论证以下数学理论的三个概念：
第一，负号不仅仅是相反符号。
第二，正数和负数无法比较大小。
第三，负数乘以负数结果为负数。
首先论证第一个论题
正数与负数互为相反数，是以0为分界点被隔开的。传统数学理论把负号“-”当作相反符号来理解，认为-（+1）是指+1的相反数，得出的结果是-1。这站在正数概念的立场上是正确的，在负数的立场上也没有错。那么+（-1）的结果是什么？传统数论的结果是-1。这就存在了一个逻辑观念上的漏洞，因为演算者仍然是站在正数的立场上考虑负数的问题。“+”与“-”是相对的，是彼此相反的，-（+1）这个题目的涵义可以这样理解：+1的相反数是什么？结果当然是-1。那么+（-1）这个题目的涵义同样可以这样理解：-1的相反数是什么？结果不再是-1，而是+1。根据传统的数学理论，+（-1）的结果是-1。造成这种逻辑悖论的原因是传统数学理论只是把相反性片面地局限于负号这个逻辑概念中，而没有考虑正号同样具有相反性，是相反于负号的相反性的体现。其实正号与负号从宏观上讲是方向的不同，分别以数字0为起点，背道而驰地无限延伸下去。因而正数与负数的相反性是相对而言的。
接下来论证第二个论题
正数与负数无法比较大小。一个人向北走了一米，而另一个人同时向南走了一米，孰大孰小？传统数论中越往右越大（正数方向）越往左越小（负数方向）是存在逻辑漏洞的。-∞叫做什么？负无穷大。-1/∞叫做什么？负无穷小。负无穷大的概念是数轴无限向左延伸的极限，而负无穷小的概念是数轴上负数区域内无限向右延伸趋向于0的极限。那么，数轴上越往右越大越往左越小，-∞就应该叫做负无穷小，因为它是无限向左延伸的极限；-1/∞应该叫做负无穷大，它是数轴上负数领域中向右延伸无限趋近于最大极限0（传统数论观点）的极限。如果说单凭“-”这个符号给∞与1/∞这两个正数区域中的概念赋予了相反性，从而形而上学地管它们分别叫做负无穷大与负无穷小，就存在了一个概念与本质的分歧。数轴不是温度计，数轴上绝不是越往右越大越往左越小。得出这种概念的原因仍然是站在正数的角度上去考虑负数的问题。正数与负数由于方向这个原因无法比较大小，但它们的绝对值可以。
最后，负数乘以负数等于负数
先列出两个著名的负数乘以负数等于正数的数学模型：
1.相反数模型。
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5×3=5+5+5=15，（-5）×3=（-5）+（-5）+（-5）=-15
所以，把一个因数换成它的相反数，所得的积就是原来积的相反数，故（-5）×（-3）=15。
2.苏联数学家盖尔范德的解释：
3×5=15：得到5美元3次，即得到15美元。
3×（-5）=-15：付5美元罚金3次，即付罚金15美元。
（-3）×5=-15：没有得到5美元3次，即没有得到15美元。
（-3）×（-5）=+15：未付5美元罚金3次，即得到15美元。
两个数模的逻辑漏洞：
相反数模型仍然是将负号赋予了绝对意义的相反性。把一个因数换成它的相反数，所得的积未必是原来的积的相反数；（-5）×（-3）可以这么考虑：同方向的两个数量相乘，所得的结果是该方向上的乘积：（-5）×（-3）=-15。这与（+5）×（+3）=+15的概念是相容的。若按照相反数模型，可以得出（+5）×（+3）=-15：
（-5）×（-3）=（-5）+（-5）+（-5）=-15，（+5）×（-3）=（+5）+（+5）+（+5）=+15
所以，把一个因数换成它的相反数，所得的积就是原来的积的相反数，故（+5）×（+3）=-15。
读者会说：你列的相反数模型从一开始就是错误的（-5）×（-3）=+15，而不是等于-15。这时读者就犯了一个先入为主的错误。我是站在负数的立场上推出的（+5）×（+3）=-15。负号不仅仅只是相反符号或者减号，就像正号不仅仅只是加号一样。它们表示的是数字的方向性。
再看一下盖尔范德的逻辑错误：
3×5=15：得到5美元3次，即得到15美元。正确。
3×（-5）=-15：付5美元罚金3次，即付罚金15美元。正确。
（-3）×5=-15：没有得到5美元3次，即没有得到15美元。错误。混淆了没有得到15美元与失去了15美元的概念。同样是-15，都是失去了15美元，为什么一个是少了15美元而另一个是没有得到额外的15美元？这个命题的正确结论应该是：3次失去了5美元。
（-3）×（-5）=-15结论的正确性就好理解了：3次失去了5美元罚金。
新的算法：
（+3）×（+5）=+15，+3在正数方向上的5倍。
（+3）×（-5）=-15，+3在负数方向上的5倍。
（-5）×（+3）=+15，-5在正数方向上的3倍。
（-3）×（-5）=-15，-3在负数方向上的5倍。
结论：正负数同号相乘正正得正，负负得负；异号相乘所得数值的正负号取决于乘号后面的倍数的正负号。综上所述，负负相乘的结果数值的符号可以是负号。因而虚数i也就不必存在了。
论文作者:王子铭
论文发表刊物:《教育学文摘》2020年4月总第332期
论文发表时间:2020/3/3
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