从“为创新设计教学”到“为教学设计创新”——对“等差数列的前n项和”教学设计的反思与改进，本文主要内容关键词为：教学设计论文,等差数列论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题的提出
高中数学教育是九年制义务教育阶段数学教育的继续，对于学生更为充分地认识数学的科学价值、文化价值，形成理性思维，发展问题解决和创新能力具有基础性的作用[1].高中新课程改革实施后，为了理解和掌握新内容和新理念，除了进行通识培训、教材培训外，各级各类公开课，也是广大数学教师体验、模仿和领悟的重要途径.数学创新性教学设计是这些公开课必不可少的亮点之一.张奠宙教授认为我国数学教学的长处是注重“双基”，弱点是“创新”不够，因此需要在教学设计中加入“创新点”，用较短的时间，因势利导地提供“创新思考”的空间.这样，长年积累，就可以形成创新的思维习惯，最终可以提高学生数学创新能力[2].数学教学设计如何创新？学者和教师分别从情境创设、教学过程、例习题设置和创新教育教学模式等方面进行了研究[3，4].但是，存在很多数学课，包括公开课，片面追求“创新”，忽视数学教材的作用，淡化数学实质，不遵循学生学习心理，盲目求“新”，导致了“为创新设计教学”现象.这种现象违反了数学教育的本质，不仅会影响到数学教师自身的专业发展，还会严重影响数学教学的质量，必须对此加以重视和反思.研究者以某市的一节“等差数列前n项和”公开课为例，剖析“为创新设计教学”现象，并为科学实施“为教学设计创新”理念提出有效策略.
二、“等差数列的前n项和”的教学过程
“等差数列前n项和”是北师大版高中数学新课程实验教材必修5的1.2.2内容[5].“说课”和“教学反思”活动环节都表明，授课教师急切追求创新，力争“出彩”，并认为其教学设计创新性主要体现在“复习引入”和“引导猜想”两个环节.
1.复习引入
（1）什么是等差数列？
（2）等差数列的通项公式？
（3）等差数列的性质？
教学预设：通过本环节，检查和复习学生学习本节的知识基础情况，因为等差数列前n项和公式的推导过程需要这3个知识点.
评注：课后访谈表明，授课教师认为绝大多数教师都会采用教材的处理方式，为了避免落入“俗套”，凸显“亮点”，采取了“以旧引新”的导入方法.但教学效果表明，设计意图落实并不理想，全体学生的“异口同声”，没有有效显现学生对3个知识点的掌握情况（下面引导猜想环节中问题2教学受阻，说明绝大多数同学并没有掌握（3））；平铺直叙的问题“如何来求等差数列的前n项和呢”也没有引起学生的学习兴趣，激起学生的探究欲.
2.引导猜想
问题1 对于等差数列这种特殊数列，其前n项和有没有一种简单的表达方式呢？如果有，
表达式的结构中，有可能存在哪些元素或项目呢？
（2）验证：让学生求三角形堆（如图1）铅笔的数量.首先让学生观察、思考.
三、基于“为教学设计创新”理念的反思与改进
马克思主义哲学表明：人是在与客体相互作用过程中得到的自觉能动性和创造的特性[6].因此，学生的创新意识和创新能力应该是在与数学教师、数学知识相互作用的过程中形成和发展的.教师必须深入反思这种“为创新设计教学”现象，秉承“为教学设计创新”理念，寓“创新”于“数学教学”，从而通过“创新性教学设计”让学生真正理解和掌握数学本质，感受数学文化，养成数学能力.
1.关于“为创新设计教学”现象的反思
数学教学过程是一个受多种因素影响的复杂系统.“为创新设计教学”现象出现的原因主要表现在“一个理念，三种行为”的偏离.“一个理念”的偏离是指数学创新性教学设计科学理念的偏离；“三种行为”的偏离是指创造性运用数学教材的偏离、科学表征数学知识的偏离和读懂学生的偏离.具体表现为：
（1）忽视数学教材作用.
王光明教授等认为深入钻研数学教材，是高效教学的前提[7].数学教材是数学专家、数学教育专家和一线数学教师组成的团队根据数学课程标准、学生的年龄特征和认知水平、数学知识的特点和教学法的要求，为在校学生编写的数学学习的专门用书.它是教材编写团队集体智慧的结晶，是教师备课、上课和评价的基本材料，是学校师生教与学的主要依据.忽视数学教材的作用，不但是浪费教材编写专家智慧的结晶，还可能偏离国家的数学课程标准.
（2）淡化数学本质，注重教学形式.
陈重穆、宋乃庆教授认为数学教学必须要“淡化形式，注重实质”.“为创新设计教学”理念指导下的数学教学设计不但没有遵循这一原则，反而“淡化数学本质，注重教学形式”，主要表现为不重视数学知识的科学表征，盲目追求探究、合作、交流和讨论等外在的表现形式.这必然会导致数学学习表面“热闹”，而学生却不能真正理解和掌握数学知识.案例中的课堂教学既没有表面上的“热闹”，更谈不上真正理解和掌握，更多的则是学生的“异议”和“茫然”.这些都是无效的数学活动.只有“探究数学本质”的有效的数学活动，才是落实“四个基础”及培养创新精神、实践能力的根本保证.
（3）以教师为中心，忽视学生学习心理.
“以教师为中心，忽视学生学习心理”主要表现为备课时的“先入为主”，上课时的“过度引导”和评价时的“记忆主导”.教师在备课时要通过数学教学任务的分析来确定教学目标、重难点和教学过程，其中教学任务的分析包括数学知识的分析、学生学习的分析和教师教学的分析等.但是，“为创新设计教学”的教师并没有认真地从上述3个维度来设计教学，而是采取“先入为主”的策略.授课教师课后访谈表明，这些教师大都是从个人主观，即“我认为……”角度，而不是从理论或实测角度来阐释教学设计.上课时的“过度引导”主要表现为问题留白和等待时间少、无视与预设脱轨的“异议”和强制学生思维至教学预设等.评价时的“记忆主导”主要表现为问题的“简单性”、学生回答反馈的“重结果性”、课后练习和作业的“重记忆性”.
2.基于“为教学设计创新”理念的改进
数学创新性教学设计，需要教师在准确把握教材，恰当运用教材的基础上，根据现代数学教育教学理论和学生实际，精心地进行“创新点”的设计，营建和谐的教学环境，将“四基”和“创新设计”结合起来，从而让学生积极参与到数学活动中，开发他们的创造潜能，培养他们的问题解决能力和创新能力[2].因此，数学创新性教学设计绝不是“天马行空”似的教师的主观臆断.
“一个人的成长不在于经验和知识，更重要的在于他是否有正确的观念和思维方式”是哈佛大学的校训.同理，数学创新性教学设计也源于教师的正确理念——为教学设计创新.“为教学设计创新”即指寓“创新点”于数学教学设计，为学生的数学学习服务.“为创新设计教学”理念则混淆了“目的”和“手段”，颠倒了“创新”和“教学”的本末位置.在“为教学设计创新”理念指导下，教师必须在“读懂教材”基础上，通过个性化地“读懂数学”和“读懂学生”，才能科学设计“创新点”，并将“四个基础”与“创新点”有效结合起来.
（1）读懂教材，创造性地运用教材.
读懂教材是创造性运用教材的基础.怎样读懂教材呢？王光明教授[7]和张永昌老师[8]分别从理论高度和教学经验讨论了“读懂教材”的维度.从数学教学的本质出发，应该从4个维度来读懂教材.
①读数学“双基”.
数学“双基”教学理论认为，数学教学首先要打好“双基”基桩，然后构建“双基”模块，并通过“双基”平台的建设求得数学上的发展[9].为了便于学生建构数学知识，教师要读懂教材中的数学基础知识和基本技能.首先，要吃准《高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）的基本要求.其次，在弄清“双基”基础上，从整体上把握数学知识.数学教师要利用思维导图分析本节数学基础知识在本章、本模块，乃至整个高中数学学科中的地位及作用，并掌握数学知识的基本结构，做到瞻前顾后、纵横融合，而不是孤立地去教学某一部分知识.
《标准》对“数列”内容的处理方式为：将数列作为一种特殊的函数和反映自然规律的基本数学模型.让学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题.《标准》对“等差数列前n项和”的基本要求可以归纳为3点：探索并掌握等差数列的前n项和的公式；能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并能解决相应的问题；体会等差数列与函数之间的关系.结合教材分析，该节的“双基”基桩为“等差数列前n项和公式”和“基本数、式计算技能”.数学教师要利用学生感兴趣的蕴含数学目标的问题情境，基于等差数列相关概念和“通项公式”，引导学生主动探究和建构“等差数列前n项和公式”，进一步运用公式解决数学内部、相关学科或生活实际问题.本教学设计案例框架与之大体相符，差别在于“问题情境”和“学生探究方法与过程”的设计以及“掌握”教学目标的实现与否.
②读数学方法.
数学思想方法是在数学知识发生过程中的提炼、抽象、概括和升华，是对数学规律更一般的认识，蕴藏在数学知识之中.它需要教师长期的、有意识的启发诱导，让学生自己不断体会、挖掘、领悟和深化.
“等差数列前n项和”蕴涵的数学方法主要是“倒序相加法”.除此之外，还有“数形结合法”和函数思想方法等.这需要教师在个人理解和体悟的基础上，将这些方法有机融入数学探究活动中，向学生有机、适时渗透.由此可见，“倒序相加法”应该首先融入问题情境中，让学生体会和挖掘方法.其次，学生在运用“倒序相加法”建构“等差数列前n项和公式”活动中实现进一步的领悟和深化.本教学案例中，教师在“等差数列前n项和公式”证明环节中直接点出“倒序相加法”的做法明显有违学生学习数学思想方法的内部心理机制.
③读教育元素.
数学教学不仅仅是为了让学生掌握数学基础知识和思想方法，还要让学生受到数学的教育.数学教材内容（正文、插图、阅读材料、边注等）中反映的数学知识的求真、求善、求美以及理性，数学推理之逻辑严谨，数学思维体操之美妙，数学应用之魅力四射、数学家之孜孜追求和数学文化之整体意境等无不蕴含着丰富的教育元素.所有这些教育元素都需要数学教师要从哲学、史学、美学、文化学、思维学、社会学（社会价值）和德育（道德品质、理性精神等）等角度去寻求和体味[7].
从教材中，数学教师可以读出以下教育元素.从哲学层面，“倒序相加法”不但很好地解决了“化多为少”的问题，还为“化无限为有限”的极限方法提供了启示.另外，“数形结合法”可以从直观上促进学生对抽象公式的理解.从史学层面，高斯算法及其相关事迹的介绍，不但可以初步显现数学家的“火热思考”，还可以激起学生研究数学的热情.从美学层面，“等差数列前n项和”公式及图形表征无不体现了对数学美的追求等.本教学设计案例及课堂教学过程，鲜见这些“教育元素”的影子.
④读编写意图.
新课标教材在情境创设、知识呈现、内部联系和信息技术使用方面都给教师和学生都留有广阔的空间.这需要教师认真研读教材，抓住每一个细节，深刻领会教材的编写意图.另外，教师还要结合个人专业素养和学生实际情况进行反思.以“问题情境”为例，教师可以通过以下问题来“读编写意图”：首先回答“教材创设的情境是什么，目的如何”，接着追问“它是否体现了数学本质？本班学生是否熟悉和理解该情境？自己能否理解和把握该情境？”等问题.北师大版教材（必修5）有两个问题情境：情境1（如下页图3），有200根相同的圆木料，要把它们堆放成正三角形垛，并使剩余的圆木料尽可能地少，那么将剩余多少根圆木料？通过情境1，学生很容易抽象出等差数列｛1，2，…，n，…｝的前n项和问题，即=1+2+3+…+n.为了便于学生初步感知和渗透“倒序相加法”，教材接着给出了情境2：10岁的高斯求数列｛1，2，…，n，…｝前100项和的巧妙算法.进而引出问题：“你能从这个问题的解决过程中悟出求一般等差数列前n项和的方法吗？”这两个问题情境不但紧密联系，符合数学本质和教学目标，还能激发学生兴趣，引起学生探究欲，并自然引出所讲课题.学生访谈和教学反思均表明，班级学生和授课教师都能很好地理解和把握这两个情境.
同理，教师可以理解教材“教学过程”的编写意图.在高斯的巧妙算法基础上，教材很自然地引导学生使用“倒序相加法”，并非常顺利地推导出
.然后，教材通过“边注”的问题与思考（1）和（2），让学生更为深入地认识和理解该公式.为了帮助学生直观理解公式，教材不但采用图4的图形，还在“边注”的“说明”中利用图1和图2所示的图形.最后，教材对公式作推广.在这里，教材还“回扣”了情境1：在“等差数列前n项和公式”基础上，解决了情境1中的问题.
依此类推，数学教师还可以对教材例习题的配置、知识内部联系和信息技术运用等维度来领会和反思编写意图，并从整体上领会教材的编写意图.需要注意的是，由于专业素养的限制，不少数学教师可能一时很难对所有问题做出细致的回答，因此也可以在后面两个环节之后，再给出答案.
通过“四读”，可以实现“读懂教材”的目的，从整体上把握数学教材.但是，这只是数学教学的基本要求.要实现创造性地使用教材，进行数学创新性教学设计，数学教师还必须在个人专业素养基础上，继续“读懂数学”和“读懂学生”.涂荣豹教授认为，有效的数学教学必须遵循“二重原理”：教与数学对应的原理和教与学对应的原理数学教材是数学发展规律和学生认知规律的和谐统一体.[10]但是，这个“和谐统一体”是“一般规律”的结合，需要数学教师在“体悟”的基础上，结合实际，进行改造和创新.所以，“读懂数学”和“读懂学生”不但是“读懂教材”的继续，更是实现“为教学设计创新”理念的必要条件.
（2）读懂数学，科学表征数学知识.
“读懂数学，科学表征数学知识”是基于数学教材和个人专业素养，是数学教师遵循“教与数学对应原理”的体现.M.Klein认为历史顺序通常是人类正确认识数学知识的顺序，数学家所遇到的问题应该是学生认知的起源，数学家所经历的困难，应该也是学生要经历的困难[9].因此，数学教师必须从数学史的高度，去解读数学知识，科学表征数学知识.一般而言，可以从两个维度来表征数学知识.首先要弄清数学知识的“源”，即数学家是基于“什么背景和问题”提出该数学知识的；其次要理清数学知识的“流”，即数学家是如何建构该数学知识的以及它和其他数学知识的关系如何.
中国、巴比伦、古希腊、埃及和印度都曾经研究过数列（级数）.从古老《易经》中的“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，到《周髀算经》中的“七衡图”，到《九章算术》、《孙子算经》、《张丘建算经》……到朱世杰的“垛积术”，无不彰显我国在数列（级数）领域做出的贡献.数学史表明数列知识主要产生于人类生产、生活和天文等方面的需要，但等比数列远比等差数列要出现得早.相关史料表明，最迟在公元5世纪，我国就已经建立了比较系统的等差数列理论.如《张丘建算经》中“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出.下四人后入得金三斤，持出.中间三人未到者，亦依等次更给.问各得金几何，及未到三人复应得金几何”的解答，就包含了等差数列的通项、公差和求和问题.在等差数列和等比数列等特殊数列研究基础上，又推向了高阶等差数列、斐波那契等其他数列和级数的研究.这说明“等差数列前n项和”的教学要依托具体问题情境，并要凸显我国数学家的贡献.但教材的处理只有“高斯的巧算”，并没有提及我国数学家的贡献，因此可以在使用教材“问题情境”的基础上，在“例题配置”设计上创设“创新点”：将“今有女不善织，日减功迟.初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫.问织几何”（《张丘建算经》）作为例题.另外，公元前4世纪，毕达哥拉斯直观“形数”的研究启示教师通过“构造图形”让学生直观理解“抽象公式”的可行性.教材只给出了的直观图.在此亦可以创设“创新点”：让学生构造
的直观表示图.
案例中之所以会发生问题1的猜想2没有出现的情况，主要原因之一是问题与猜想之间“跨度”太大，特别是“
一定会作为整体出现”部分.为了缩小“跨度”，可以在“复习引入”环节加入《张丘建算经》中“织女”问题及解法作为铺垫加以改进.
（3）读懂学生，引导学生建构新知.
“读懂学生，引导学生建构新知”是基于数学教材和个人专业素养，数学教师对“教与学对应原理”遵循的体现.学生是数学学习活动的主体.数学教学活动要符合学生的认知规律.由于当时数学家和学生在社会文化环境、年龄和技术方面的差异，数学知识的发展规律有时和学生的认知规律不符.因此，教师要结合学生的认知规律，对数学知识的发展规律进行改造，以引导学生顺利建构新知.当然，这必须要以“读懂学生”为前提.数学教师通过前测、访谈和作业分析等方法，可以获取本班学生的学习基础（知识、技能和方法）.在此基础上，结合学生的认知特点和数学知识的科学表征，教师就可以确定教学难点和预设学生的学习错误.“问题串”不但是“创新点”的载体，也是引导学生积极建构新知的一种非常有效的手段.基于具有适宜“难度、跨度、梯度和密度”的“问题串”，教师就可以引导学生积极从事数学探究活动[1].这不但可以顺利地建构新知，还可以让学生在经历和体验中，获取数学活动经验.
本案例所在班级为学校中C类班级（由高到低依次为A、B、C类班级），学生的基础应该为中下等水平.因此，高跨度的教学设计自然不会取得良好的教学效果.为了了解学生的学习基础，结合改进后的教学预设，对班级学生做了访谈.访谈结果表明：学生的学习兴趣和积极性不高，但大多数学生都熟悉“高斯的巧算”，且都想了解我国数学家在数列这一章所做出的贡献.由此可见，基于教材，从“还原数学史”、“降低问题跨度”和“增加教育元素”等视角做出的系列改进不但有科学依据，而且符合学生实际.
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