数学建模纵横谈，本文主要内容关键词为：建模论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程.20世纪中叶以来，数学自身发生了巨大的变化，特别是与计算机的结合，使得数学在研究领域、研究方式和应用范围等方面得到了空前的拓展：数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择与判断，同时为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段.数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值.于是，数学怎样用于生活、生产实践之中，成了数学建模——教会大家如何用数学的主要目标，数学建模被时代赋予了更为重要的意义.
数学课程标准的第一页，三次强调了数学的“建模”问题：（1）第一段最后一行：“有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会服务”；（2）第二段倒数第三行：“强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”；（3）第一段倒数第三行：“数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象”.在同一页上，又三次强调了数学的工具性：（1）第一段最后一行：“进而解决问题，直接为社会创造价值”；（2）第一段倒数第二行：“数学作为一项普遍使用的技术”；（3）第一页倒数第一行：“数学为其他学科提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础”.值得注意的是，数学的工具性恰恰体现在数学的“用模”问题上.新课程强调过程与活动，正是数学的建模与用模的活动.由此，我们不难看出，数学建模是数学新课程的一大亮点.
人们在生产、生活中遇到难题而求助于数学，而数学家解决这个问题的过程又推动了数学自身的发展，数学的发展为人们改造社会、自然的活动提供了极大的帮助，有时甚至是决定性的帮助.数学的生命力在于它能有效地解决现实世界向我们提出的各种问题.数学建模正是一条把数学与现实世界联系起来的纽带.
一、数学建模概述
利用数学方法解决实际问题时，首先要把实际事物之间的联系抽象为数学形式，这就是所谓建立数学模型.
可以说，从数学诞生的第一天起，就有了数学模型.每一个数学概念都是从客观世界中抽象出来的，所以每一种数学概念、每个数学分支都是客观世界中某些事物的数学模型.
一般地说，当人们设计产品参数、规划交通网络、制订生产计划、控制工艺过程、预报经济增长、确定投资方案时，都需要将研究对象的内在规律用数学的语言和方法表述出来，并将求解得到的数量结果返回到实际对象的问题中去，这种解决问题的全过程就称为建立数学模型，简称数学建模.在决策科学化、定量化呼声日渐高涨的今天，数学建模几乎是无处不在的.
数学建模或数学模型是今天科技工作者经常使用的一个名词.现代社会是信息社会，信息量空前膨胀，信息交流空前频繁，现代科学技术发展的一个重要特征是各门学科日益定量化、精确化.这必然促使人们定量地思维，而定量化思维的核心是数学，人们可以通过建立数学模型分析求解，使问题条理化，从而进行定量化思维.随着科学技术的飞速发展和电子计算机的不断进步以及广泛应用，数学的应用领域日益扩大，早已超越了传统的物理、力学、工程领域，逐渐渗透到生物、化学、医学、气象、人口、生态、经济、管理领域和社会生活的各个方面.与此同时，很多部门又涌现出大量的数学问题，等待人们去研究.
把现实问题抽象为一个数学问题，并合理地返回到实际中去，这个过程就是数学建模（Mathematical Modeling）、用模过程，其中的数学结构或框架就是数学模型（Mathematical Model）.不过人们常常将数学建模与数学模型不加以区别，认为是同义语，其实两者是有区别的.
模型本是一个普通的名词.按《辞海》的解释：模型是“根据实物、设计图或设想，按比例、生态或其他特征制成的同实物相似的物体”.例如，地理课上使用的地球仪和地图是地球表面的模型，温度计中的水银柱是温度的模型，深圳的“锦绣中华”是中国许多名胜古迹模型的集合，北京的世界公园是世界上许多名胜的模型的集合.一般地说，模型相对于具体的物体而言，有四个基本的性质：目的性、清晰性、准确性、经济性.把所研究的对象变为模型的过程就称之为建模或者说是模型化.
按模型的表达形式，模型大致可分为实体模型和符号模型两大类：
一是实体模型，它主要包括：
（1）实物模型.例如，大楼建筑模型，军事作战用的沙盘，三峡截流模型等，它们仅仅将现实物体的尺寸加以改变，看起来逼真.
（2）模拟模型.例如，电路图、地图等，它们在一定假设之下，用形象鲜明、便于处理的一系列符号代表现实物体的特征.
二是符号模型，也称语言模型，这是模型中最具魅力的一大部分.通常包括数学模型、仿真模型和化学、音乐等学科的符号模型，也包括用自然语言（例如汉语、英语等语言）对事物所作的直观描述.
如果说实体模型不过是现实世界的放大和缩小，在某种程度上只是起着便于观察和研究的作用的话，那么符号模型，则是对现实世界简约的、但是本质的描述.在人类历史的长河中，符号模型对生产力的发展起着无法估量的作用.今天，如果没有符号模型（特别是数学模型），许多基本的生产活动便无法进行，更不要说计算机的应用了.
数学建模的问题是由工程技术、管理科学中的实际问题简化加工而成，“通过对实际问题的抽象、简化，确定变量和参数，并应用某些‘规律’建立起变量、参数间的确定的数学问题（也可称为一个数学模型），求解该数学问题，解释验证所得到的解，从而确定能否用于解决问题多次循环、不断深化的过程.”简而言之，数学建模就是为解决各种实际问题来建立数学理论的过程.
数学模型不同于一般的模型.数学模型是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构.它或者能够解释特定现象的现实性态，或者能预测对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制.数学建模就是利用数学语言模拟现实，即把事物或某事物所在的系统的主要特征、主要关系，用数学语言概括地、近似地表达成一种数学框架（Framework），也就是数学模型.数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反映.
按广义理解，一切数学概念、数学理论体系、数学公式、方程以及算法系统都可称为数学模型.因为人们实际生活中计数的需要，算术产生了，算术正是分享猎物、计算盈亏等实际问题的数学模型；方程是表示平衡关系的数学模型；函数是表示物体变化运动的数学模型；几何则是物体空间结构的数学模型.
事实上，数学模型可以粗略地分为三类：
（1）概念型数学模型：例如，实数、集合、函数、向量等数学概念；
（2）方法型数学模型：例如，各种方程、公式、运算法则，以及列表、图示等等；
（3）结构型数学模型：例如，整数数系、实数数系等数学结构.
按狭义的理解，数学模型是指解决特定问题的一种数学框架或结构.这一框架或结构可以用一组方程来表示，更一般地可以用数学解析式表示，但是也可以用程序语言、图形等表示.例如，二元一次方程是“鸡兔同笼”问题的数学模型，一次函数是匀速直线运动的数学模型.这类数学模型如果是某种方法型模型或结构型模型的子模型，则可以利用已有的数学理论来解.如果不是已有模型的子模型，则它就是一种新的数学模型，就需要逻辑地建立起它的理论，倘若所研究的问题具有普遍性，而又能建立起成熟的理论，那么就会在数学上取得很大的成就.在应用数学中，数学模型一般都是指后面这一类，也是我们主要研究的.
我们一般是按狭义理解数学模型的，那么数学模型的特征是什么呢？
第一，它是在某事物中为达到一些特殊目的而作的一个抽象化、简单化的数学结构.这意味着在建模过程中，必须对整个事物进行扬弃、筛选，舍弃次要因素，突出主要因素，找出事物最本质、最核心的部分.它是事物的一种模拟，但非实际的原型，虽然源于现实，但又高于现实.
第二，它是数学上的抽象，在数值上可以作为公式应用，可以推广到与原事物相近的一类问题中去.
第三，数学模型可以作为某事物的数学语言，也可以译成算法语言，编写成程序进入计算机操作.
自人类萌发了认识自然之念、幻想着改造自然之时，数学便一直成为人们手中的有力武器.牛顿的万有引力定律、伽利略发明的望远镜让世界震惊，其关键的理论工具却是数学.然而，社会的发展却使数学日益脱离自然的轨道，逐渐发展成为高深莫测的“专项技巧”.数学被神化，同时，又被束之高阁.
近代较早成功地使用数学建模的当推意大利科学家伽利略（Galileo Galilei）.古希腊哲学家亚里士多德认为，自由落体运动中物体落下的速度和重量成比例，即物体下落的速度快慢与其重量成正比例，也就是物体下落的速度快慢与其重量有关.这个说法几千年一直被人们视为真理，但是伽利略通过反复地做实验，建立了自由落体运动的数学模型，即函数关系，从而断定物体自由下落的速度与其自身重量无关，推翻了亚里士多德的理论.
德国科学家开普勒（Johannes Kepler）根据他的老师——丹麦天文学家第谷（Tocho Brahe）对行星运行所作的大量观测，积累20年的资料，运用数学工具，于1609年至1619年建立了太阳系行星运动的数学模型，即开普勒三定律.这个数学模型是一个划时代的发现，并为牛顿力学的建立开辟了道路.
牛顿（Newton）是历史上最伟大的科学家之一，他认为一切运动背后都有其力学原因，因而开普勒三定律的背后必定有某个力学规律在起作用，他要构造一个模型加以解释.在开普勒三定律和牛顿力学第二定律基础上，建立了著名的万有引力定律.这一创造性成就可以看作是历史上最著名的数学模型之一.这个重要的数学模型的建立，不仅成功地用定量方法揭示宇宙万物之间的一种普遍联系，而且树立了一个用数学方法解决实际问题的光辉典范.
很多像牛顿一样伟大的科学家都是建立和应用数学模型的大师，他们将各种不同的科学领域同数学有机地结合起来，在不同的学科中取得了巨大的成就.如力学中的牛顿定律、电磁学中的麦克斯韦方程组、化学中的门捷列夫周期表、生物学中的孟德尔遗传定律等都是经典学科中应用数学模型的光辉范例.今天，在计算机的帮助下，数学模型在生态、地质、航空等方面有了更加广泛和深入的应用.因此，从某种意义上讲，数学建模是培养现代化高科技人才的重要途径.
二、数学建模的一般步骤
根据上节中的例子，我们粗略地归纳一下数学建模的步骤和原则.
建立数学模型的一般步骤是：
第一步，建模准备.首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征.
第二步，根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设.这是建模至关重要的一步.如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为.所以，高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化.
第三步，模型求解.可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术.一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重.
第四步，模型分析.对模型解答进行数学上的分析.能否对模型结果做出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次.还要记住，不论哪种情况都需进行误差分析和数据稳定性分析.
应该指出，并不是所有建模过程都要经过这些步骤，有时各个步骤之间的界限也并不那么分明.数学建模过程不要拘泥、局限于形式上的按部就班，重要的是根据所研究对象的特点和数学建模的目的，去粗取精，去伪存真，抓住关键，从简到繁，不断完善.
三、数学建模的意义
人们谈起数学的特征，总会谈到它在实际生活中有广泛的应用，可是许多中学生学过数学之后的感受往往是相反的.中学数学教学往往只在纯数学推理圈内活动，将数学问题的源头（模型）和去向（应用）都弃之不顾，强调逻辑推理多于强调建立数学模型.正是由于这种脱离实际、轻视应用的倾向，造成许多中学生感到学习数学没有什么用处，纯粹是符号游戏，是为升学而学习.弗赖登塔尔（Hans Frendenthal，1905-1994）曾强烈地反对数学与现实脱节，认为“如果数学是无用的，它就不会存在”“不能忘记数学在社会中扮演的角色，从过去、现在一直到将来，教数学的教室不可能浮在半空中，而学数学的学生也必然是属于社会的.”
数学模型具有解释、判断、预测等重要功能，它在各个领域的应用会越来越广泛，其主要原因是：
（1）社会生活的各个方面正在日益数量化，人们对各种问题的要求愈来愈精确；
（2）计算机的发展为精确化提供了条件；
（3）很多无法实验或费用很大的实验问题，用数学模型进行研究是一个有效途径.
学习数学建模的目的主要有：
（1）体会数学的应用价值，培养数学的应用意识；
（2）增强数学学习兴趣，学会团结合作，提高分析和解决问题的能力；
（3）知道数学知识的发生过程，培养数学创造能力.
1.数学知识来源于实践，又为实践服务
我国著名的数学家华罗庚1959年曾说过：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁，无处不用数学”.数学应用于实际的关键在于用数学语言描述出所要研究的问题，使之构成一个数学问题，这个数学问题被称为研究对象的数学模型.数学模型经过演绎、推理、计算，得出数学上的分析、预测、决策或控制，再经过解释、翻译回到现实世界.最后，这些分析、预报、决策或控制必须经过实际的检验，完成“实践——理论——实践”这一循环.如果检验的结果是正确的或基本正确的，就可以用来指导实际，否则，需要重新考虑抽象、化简、翻译的过程，修正数学模型.实际问题与数学模型的关系如下图所示.
其实，中国古人在很早以前就使用数学模型了.在中国古书《九章算术》中就已经系统地使用了数学建模.《九章算术》将246个问题归结为9类，用我们今天的眼光来看就是9种不同的数学模型，故名为“九章”.它每一章中的问题都是从大量实际问题中选择具有典型意义的现实模型，然后再通过“术”（算法）转化为数学模型.
2.数学建模可以培养学生多方面的能力
（1）洞察能力.许多提出的问题实际往往不是数学化的，这就需要建模者善于从实际工作提供的原形中抓住其数学本质.
（2）数学语言翻译能力，即把经过一定抽象和简化的实际问题用数学的语言表达出来，形成数学模型，并且对于用数学的方法和理论推导或计算得到的结果，能用大众化的语言表达出来，在此基础上提出解决某一问题的方案或建议.
（3）综合应用分析能力.应用数学进行分析、推理、证明和计算的能力，用已学到的数学思想和方法进行综合应用分析，并能学习一些新的知识.
（4）联想能力.对于不少的实际问题，看起来完全不同，但在一定的简化层次下，它们的数学模型是相同的或相似的.这正是数学应用广泛性的体现，这就要培养学生有广泛的兴趣，多思考，勤奋踏实地工作，通过熟能生巧达到触类旁通的境界.
（5）各种当代科技最新成果的使用能力.目前主要是计算机和相应的各种软件包，这不仅能够节省时间，得到直观形象的结果，有利于用户深入讨论，而且能够养成自觉应用最新科技成果的良好习惯.
此外，还有“双向翻译”（即用数学语言表达实际问题，用普通人能理解的语言表达数学的结果）的能力；应用计算机及相应数学软件的能力；应变能力（即独立查找文献，消化和应用的能力）；组织、协调、管理，特别是及时妥协的能力；交流表达的能力；写作的能力；创造性、想象力、联想力和洞察力.它还可以培养学生坚强的意志，培养自律、“慎独”的优秀品质，培养正确的数学观.
由于数学建模是以解决实际问题和培养学生应用数学的能力为目的的，它的教学内容和方式是多种多样的.从教材来看，有的强调数学方法，有的强调实际问题，有的强调分析解决问题的过程；从教学方式来看，有的以讲为主，有的以练为主，有的在数学实验室中让学生探索，有的带领学生到企事业单位中去合作解决真正的实际问题.
四、中学数学应用问题与数学建模的教学给我们的反思
中学数学应用问题与数学建模教学的影响是深远的，随着中学数学应用问题与数学建模教学的逐步实施，其深刻影响将逐步显现出来.
中学数学应用问题与数学建模的教学推动了数学教学改革.过去那种封闭式的题海教学方式将受到越来越大的冲击，数学建模教学给中学数学应用问题教学指明了方向.数学建模教学要求学生掌握观察事物、归结数学问题的能力.这种能力的培养是与21世纪的科技发展相适应的，而且是必需的.一些渗透数学建模思想的试题也将逐步在各类升学考试中出现，这必将推动数学教材教法的改革.
中学数学应用问题与数学建模的教学是一种素质教育.相当多的学生对用数学解决实际问题，比做纯粹的数学题更有兴趣、更有积极性.进行数学建模活动的学生要求他们具有协作精神，能互相配合、克服困难，这正是现代科学研究中要求和提倡的团队精神.中学数学应用问题与数学建模的教学还能逐步培养学生做学问、善于思考的品质.越来越多的国内外数学教育工作者认识到：数学知识的真正掌握不是教出来的，而是在实践中实现的.中学数学应用问题的教学与数学建模正好是一个学数学、做数学、用数学的过程，它体现了学和用的统一.科学技术需要创新，数学教学也需要创新，而中学数学应用问题的教学与数学建模为学生提供了创新的环境和条件.
中学数学应用问题与数学建模所涉及的问题都是与日常生活或科学技术相关的问题，是对学生数学、语文、外语、计算机运用能力的全面考核，这打破了学科界限，为共同研究问题开了先河，对中学各科教学起了不可替代的作用，促进了学生的全面发展，在新课程倡导的学生研究性学习、自主学习、学会终身学习等方面非常有益.因此，中学教师的职前培训，很有必要开设数学建模课，在职后教育中继续学习并研究数学建模已经成为时代的要求.另一方面，通过对数学建模的学习和研究，能准确地把握中学数学应用问题的深度和难度，更好地推动中学数学新课程的实施.因此，我们可以毫不夸张地说：数学建模是数学新课程的一大亮点！