2004年全国高考立体几何试题的别解，本文主要内容关键词为：立体几何论文,试题论文,全国高考论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
试题说明：2004年全国高考数学（必修+选修Ⅱ）第（20）题，立体几何.
原题 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=8，AD=4
，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.
（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积.
（Ⅱ）证明PA⊥BD.
本题主要考查空间想象能力、分析问题的能力.命题组提供此题参考答案的要点是：
（Ⅰ）利用传统方法，依次用三垂线定理、二面角的平面角、棱锥体积公式；
（Ⅱ）解法一利用向量方法，以P在底面ABCD上的射影O为原点建立空间直角坐标系.通过计算考虑
是否垂直.解法二是传统方法，先通过在底面利用平面几何知识进行推理和计算，考虑PA的射影与BD是否垂直，再用三垂线定理得出结论.
下面用传统方法或向量方法这两种方法分标题介绍此题的其它典型解法，以期提高同学们的解题技巧与思维品质.
解（Ⅰ） 方法1：如图2，设AD的中点为E，以E为原点，EA为x轴建立空间直角坐标系.
易证y轴与BD的交点是BD的中点，设为点O.连结PE，则PE⊥AD，所以∠PEO为侧面PAD与底面所成二面角的平面角.显然AD⊥平面PEO，点P平面yEz上.
由已知条件得∠PEO=60°，PE=6.
由于四棱锥P-ABCD的高h为PE在z轴上的射影，所以h=3，四棱锥P-ABCD的体积
V[，P-ABCD]=（1/3）×8×4×3=96.
反思与总结：此题的空间图形是对称图形.对称美是数学美的重要内容之一.根据空间图形的对称性，是建立适当空间直角坐标系的关键，运用向量运算的方法，可降低解题的难度，过程较为程序化，简化了运算，给人一种奇异的美感.
证明（Ⅱ） 方法1：通过计算可得
所以PA⊥BD.
反思与总结：参考答案以P在底面ABCD上的射影O为原点建立空间直角坐标系.而本方法以AD的中点E这个对称点为原点建立空间直角坐标系.坐标系不同，P，A，B，D四点坐标不同，但坐标不变，说明向量平移具有坐标不变性，更说明建立空间直角坐标系的灵活性.这就要求我们具有一定的数学视野，不拘一格.
解（Ⅰ） 方法2：如图3，设AD的中点为E，BC的中点为F，连结PE、EF，则PE⊥AD，EF⊥AD，所以∠PEF为侧面PAD与底面所成二面角的平面角.
显然平面PAD⊥平面PEF，由已知条件得∠PEF=60°，EF=8，所以F平面PAD上的距离为4.由于BC∥AD，所以BC∥平面PAD，所以B到平面PAD上的距离为4，故
V[，B-PAD]=（1/3）×（1/3）×4×6×4=48.
∴V[，P-ABCD]=2V[，B-PAD]=96.
反思与总结：本解法运用传统的逻辑推理体系，将这个四棱锥切成两个三棱锥，把求四棱锥的体积转化为求三棱锥的体积.这种解法体现出来数学方法等积法与割补法，要求同学们具有一定的灵活性以及空间想象能力和推理能力.
证明（Ⅱ） 方法2：如图3，设AD的中点为E，BC的中点为F，连结PE、EF，则
反思与总结：向量具有两种形式：代数形式和坐标形式.适时利用向量的代数形式将待证向量用已知向量线性表示后，通过向量的代数运算，使证明问题的过程程序化、常常会收到化繁为简、化难为易的效果.这对启迪同学们的思维和培养学习兴趣是大有益处的.