安徽省合肥市第七中学高三（十）班 合肥 230001
摘要：《数学③》P4页例2“二分法”条件不清楚及数据来源无计算过程，让人茫然。通过作图分析和详细计算解答，才豁然开朗。
关键词：二分法；零点；区间；舍去；满足；缩小；探究
1前言
《数学③》（普通高中课程标准实验教科书，人民教育出版社A版）P4页例2：写出用“二分法”求方程x2-2=0（x﹥0）的近似解的算法。其“二分法”成立条件及数据来源无计算过程，让人茫然。
2疑问
1、“二分法”的基本思想中有：根据“f（a）•f（b）﹤0”。该条件未提出为什么是“﹤0才成立”和“﹥0不成立，又是什么状况”？
2、表1-1中的数据是怎么获取的，未做具体详细计算解答。
3计算解答
3.1做图
对抛物线方程Y= x2-2做图：在x轴上取0、0.25、0.5、0.75、1、1.25、1.5、1.75、2，对应Y函数值分别为-2、-1.9375、-1.75、-1.4375、-1、-0.4375、0.25、1.0625、2，见本文图1.1-1。
“二分法”提到的零点即（x，0）点，见图中抛物线与x轴交点。“二分法”的目的是求抛物线与x轴交点的近似值。
3.2数据计算
①把函数f（x）的零点设在的区间[1,2]，满足f（1）•f（2）=（12-2）×（22-2）=（1-2）×（4-2）=（-1）×（2）﹤0，即零点左边f（1）=-1在x轴下方、零点右边f（2）=2在x轴上方。若f（a）•f（b）≮0，则f（a）和f（b）的竖直线段将同时出现在零点左边或右边，这样不能进行“二分法”。
将区间[1,2] “一分为二”，得[1，（1+2）/2=1.5]和[（1+2）/2=1.5，2]，找零点在这两个区间的哪一个？根据f（1）•f（1.5）=（12-2）×（1.52-2）=（1-2）×（2.25-2）=（-1）×（0.25）﹤0，说明零点在[ 1,1.5] 区间；[ 1.5，2] 区间舍去，因为f（1.5）•f（2）=（1.52-2）×（22-2）=（2.25-2）×（4-2）=（0.25）×（2）﹥0，零点在[ 1.5，2] 区间左侧之外（两个函数值竖直线段均在x轴上方），不能进行“二分法”。
②把函数f（x）的零点所在的区间缩小到[ 1,1.5] 。
将区间[ 1,1.5] “一分为二”，得[1，（1+1.5）/2=1.25]和[（1+1.5）/2=1.25，1.5]，找零点在这两个区间的哪一个？根据f（1）•f（1.25）=（12-2）×（1.252-2）=（1-2）×（1.5625-2）=（-1）×（-0.4375）﹥0，舍去，因为零点在[1，1.25] 区间的右侧之外（两个函数值竖直线段均在x轴下方）。检验零点是否在[1.25，1.5]区间内？根据f（1.25）•f（1.5）=（1.252-2）×（1.52-2）=（1.5625-2）×（2.25-2）=（-0.4375）×（0.25）﹤0，满足区间要求。
③把函数f（x）的零点所在的区间缩小到[ 1.25,1.5] 。
将区间[ 1.25,1.5] “一分为二”，得[1.25，（1.25+1.5）/2=1.375]和[（1.25+1.5）/2=1.375，1.5] ，找零点在这两个区间的哪一个？根据f（1.25）•f（1.375）=（1.252-2）×（1.3752-2）=（1.5625-2）×（1.890625-2）=（-0.4375）×（-0.1094）﹥0，舍去，因为零点在[1.25，1.375] 区间的右侧之外（两个函数值竖直线段均在x轴下方）。检验零点是否在[1.375，1.5]区间内？根据f（1.375）•f（1.5）=（1.3752-2）×（1.52-2）=（1.890625-2）×（2.25-2）=（-0.1094）×（0.25）﹤0，满足区间要求。
④把函数f（x）的零点所在的区间缩小到[ 1.375,1.5] 。
将区间[ 1.375,1.5] “一分为二”，得[1.375，（1.375+1.5）/2=1.4375]和[（1.375+1.5）/2=1.4375, 1.5] ，找零点在这两个区间的哪一个？根据f（1.375）•f（1.4375）=（1.3752-2）×（1.43752-2）=（1.890625-2）×（2.06640625-2）=（-0.1094）×（0.0664）﹤0，说明零点在[ 1.375,1.4375] 区间；[1.4375, 1.5] 舍去，因为f（1.4375）•f（1.5）=（1.43752-2）×（1. 52-2）=（2.06640625-2）×（2.25-2）=（0.0664）×（0.25）﹥0,零点在[1.4375, 1.5] 区间左侧之外（两个函数值竖直线段均在x轴上方），不能进行“二分法”。
⑤把函数f（x）的零点所在的区间缩小到[ 1.375, 1.4375] 。
将区间[ 1.375, 1.4375] “一分为二”，得[1.375，（1.375+1.4375）/2=1.40625]和[（1.375+1.4375）/2=1.40625, 1.4375] ，找零点在这两个区间的哪一个？根据f（1.375）•f（1.40625）=（1.3752-2）×（1.406252-2）=（1.890625-2）×（1.9775390625-2）=（-0.1094）×（-0.0225）﹥0, 舍去，因为零点在[1.375，1.40625] 区间的右侧之外（两个函数值竖直线段均在x轴下方）。检验零点是否在[1.40625，1.4375]区间内？根据f（1.40625）•f（1.4375）=（1.406252-2）×（1.43752-2）=（1.9775390625-2）×（2.06640625-2）=（-0.0225）×（0.0664）﹤0，满足区间要求。
⑥把函数f（x）的零点所在的区间缩小到[1.40625，1.4375]。
将区间[1.40625，1.4375] “一分为二”，得[1.40625，（1.40625+1.4375）/2=1.421875]和[（1.40625+1.4375）/2=1.421875, 1.4375] ，找零点在这两个区间的哪一个？根据f（1.40625）•f（1.421875）=（1.406252-2）×（1.4218752-2）=（1.9775390625-2）×（2.021728515625-2）=（-0.0225）×（0.0217）﹤0，说明零点在[1.40625, 1.421875] 区间；[1.421875，1.4375] 区间舍去，因为f（1.421875）•f（1.4375）=（1.4218752-2）×（1.43752-2）=（2.021728515625-2）×（2.06640625-2）=（0.0217）×（0.0664）﹥0, 零点在[1.421875，1.4375]区间左侧之外（两个函数值竖直线段均在x轴上方），不能进行“二分法”。
⑦把函数f（x）的零点所在的区间缩小到[1.40625, 1.421875]。
将区间[1.40625, 1.421875] “一分为二”，得[1.40625，（1.40625+ 1.421875）/2=1.4140625]和[（1.40625+ 1.421875）/2=1.4140625, 1.421875] ，找零点在这两个区间的哪一个？根据f（1.40625）•f（1.4140625）=（1.406252-2）×（1.41406252-2）=（1.9775390625-2）×（1.9995727539062-2）=（-0.0225）×（-0.0004）﹥0, 舍去，因为零点在[1.40625，1.4140625] 区间的右侧之外（两个函数值竖直线段均在x轴下方）。检验零点是否在[1.4140625，1.421875]区间内？根据f（1.4140625）•f（1.421875）=（1.41406252-2）×（1.4218752-2）=（1.9995727539062-2）×（2.021728515625-2）=（-0.0004）×（0.0217）﹤0，满足区间要求。
⑧把函数f（x）的零点所在的区间缩小到[1.4140625，1.421875]。
将区间[1.4140625，1.421875] “一分为二”，得[1.4140625，（1.4140625+ 1.421875）/2=1.41796875]和[（1.4140625+ 1.421875）/2=1.41796875, 1.421875] ，找零点在这两个区间的哪一个？根据f（1.4140625）•f（1.41796875）=（1.41406252-2）×（1.417968752-2）=（1.9995727539062-2）×（2.0106353759765-2）=（-0.0004）×（0.0106）﹤0，说明零点在[1.4140625, 1.41796875] 区间；[1.41796875, 1.421875] 舍去，因为f（1.41796875）•f（1.421875）=（1.417968752-2）×（1.4218752-2）=（2.0106353759765-2）×（2.021728515625-2）=（0.0106）×（0.0217）﹥0, 零点在[1.41796875, 1.421875]区间左侧之外（两个函数值竖直线段均在x轴上方），不能进行“二分法”。
将上面计算结果归拢：①[1,2]；[ 1,1.5]；②[1.25，1.5]；③[1.375，1.5]；④[ 1.375,1.4375]；⑤[1.40625，1.4375]；⑥[1.40625, 1.421875]；⑦[1.4140625，1.421875]；⑧[1.4140625, 1.41796875] ……这才是《数学③》P4页表1-1中的详细计算数据来源。不难得出该区间无限缩小就越接近抛物线与x轴交点。
4结语
条件不清楚及数据来源无计算过程，就越让人产生探究的欲望。一旦探究清楚也就豁然开朗。
论文作者:毛中林
论文发表刊物:《基层建设》2019年第5期
论文发表时间:2019/4/18
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