感”是外界刺激作用于主体而产生的，是通过肢体（如感官等）而不是通过大脑思维，它含有原始的、经验的成分.“悟”是主体自身的，是通过大脑思维而产生的.“感悟”是既通过肢体又通过大脑.因此，既有感知的成分又含有思维的成分. 随着初中数学内容中负数、无理数的逐步引入，以及学习了字母表示数后产生的变量及其关系，为学生数感的进一步发展提供了新的空间.数学实验是通过动手、动脑做数学的一种数学学习活动，是学生运用有关工具，在数学思维参与下进行的一种以人人参与的实际操作为特征的数学验证或探究活动.数学实验可以为学生提供丰富的情境，给学生足够的时间和机会，让他们自己动手、观察、思考和感悟，并与实际生活联系起来，了解数学的本质意义，帮助学生进一步理解数的基本意义和数的相对大小，以及运算对数的影响，并学会利用参照物来测量一般的物体，运用于日常生活中等，有利于发展学生的数感. 一、在数学实验中感悟“数的意义” 数感的发展基于学生对“数”本身意义的理解和感悟.负数的引入，给学生的学习带来许多理解上的困难，如什么是“比没有还少”？为什么“负负得正”？著名的数学家、物理学家帕斯卡就曾遇到过这样的事情.一天，他与好友，神学家、数学家阿尔贝聊天，突然，阿尔贝说：从来都是“较小的数：较大的数”小于“较大的数：较小的数”，但出现负数后，就有“（-1）:1=1:（-1）”，这不是很奇怪吗？ 负数产生的意义（必要性）及合理性对学生来说并不难理解，我们完全可以用生活事例中许多具有相反意义的量来让学生直观感悟而达到理解.而真正让学生接受负数还需要让学生感受到它的运算的合理性.例如，在“有理数的加法法则”中，我们可以借助生活中的具体事例及模拟实验的过程达到这样的目的. 首先，设计如下的问题情境及系列问题感受负数，初步引入有理数的加法. 若规定足球比赛中赢球为“正”，输球为“负”，那么主、客场两场比赛的过程和结果有各种不同的情形.例如，如果主场比赛赢了3球，客场比赛输了2球，那么两场比赛净胜1球.借助已有的知识和生活经验，上述过程和结果可以表示为（+3）+（-2）=+1. 问题1：你能说出这样的比赛可能出现哪些不同的情形吗？能用数学式子表示吗？ 问题2：观察各种不同的算式，你能从中得到哪些启发，并归纳出两个有理数相加的法则吗？ 问题3：“两个相反数相加的和为0”与“异号两数相加的法则”有什么关系？ 问题4：有理数加法与小学学习的数的加法有什么联系与区别？ 然后，设计一个模拟实验活动，让学生从形的角度感悟有理数的加法运算法则. 操作1：把笔尖放在数轴的原点处，沿数轴先向正方向移动3个单位长度，再向负方向移动2个单位长度，这时笔尖停在表示有理数“1”的位置上（如图1）.用数轴和算式可以将以上过程及结果分别表示如下.
操作2：如图2，把笔尖放在数轴的原点处，沿数轴先向负方向移动3个单位长度，再向负方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？试用数轴和算式分别表示以上过程及结果.
再做一些类似的实验活动，并写出相应的算式. 上述实验采用人人都可以动手操作的笔尖在数轴上两次移动的方法，直观感受两次连续运动中，点的运动方向与移动的距离对实际移动效果产生的影响，通过“数与形”的转换，让学生在对有理数加法运算法则理解的同时，进一步感悟到“负数”的意义和作用. 又如，无理数中所隐含的“无限”“不循环”给学生的理解带来了困难.正如在无理数产生初期，16世纪德国数学家斯蒂菲尔在他的重要著作《整数算术》中说的那样：几何图形的问题中，由于当有理数不行而代之于无理数时，就能完全证明有理数所不能证明的结果.因此，我们感到不能不承认它们确实是数.但是，别的考虑却迫使我们不承认无理数是什么数.如，当我们想把它们数出来（用十进制小数表示）时，发现他们无止境地往远跑，正如无穷大一样，是隐藏在一种无穷的迷雾后面的东西. 我们可以借助下面的数学实验，让学生亲历无理数的构造过程，帮助学生感悟从有限小数到无限循环小数再到无限不循环小数，在比较中理解无理数的本质含义. 第一，通过以下操作实践活动，从中发现分数都可以化成有限小数或无限循环小数：（1）将分数
转化为小数的形式.（2）观察上述小数中的无穷小数，其小数点后出现的数字有怎样的规律？（3）再选两个分数试试看.（4）根据上述活动，你能得到怎样的结论？ 第二，通过玩掷骰子写小数游戏（或者利用Excel软件产生随机数字）让学生体会到无限不循环小数是真实存在的.两名学生合作进行掷骰子实验活动：一名学生掷骰子，另一名学生在小数0.3的后面写上骰子掷出点数.（1）写出掷20次后的这个数.（2）如果骰子不断地掷下去，点数不停地记下去，那么将得到一个无限小数，这个无限小数的小数点后的数会循环出现吗？为什么？ 第三，尝试构造无限不循环小数，进一步体会到无限不循环小数是客观存在的.按照每两个8之间依次增加一个0构造一个无限不循环小数7.808008000800008…，尝试再写一个类似的无限不循环小数. 二、在数学实验中感悟“数的大小” 数是一种感知，是人类对于生存环境的一种悟性.就像对于颜色的分辨也许是最为原始的美的感知一样，数的“多少”“大小”的分辨也许是最为原始的关于数的感知. 例如，我们可以结合学生身边熟悉的环境或事例，在具体的操作、体验、思考等过程中让学生感受数的“大”和“小”. （1）猜一猜：教材的一页纸的厚度. （2）量一量：用测量工具量出一本教材的厚度. （3）算一算：根据教材的页码数，计算出一页纸的厚度. （4）想一想：如果把50本教材叠加在一起，你能估测出它与身边的哪种物体差不多一样高？100本教材呢？多少本教材叠加在一起能与我们的教学楼一样高？说说你的理由. 事实上，由于一页纸的厚度太小，学生很难看出或描述出其厚度，也无法用相关的测量工具量出.因此，通过“量一量”，引导学生先估计或者测量出一本书的厚度，再根据这本书的张数计算一页纸厚度的近似值.由于在测量一本书的厚度时的误差会比较大，对结果产生的误差也就大，因此可以改进方案.例如，用更多相同的教材堆起来，测量其高度，再进行计算，这样得到的一页纸的厚度会更精确些.本活动意在通过实验，发展学生的逆向思维，让学生经历“遇到问题—提出假设—建构模型—验证发现”的过程，发展学生解决问题的能力，学会用“积多求少”的方法测量很小的物体的某种数学属性，孕育“小数”数感. 又如，在学生学习“幂的乘方”时，为了更好地让学生感悟“幂级”对数的大小变化的影响有多大，我们可以设计如下的数学实验. （1）算一算：2的平方，3次方，4次方…… （2）试一试：将一张厚度为0.1mm的纸折叠几次，其厚度就能超过一本教材的厚度？想象一下，如果将这张纸对折50次，那么总厚度将会达到多少？ （3）如果地球到月球的距离约为384000km，与（2）中的数据相比，你有什么感想？ 在上述实验中，学生通过测量和估计叠合后纸张的厚度，从合情推理过渡到演绎推理.通过计算，感受数字的变化；通过比较，发现数字的变化对事物变化的影响.一张纸可以叠合到与楼一样高，甚至比地球到月球的距离还要大，给学生强烈的思维冲击力，拓展学生的视野和想象力.本实验让学生经历物体几何级数的增长过程，感受数字的变化对实际物体的影响，培养学生的估算能力，孕育“大数”数感. 三、在数学实验中感悟“数量关系” 从小学到初中，学生对数的认识将经历从算术到代数、常量到变量的发展过程，其中对字母表示数的感悟是重要的基础.哈伯（Haipei）的研究曾指出，学生会随着学习的深入，数学知识的增长和智力的成熟，经历从字母表示已知量到字母表示未知量的转变过程，而学生达到将字母理解为变量水平，需要经历熟练使用字母的若干阶段，从中体会由特殊到一般的过程.借助数学实验，可以让学生在操作思考的过程中感受数的变化及数量之间的关系，发展数感. 例如，我们可以设计用纸片进行对分及拼图的实验. （1）操作：一张纸片，设它的面积为1.对折纸片，沿折痕将其一分为二，两部分面积都等于
，用
作为标签写在其中一块的中间，并把它扔在一边；在余下的纸片上重复上述操作，则被扔掉的第二块纸片上的标签为
，余下的纸片面积为________（这里要引导学生用幂的形式去表示，便于发现规律）；当进行第n次操作后，扔掉的第n块纸片上的标签为_________，余下的纸片面积为________. （2）思考： ①能否在某一次操作后，将纸片全部扔光？为什么？ 尽管剩下的纸片越来越小，但总是存在的，第n次操作后余下纸片的面积为
②请同学们把扔掉的纸片按原图位置放回（重新拼图）.观察你所拼出的图形，你能发现什么？
（3）反过来，如果我们把口袋里的最后一张纸片的面积设为1，那么根据你所拼的图形，又能得到哪些类似的结论？ 根据图形或者上面的等式，学生也容易得到等量关系
在上述的操作思考的过程中，让学生仔细体会折纸、拼图得到的收获，培养学生发现问题的能力和数学表达能力，并能利用拼图解释算式的正确性和实际意义，感悟数量变化的过程及其相互关系，进一步发展学生的数感. 四、在数学实验中感悟“估算方法” “估算”（computational estimation）涉及理解数的大小，修正、调整数字等能力，这些能力均包含在数感的基本特征中.因为数学应用中经常遇到的是估算而不是精确计算，估算可以使数学与真实生活情境联结起来，不至于使数学失去意义，并能判断数字在情境中的精确程度.估算是决定答案是否合理的一种能力，也是数感的特征之一.由于估算一般都与实际问题有关，因此，教学时需要注意设置有意义的教学情境. 例如，我们可以通过对学生熟悉的A4纸的长与宽的估计、度量、折叠等活动，感受数（长度）的大小（长短）及倍数关系，同时感受无理数就在我们身边. （1）观察：观察一张A4纸的两个边长，哪一边更长？ （2）验证：利用叠合的方式，验证你的猜想. （3）估算：估计A4纸的长与宽之比. （4）度量：度量A4纸的长与宽，并求出它们的比值，并与你估计的值进行比较. （5）操作：将A4纸按如图4所示的方式折叠，说说你有什么发现.
（6）将A4纸对折，取其一半.求其长与宽的比，并与A4纸的长与宽的比进行比较，说出你得到的结论. 在上述实验的过程中，首先，通过观察，估计并验证A4纸的长与宽的大小关系，再通过对长、宽的比值做出估计，并通过度量的方法获得长与宽的比的近似值.再度量A4纸的长与宽，并计算出它们的比值，此时得出长、宽的比的近似值.然后按照图4所示的方式折叠，验证折出的正方形对角线与A4纸的长边重合获得A4纸的长与宽的比为
:1.通过直观感受培养数感，激发数学的应用意识.其次，再将A4纸对折，取其一半，通过观察及之前的折叠方式，发现仍然与A4纸有同样的性质，再通过A4纸的长与宽之比计算半张A4纸的长与宽的比，进行理性的思考，并证明发现的结论. 又如，我们可以利用测量教学楼、旗杆或学校中的一棵大树等有关物体高度的活动，并尝试用不同的方法获得它们的近似值，发展估算能力. （1）估计旗杆的高度：每个小组的每名学生分别对校园旗杆的高度进行估计，并记下估计值. （2）计算这些估计值的平均数. （3）分组测量旗杆的高度：可以借助以下不同的测量方法，如测量出某学生与旗杆同一时间在阳光下的影长，利用相似图形的性质；借助标杆和相似图形的性质；利用测角仪及锐角三角函数等. （4）将测量计算出的数据与（2）中估计的平均值进行比较. （5）思考改进测量方法，提高数据的准确度. 我们还可以让学生通过经历估测身高、估测时间、估测体型等活动的过程，引导他们运用统计的相关知识，经历解决问题的全过程：提出问题—收集数据—整理、描述数据—分析数据—发现结论—验证结论，在发展学生的统计观念的同时发展他们的数感. 许多能力不是仅仅通过书本的学习就能获得的，而是需要实践，并在实践中有意识、有目的的反思，这就是一种感悟.数感是对数的一种感悟，学生数感的发展，需要经历感悟多少、用数表示多少、建立数的关联、数的运算、形成熟悉概念等过程，数感的建立开始更多依靠直接经验的积累，到了一定程度后靠经验、理性的叠加，理性的叠加就形成了观念.因此，数感的培养需要直观经验与理性思考的有机结合，而数学实验所包含的情境、体验、思考等，正好提供了数感获得的条件与途径.
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