变体教学应注重揭示数学作为核心认知活动的本质--对三年级专项复习课的思考与建议_数学论文

变式教学，应以揭示数学本质为核心认知活动——对一节初三专题复习课的思考与建议，本文主要内容关键词为：应以论文,认知论文,本质论文,式教学论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      笔者主持的名师工作室到学员所在学校组织初三复习教学研讨活动，期间听了几堂课，其中一节“再认全等三角形”引起了大家的关注.这位上课的教师教龄已近20年，应该积累了较丰富的教学经验，看得出她对教学内容也进行过精心准备，并且这个班级学生的数学基础与思维能力也很不错，按说教学效果不会太差.但一堂课下来，大家整体感觉课的效果不太好，她本人也感到与预设的课堂有较大落差.那么到底是什么原因导致了这种反差，因此，有必要对这节课进行深层次的解剖与反思.为客观分析情况，笔者尽量还原课的原貌.

      一、教学大致流程

      授课老师采用了时下比较流行的导学单上课，课的进程如下.

      1.开门见山，提出本课的复习目标

      （1）复习三角形全等的基本模型.

      （2）在图形旋转过程中发现全等三角形，并善于在复杂图形中分离基本图形.

      （3）利用基本图形构造全等三角形解决问题.

      2.再认三角形全等的基本模型

      在呈现了经分类后的全等三角形的基本模型后（如图1），请学生填空并回答.

      我们发现两个全等三角形组成的图形都可以看成由一个三角形经过平移、翻折、旋转等变换得到.掌握这些基本图形可为寻找和构建两个全等三角形，并进一步解决几何问题打下坚实的基础.

      

      3.发现与探究

      问题1：如图2，△ABC与△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，D为BC上一点，你能发现哪些结论？

      

      过程描述：学生很快发现了如△ABD≌△ACE，BD=CE，∠BAD=∠CAE等结论，教师请一名学生阐述产生这些结论的理由后，立即呈现了下面的变式.

      变式1：如图3，将△ADE绕点A旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接BD、BE，则下列给出的四个结论中，其中正确的是________.

      

      ①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；

      过程描述：经过不到2分钟的思考，老师开始叫学生回答.一名学生利用△ABD≌△ACE得到BD=CE，∠ACE=∠ABD，进而推得，∠ACE+∠DBC=∠ABC=45°，∠CDB=∠BAD=90°，即BD⊥CE，下面的同学也都表示赞同.但对于结论④一时无法下断言，这时老师介入，引导发现有：

，这时学生注意到

.故此结论错误.

      变式2：如图4，将△ADE绕点A旋转，且当四边形ACDE是平行四边形时，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE.则变式1中的结论还成立吗？你能证明CD·AE=EF·CG吗？

      

      过程描述：学生经过几分钟的思考后发言，变式1中的结论①②③仍成立，结论④仍不成立.由BD⊥CE，得∠EAD=∠CGD.又AE//CD，可得∠AEF=∠GCD.故有△EAF∽△CGD，于是得到

，即有CD·AE=EF·CG.

      变式3：如右图5所示，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且顶角相等，当点D落在BC边所在的直线上时，连接CE.若∠BAC=∠DAE=d，∠DCE=β，你能发现α、β之间的数量关系吗？

      过程描述：当学生利用△ADB≌△ACE得到∠ACE=∠B，故∠DCE=2∠ACB，进而得到α+β=180°时，老师并没有让学生再仔细审视一下题中的条件.而是指着“点D落在BC边所在的直线上”这个条件说，老师以为你们肯定会分三种情况讨论才对啊，接着她在PPT上呈现了如图6、7所示的图形，接着学生用近5分钟的时间发现了这两种情形下都有α=β.

      

      

      教师提问：通过上面问题的解答，大家学会了什么？

      一名学生说：都可以利用全等的知识来解决……

      老师补充道：解题中要注意分类的条件，对于复杂的图形，可以先分离出基本图形……刚才是三角形在作旋转变换，下面让我们来看看直线旋转的情况吧.

      问题2：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E.

      （1）当直线MN绕点C旋转到图8的位置时，你发现了什么？这时线段DE、AD、BE之间有怎样的数量关系？

      

      过程描述：这个一线三等角模型学生大概很熟悉，故此，直接说出△ADC≌△CEB，进而得到DE=DC+CE=AD+BE.

      （2）当直线MN绕点C旋转到下页图9与下页图10的位置时，这时线段DE、AD、BE之间又有怎样的数量关系呢？

      

      过程描述：学生还是通过△ADC≌△CEB很快推得DE=CD-CE=BE-AD与DE=CE-CD=AD-BE.这时老师说：刚才直线是绕着直角顶点C旋转，若把直线绕点A旋转，又会怎样呢？

      变式：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点A，且BD⊥MN于点D.

      （1）如图11，求证：

      （2）探究：当MN绕点A旋转到图12、13所示的位置时，线段BD、AD、CD之间满足怎样的数量关系？试写出你的猜想，并选择其中一种情况进行证明.

      

      过程描述：对于第（1）问，几分钟过后，学生仍然不得要领.这时教师是这样启发的：从结论中的

CD你能联想到什么？

      又过了几分钟，终于有一位学生站起来回答：过点C作CE⊥CD，且使CE=CD，连接BE，这样

CD就是DE，这时只要证明BE=AD.而AC=BC，CD=CE，∠ACD=∠BCE=90°-∠DCB，于是△ACD≌△BCE，也就有BE=AD.

      还没等他说完，下面同学就已经议论纷纷，一个同学大声说：你怎么知道B、D、E在同一条直线上？刚才这位同学大概也意识到了需要证明存在问题，不好意思地坐下了.

      这时教师说：那就过C作CD的垂线并交DB的延长线于E吧.下面持不同意见的同学马上说：但这样证明△ACD≌△BCE又缺少CD=CE这个条件了呀？

      正当下面同学一筹莫展时，一名学生兴奋地说：用四点共圆啊，因∠ACB=∠ADB=90°，所以A、C、B、D四点共圆.所以∠CDE=∠CAB=45°，于是易知CD=CE.

      大概涉及四点共圆这个超纲的知识，部分学生还有一些模糊，于是老师进行了一番解释，因∠ACB=∠ADB=90°，故若以AB为直径画圆，可知C、D两点都在圆上，所以，利用同弧的圆周角相等可以得到∠CDE=∠CAB=45°.下面的同学好像听懂了，老师接着说，还有其他方法吗？话音未落，下课铃声已然响起，后面的两个变式题已来不及探究，老师只得草草自行总结了几句便结束了.

      二、思考与建议

      细细回想课堂中的场景，最深的印象就是老师急.急在抛题、解题、讲题，好像不如此，自己精心预设的大餐学生就难以全部享用.在这种情绪影响下，教师方面希望题目一给出，学生方面就最好有条件反射似的回应.于是乎，课堂已然退化成模式识别、方法回忆、快速解题的舞台，在此情形下，学生没有从容思考的时间，当然也很难有精彩的课堂生成.那么从课堂教学的本原出发，我们或许应该思考这样几个问题，即为什么而教（学情分析与复习目标的确立）、教什么（教学内容的选择与设计）、怎么教（课堂组织及有效启发）的问题.

      1.专题复习的复习目标是什么

      笔者刚到学校看到安排表上的课题时，原以为是一节对全等三角形的判定与性质进行全面梳理与应用的复习课.等到上课前拿到学案，才知道是专门研究旋转变换下的三角形全等.既然是专题复习，笔者想本课的复习目标定位与变式设计方面就有一些问题.在笔者看来，对于这些基础与能力都不错的初三学生而言，本课的任务并不在于多解决一些数学问题（事实上学生的题目解得够多了，但对数学的认识却可能还是零散的、孤立的），而是要让他们站在系统的高度上体验问题之间的内在联系，进而发现数学的规律.因此，本课的重点应是在图形的旋转过程中，引导学生发现哪些几何结论（数量关系，位置关系，图形关系）是不变的，为什么不变.因此，本课的复习目标可以界定为：（1）能善于在图形的旋转变换中发现全等三角形的几何结论，并体会不变的本质源于图形的旋转.（2）在正确分析已知信息的基础上，能较自然地通过旋转变换构造全等三角形来解决问题.（3）在体验变与不变的辩证关系中，进一步理解数学基本方法，不断积累数学问题解决的基本经验.

      2.教学设计怎样围绕目标展开

      从复习目标的调整再来审视本课的教学设计，笔者认为问题在于：其一，本课开始的两个环节无此必要.这是因为，当学生对本课的学习内容还没有全面清晰地体验时，这时提出复习目标无非是用老师的认识来代替学生的思考；而环节2对全等三角形基本模型的分类，也不是本课的最主要任务.其二，设计问题1系列变式的意图应放在让学生充分体验到图形在变而规律不变的数学本质.从这个意义上看，变式1、2的设计方式与问题1之间前后脱节，有另起炉灶之嫌.容易使学生的认知停留在孤立的一个个问题解决之中，难以揭示问题的本质.因此，这两个变式不如舍弃.不妨对设计进行这样的改造：直接呈现问题1，让学生在从容思考后尽可能地发现结论，如△ABD≌△ACE，BD=CE，BD⊥CE，

……然后请学生思考，当点D在BC（或CB）的延长线上时，这些结论是否仍然成立？为什么？从而让学生在揭示数学本质，体验变与不变辩证关系的同时，为下面变式3的解决提供恰当的思维方向.其三，更深刻的还在于，若学生在分类解决变式3的过程中，发现存在α+β=180°与α=β两种答案，而与前面的认识产生一定的困惑时，老师可以引导学生观察图5中的∠DCE若看成是从D到E顺时针旋转的话，而图6、7中的∠DCE则显然是由D到E经逆时针旋转而成，于是，若同样换成顺时针旋转，则两者的结果是高度一致的（如图14）.从而使学生对数学本质的把握产生质的飞跃.

      

      3.启发思考，如何让方法更有效

      问题2的变式因涉及构造辅助线，显然是本课的难点所在.在这里如何进行有效的启发，并能合理生成方法.这样既能体现一名教师的数学素养，也能反映出教师的课堂教学机智.遗憾的是，课堂上老师似乎有些准备不足.第一，当学生按照教师的启发构造出辅助线，进而证明△ACD≌△BCE并受到同学质疑时，此时若教师引导学生注意观察这两个三角形的关系，容易发现△BCE就是由△ACD绕点C旋转90°而来，这样自然就能引导发现∠CBE+∠CBD=∠CAD+∠CBD=360°-∠ACB-∠ADB=180°，即B、D、E三点共线，而不需要就四点共圆解释半天.第二，对于a+b=c型的几何结论，问题2事实上已进行了很好的铺垫（否则这个设计就失去了应有的价值），即运用截长补短法思考，这是几何证明的一般性思考方法，学生应该也积累了这方面的经验.所以可否这样启发，能否通过某种方式把AD与BD拼成一条线段，学生自然容易想到把△ACD绕点C顺时针旋转90°或把△BCE绕点C逆时针旋转90°这两种基本的证明思路，甚至于若有学生提出在DN上截取DE=DB时（如图15），还能相机引导学生发现△ABE∽△CBD，进而有AE:CD=AB:CB=

，即BD+AD=AE=

CD.而上述方法又能很好地迁移到另外两个变式的证明之中.这样既使本课的教学围绕复习目标连贯一致，也能更好地凸显旋转变换中变与不变的数学本质.

      

      三、结束语

      笔者一直认为，近年来风起云涌的课堂教学模式变革，对提高学生的学习兴趣与自学能力等方面固然起到了一定的积极意义，但更重要的是，数学教师必须在数学教育的本质理解与专业素养的提高方面下工夫.唯有如此，才能有效促进学生的思维能力发展，并且使学生对数学学习产生积极的情感体验，从而更好地实现数学教育的育人价值.

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