谈数学教师“教解题”的现状与对策，本文主要内容关键词为：对策论文,现状论文,数学教师论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学离不开解题，数学教学离不开“教解题”，波利亚在《数学的发现》中指出：“中学数学教学的首要任务就在于加强解题能力的训练.”因此，从这个意义上来说，数学教学的过程就是一个教会学生解题和教会学生学解题（即“教解题”）的过程.那么，在实际的数学教学中，初中数学教师的“教解题”现状又如何呢？本文通过对一次青年教师基本功大赛的答卷分析谈初中数学教师“教解题”的现状，并针对这一现状建构初中数学“教解题”的四步程式.
一、一次青年教师基本功大赛的案例
某四星级中学举办青年教师基本功比赛，参赛对象是工作10年以内的青年教师.笔者受邀参与了初中数学学科笔试试题的命题和阅卷工作.以下是试卷中有关“教解题”的试题及答题情况（该校符合条件的初中青年数学教师共7人，全部参赛，初中部数学教师共26人）.
1.试题展示
题目：如图1，△ABC中，AB=AC，AD=AE.
若∠1=60°，∠2=_____.
（此题为填空题）.
学生的思路：因为
∠BAC=90°，∠1=60°，
所以∠DAE=30°.
因为AD=AE，
所以∠ADE=∠AED=75°.
因为AB=AC，所以∠B=∠C=45°.
所以∠2=∠AED-∠C=30°.
问题：（1）作为教师，你如何评价学生的上述解题过程？
（2）针对学生的这种解题过程，你如何讲评该题？请写出具体的讲评方案，应包括变式、探究的主要过程..
（3）写出你讲评该题的预设目标.
2.答题情况
说明：为了保证真实性，下面答案是根据参赛教师的答卷情况原样录入，包括标点符号和错别字均未作修改.
答案1：（1）作为一道填空题，用特殊值法来解决是可行且有效的，这也是我们在解决填空选择题时的一种常用的方法.
（2）但我们现在并不仅仅满足于答案是什么，而是要掌握一种解题的方法.如果这不是一道填空题，而是一道解答题，我们该怎样来解决它呢？很显然，特殊值法已经不再适用了.我们需要找出这些角之间的关系，进而求出∠2.那接下来我们可以对∠2进行转化，∠2=∠ADC-∠ADE=∠1+∠B-∠AED=∠1+∠B-（∠2+∠C）=∠1+∠B∠2-∠C，可以得出2∠2=∠1.
（3）介绍填空、选择题中常用的一种方法——特殊值法.变换题型，让学生体会从特殊到一般的过程，可先利用特殊性进行猜测，再对结论进行验证.
答案2：（1）虽然答案是正确的，但却是由默认△ABC为Rt△得出的，属于此题的一种特殊情况.但是作为填空题，“特殊值”法运用恰当也是可行的.
（2）解：设∠AED=x.
因为AD=AE，
所以∠ADE=∠AED.
所以x=∠2+∠C.
且x+∠2=∠1+∠B，
所以∠2+∠C+∠2=∠1+∠B.
因为∠C=∠B，∠1=60°，
所以2∠2=60°.
所以∠2=30°.
（3）预设目标：运用方程解几何题.
答案3：（1）该同学在解题时创设条件∠BAC=90°，题目中并没有该条件.
（2）此题的条件重点考查学生对“在同一个三角形中，等边对等角”这一知识的理解.解答过程：要求∠2，有两种方案.
①通过平角减去另两个角，但是∠ADB的度数没有.
②∠2可通过外角解决.例如，∠2=∠ADE-∠C=y-x解决.
（A）因为AB=AC，所以∠B=∠C=x，
（B）因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED=y，所以∠DAE=180°-2y，
（C）在△ABC中，由三角形内角和定理，得∠B+∠C+∠BAC=180°，即x+x+60°+180°-2y=180°，所以2x-2y=60°，所以x-y=30°，即∠2=30°.
（3）此题考查了“等边对等角”、“三角形的内角和定理”以及“三角形的外角”等概念，解答过程中运用了整体代入的思想.
答案4：（1）①首先该学生没有看清题目，自己添加了条件∠BAC=90°.所以强调只有在看清题目的基础上才能答对题目.②我会换个角度去看这个问题，在做填空题时我们只要结论不要过程，这时可以采用特殊值法去解题，或用假设的方法.这里只要把∠2=30°代入检验一下是否符合题目中的已知条件即可.
（2）在等腰三角形中要求角，就要将边相等转化为角相等.
因为AB=AC，
所以∠B=∠C.
因为AD=AE，
所以∠ADE=∠AED.
由于这里涉及的角比较多，我们可以采用方程的思想.
设∠B=∠C=x，∠ADE=∠AED=y.
三角形中角的等量关系无非是内角和定理和一个外角等于不相邻的两个内角的和，
可得y=∠2+x，①
∠1+x=y+∠2.②
由①得y-x=∠2.
由②得y-x=∠1-∠2=60°-∠2.
所以60°-∠2=∠2（三个未知量两个方程解不出值，用整体思想）.
所以∠2=30°.
（3）①等腰三角形的性质、三角形的内角和及外角性质.
②几何问题代数化，方程思想、整体思想的应用.
答案5：（1）评讲时注意以下几点：
①学生的解题肯定是错误的，但有可借鉴的地方；
②学生只是对△ABC进行了特殊化；
③学生如果能对一般情况进行归纳，得到一般结论就好了；
④这道题刚好是一般与特殊答案一样的；
⑤在解题时不能添加条件.
（2）此题在讲评时：
①将三角形特殊化，使△ABC为等腰直角三角形；
②利用《几何画板》使△ABC变为普通三角形，让学生感受∠EDC是否变化；
③得到角度不变化再考虑如何求解；
④也可考虑添加条件∠DAC；
⑤变化∠DAC；
⑥移动点D.
（3）此题评讲时应体现数学的变化思想，体现运动的观点，体现从特殊到一般的思想，让学生在探究运动变化的过程中寻求统一.
答案6：（1）条理清晰.先由∠BAC=90°，∠1=60°，得到∠DAE=30°.自然由等腰三角形的性质“等边对等角”，得到∠ADE=∠AED=75°，∠B=∠C=45°.再利用“外角等于不相邻内角的和”，得到∠2=∠AED-∠C=30°.
（2）评讲方案：
因为∠BAC=90°，∠1=60°，
所以∠DAE=30°.
又因为AD=AE，
所以∠ADE=∠AED=75°.
又因为AB=AC，
所以∠B=∠C=45°
∠2=∠AED-∠C=30°.
（3）怎么求∠C，应用∠AED=∠C+∠2.
答案7：（1）∠BAC=90°未知，是学生构想出来的，想当然！
（2）因为AD=AE，AB=AC，
所以∠B=∠C，∠ADE=∠AED.
由∠1=60°，如何求∠2？
学会用方程解题，设∠DAE=x，
（3）要让学生会用未知数解题，即用方程思想解几何题.
二、从答题情况看初中数学教师“教解题”的现状
1.答题情况汇总
（1）问题1的答案汇总.
在问题1的答案中，7人中有一人完全肯定学生的思路（答案6），有两人持完全否定态度（答案3、7），其余四人认同在填空题、选择题等不需要过程的题中可以这么做，他们都提到特殊值法，但答案5认为这里的特殊情况与一般情况是“刚好”相同.
（2）问题2的答案汇总.
在问题2的答案中，答案6完全肯定学生的思路，把原过程照抄了一遍，答案1抓住“三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和”进行角的转化，最终得到∠1和∠2的关系，答案5没有具体的求解过程，提出了一些变式的方法，其中“②利用《几何画板》使△ABC变为普通三角形，让学生感受∠EDC是否变化”的变式没有规律可循，其余的四个答案基本一致，那就是设辅助元（一元或二元），建立相等关系，设而不求，最终在求解过程中消去辅助元.
（3）问题3的答案汇总.
在问题3的答案中，有三人提到几何问题代数化或用方程思想解几何题（答案3、4、7），有两人提到由特殊到一般、变化、变换、猜想、验证、探究等（答案1、5），有两人提到三角形中有关角的性质、整体思想等（答案3、4），答案6的实质是想说明求角的方法是转化角.
2.“教解题”的现状
通过对答题情况进行简要分析，我们不难得出部分初中数学教师“教解题”的现状如下.
（1）部分教师的解题能力较弱.
在问题1的解答中，有3人出错，1人认识不准确；在问题2的解答中，7人中有1人提到了变式，并且发生了错误，6人只是给出了解题过程，其中答案6照抄了原题的过程，并且7人中没有一人能根据题意要求写出具体的讲评方案，也就是说没有一人能真正理解题目的要求，这也进一步印证了部分教师数学阅读的意识缺失和能力偏低的现实；在问题3的解答中，答案6真是让人感到莫名其妙，其余6个答案尽管都提到了一些数学的思想或方法，但是这些答案要么空洞无物，要么牵强附会.这些事实说明部分教师的解题能力亟待提高.
（2）部分教师“教解题”的意识缺失，“教解题”的能力偏低.
从问题1的解答过程中发现，7位参赛者都是直接对学生的做法进行评判，没有问一问学生为什么这么想；在问题2的解答过程中，除答案4提到因为角比较多，所以用方程思想（姑且不管这种分析是否全对）而稍作分析，答案5提出了变式的方法（尽管其中有些错误）外，其余5人只是呈现了自己的解题过程；在问题3的解答中只有答案1提及变换题型（怎么变，不知道）让学生体会从特殊到一般的过程，其他6人均只给出了一些空洞的方法、思想，看不到总结方法、提炼思想的过程.以上这些事实说明，部分教师在“教解题”过程中只把自己当成一个解题者（有些还明显不称职，如答案6的参赛者），没有把自己当成一个“教解题”者，或者说也意识到了自己是一个“教解题”者，却又因为缺乏“教解题”的方法而明显力不从心，所以说部分教师“教解题”的意识和能力都有欠缺.
三、建构初中数学“教解题”四步程式
基于以上的分析，我们不难看出，在当前初中数学教学中，让教师学会“教解题”是当务之急.那么如何让数学教师学会“教解题”呢？笔者觉得罗增儒教授的“学解题”四步程式值得我们学习借鉴.罗教授用自己几十年的解题实践得出学会学解题的四步骤程式：简单模仿——变式练习——自发领悟——自觉分析.在罗教授的启发下，我们可以建构出学会“教解题”的四步骤程式：典例示范——引导变式（探究）——促成顿悟——系统提升.下面就从这四个方面来谈如何“教解题”.
1.典例示范
典例示范是指通过典型例题的解题示范给学生提供简单模仿的机会.值得我们注意的是，这里的示范不仅仅是文本示范，更重要的是思维过程的示范.教者在教学过程中要使用有声的思维（将自己的想法说出来），有痕的思考（将自己的思维路线图画出来），必要时还要通过思路探求过程中的心理活动描述等方式暴露解题时的心路历程，尤其是要暴露从解题失败到解题成功的思维及心理活动过程，这种暴露对提高学生的数学信念尤为重要.从这个意义上说，上述7位参赛者的典例示范还只停留在文本示范阶段.
2.引导变式（探究）
引导变式（探究）是指在典例示范之后，教者要提供或引导学生进行一定量的变式（探究），通过适量变题（探究）和解题加深对新知的理解，形成新的认知结构的雏形.在此题的讲评过程中，我们至少可以从以下两个方面进行变式：一是变化∠BAD（原题中的∠1）度数的大小（不大于∠BAC），让学生在数值变化而图形不变的情况下求∠EDC（原题中的∠2）；二是变化∠BAD（原题中的∠1）度数的大小（大于∠BAC），让学生在数值变化而图形也变化（点E、D在相应线段的延长线上）的情况下求∠EDC（原题中的∠2）.在本次比赛中，答案1、5、7的参赛者提到了变式训练，答案5给出了变式的方法，答案1、7未有实质做法，其余四人未有体现.这说明在日常教学中，引导变式（探究）仍然是部分教师的弱项，有关变式训练的具体方法这里不赘述.
3.促成顿悟
促成顿悟是指在经过一定量的变式（探究）之后，教者引导学生观察、体悟，让学生有豁然开朗、恍然大悟的感觉.在这个过程中教者的作用就是提供足够的感性材料（蓄水）和适当的引导（挖渠），耐心等待学生思维提升的水到渠成.在本例的讲评中，在引导得出上述变式之后，教者所要做的就是引导学生观察、体悟这两组变式之间的关系，让学生领会数量变化之中隐含的不变关系，理解图形变化之中存在的不变规律，特别要强调的是教者要有耐心，静候花开，切忌越俎代庖，拔苗助长.在本次比赛中，我们看到只有答案5提到了通过变式“让学生感受∠EDC是否变化”，其余6个答案看不到教师“蓄水”和“挖渠”的过程，也就是说，大部分教师在“教解题”的过程中尚未有促成顿悟的意识，更不用说有促成顿悟的做法了.
4.系统提升
系统提升是指经过引导变式、促进顿悟的环节之后，教师对讲评问题从知识、方法、思想等维度进行系统化整理，加深学生对这一问题的理解，进而促进知能的整体和横向迁移.如，在本例的讲评中，首先，教者可从不同题型的解法技巧的角度总结特殊值法，也可从数学探究常用方法的角度讲述特殊值法的重要作用，关键是要弄清何时用，如何用.其次，教者还可以从两组变式的解题过程中总结方程思想的重要作用等.通过这样的总结提升，“教解题”就不再是就题论题、一题一招的低效过程，而是试题的教学功能被充分挖掘出来，学生的主动性最大限度地被调动起来的高效益的自主提高过程.在本次比赛中，我们看到，除答案6外，其余6人均提及了数学思想方法的教学，但是从具体过程来看，这种思想方法的教学是空洞的，没有具体的做法，或者说没有掌握具体的方法.解题教学是数学教学的重中之重，这一点已得到广大数学教育工作者的认可.但是大部分一线初中数学教师的“教解题”意识和能力缺失也是一个不争的事实，本文所反映的情况尽管是一所学校的个案，但这是一所省四星级重点中学，所招聘的教师都是相对来说比较优秀的，并且有着较好的教研氛围，在这样的学校情况尚且如此，可见这是一个普遍性的问题.谨以此文引起广大数学教育工作者对如何增强初中数学教师“教解题”的意识，如何提高初中数学教师“教解题”的能力问题的关注.