基于二叉树模型方法的 Bermuda型 理财产品定价

邱明雪¹，孙玉东^2*

(1.贵州民族大学 数据科学与信息工程学院,贵阳 550025; 2.贵州民族大学 商学院,贵阳 550025)

摘要： 利用时变二叉树模型方法研究了Bermuda型理财产品进行期权定价问题.首先,利用点估计方法对沪深300指数的历史数据进行收益率和波动率的提取.其次,针对收益率序列和波动率序列的历史数据建立相应的时间序列模型,进而表明了收益率和波动率不为常数.再次,将未来时刻的收益率和波动率视为时间变量的函数,构造了时变参数下的二叉树模型.最后,对各类Bermuda型理财产品是否自动化再投资问题进行分析,并通过实证分析,得出指定理财产品的理论价格,结果表明对该类型理财产品选择自动再投资对投资者更有益.

关键词： 二叉树模型方法;Bermuda型理财产品;ARMA模型;价值分析

随着金融市场的不断完善,人们对理财产品的选择也各有不同,在市场利益的驱使下,人们往往对银行理财产品无从下手,选择一款合适的理财产品,并进行合理规划,降低理财产品带来的风险,将自己的收益最大化是人们需要注意的,这时就需要对理财产品进行定价研究了.

自2004年光大银行推出我国第一个理财产品“阳光理财A计划”以来,我国银行理财产品迅速发展,目前国内外对理财产品已经有了非常多的研究.姜豪^[1]利用逐步回归法,发现M2增速与各期限各类型理财产品收益率均呈现显著负相关关系.王昕霞^[2]运用VAR,分析了各影响因素对我国商业银行黄金挂钩结构性理财产品定价的影响.王硕^[3]采用EKF模拟Wishart模型中的矩阵参数以求出理财产品的价格.张雪^[4]利用Merton跳-散模型对四款理财产品进行了定价分析.姜艳^[5]利用GARCH模型和蒙特卡洛模拟法计算出理财产品的理论定价.Sascha Wilkens等^[6]基于一款股票挂钩型理财产品,发现该理财产品在一级市场和二级市场的交易价格与理论价格的差别不同.Andrés等^[7]通过混合传统保险和金融产品计算新型产品的预期收益.Rúben Sousa等^[8]通过超几何随机波动模型对期权定价.

对于二叉树,如文献[9-10]就对二叉树模型的参数做了估计.霍海峰等^[11]对经典的B-S模型做变换,弥补了波动率为随机性时的不足.姜礼尚^[12]利用二叉树做期权定价研究.本文以二叉树为基础,利用ARMA模型^[13-14]对参数进行预测,从而对Bermuda型理财产品进行研究.

表 1中国工商银行理财产品
Tab.1 Finance products of ICBC

表 2 Bermuda型理财产品说明
Tab.2 Introducing of bermuda’s financial products

目前我国在Bermuda型理财产品方面的研究还有所欠缺,但是这种类型的理财产品在银行中很常见,如表1就是工商银行部分Bermuda型的理财产品.

Bermuda型理财产品虽然在投资收益的说明上有所不同,有的投资收益依赖于收益率,有的依赖于购买份额,也有的依赖于初始的投资金额,但它们在到期日的收益都可归结为表2.

S _i,1 =uS _i-1,0 ,S _i,1 =dS _i-1,1

根据表2得到Bermuda型理财产品收益的数学模型为:

F (c )=S ×(a ₁I _{c<b ₁}+

a ₂I _{b1≤c ≤b ₂}+a ₃I _{c>b ₂})

(1)

接下来,针对模型(1)进行量化分析,以期获取该型理财产品的价值.

贫困农村男青年单身潮流汹涌而至，不仅需要政府部门积极改善当地当前经济落后面貌，增加农民收入，还需要政府部门未雨绸缪，提前规划未来大量农村单身老年人的养老问题。一方面，应完善养老制度，提高贫困农村单身群体的生活水平；另一方面，相关部门需进行政策引导，努力改善这一群体可能遭受的社会歧视，减轻其心理压力。最后，现阶段规划养老院或其他形式的养老机构时，应充分考虑新生代单身人群的生活和心理需求，使其能安享晚年。

1金融市场的随机模型

假定风险资产价格在每段[t _i ,t _i+1 ]上仅存在上升、下降两种可能：

从表3可以看出,收益率序列的均值为0.001 065近似为0,波动率序列的均值为0.160 658.二者偏度均大于0,说明两序列分布有长的右拖尾.峰度均明显高于正态分布的峰值,说明收益率序列和波动率序列均具有尖峰厚尾的特点.由J -B 统计量知二者均拒绝服从正态分布的假设.接下来对收益率序列和波动率序列的模型进行拟合.

表 3收益率序列与波动率序列的统计属性
Tab.3 The statistical properties of return series and volatility series

一方面,利用时间序列检验收益率序列和波动率序列的平稳性,这里采用单位根检验.由表4可知,对收益率序列进行单位根检验,其统计量为-15.605 14小于临界值,伴随概率为0.000 1,小于0.05,拒绝单位根假设,因而表明该序列是平稳的.由表5可知,对波动率序列进行单位根检验,其统计量亦小于临界值,伴随概率为0.000 8,拒绝单位根假设,因而表明该序列也是平稳的.

表 4收益率单位根检验

Tab.4 The unit root test of yield rate

表 5波动率单位根检验

Tab.5 The unit root test of volatility

另一方面,对收益率序列和波动率序列进行模型选择和定阶.从图1可以看出,自相关系数在1期后很快趋于0,所以取q =1;偏自相关系数在2期后有趋于0的趋势,所以取p =2,最后确定收益率序列选取ARMA(2,1)模型进行预测.同理根据对图2的分析,最后确定波动率序列选取ARMA(1,1)模型进行预测.

李辛孟（1997—），男，汉族，山西长治人，本科在读，研究方向：播音与主持艺术；姜壮（1985—），通讯作者，汉族，山东烟台人，硕士，讲师，一级播音员，研究方向：广播电视节目制作。

综上所述,收益率序列选取ARMA(2,1)模型,它的系数估计如表6,得到收益率时间序列模型的数学表达式：

μ _t =0.073 187μ _t-2 +ε _t -0.986 438ε _t-1

(2)

图 1收益率序列相关系数分析 图 2波动率序列相关系数分析
Fig.1 Correlation coefficient analysis of the yield rate series Fig.2 Correlation coefficient analysis of the volatility series

同理,波动率序列选取ARMA(1,1)模型,它的系数估计如表7,得到波动率时间序列模型的数学表达式：

二是清晰定位校长的角色。校长有教育者、领导者和管理者三个角色，每一种角色都有相对应的工作实践和主要职责。教育者的角色要求校长了解教育一线情况，引领教育教学改革，对教师的教学和学生的学习进行宏观指导；领导者的角色要对学校发展做成统筹规划，有一定的战略管理能力，对学校发展进行长远分析，规划学校的未来；管理者的角色要求校长对学校的教育教学工作等进行全面的事务性管理。尽管教育部门加大了校长培训力度，但是在清晰定位校长的角色之后，校长更需要自身的努力，在不同角色中提升工作能力，实现自我减压。

(3)

根据以上分析,Bermuda型理财产品的二叉树定价过程分以下步骤:

dS (t )=μ (t )S (t )dt +σ (t )S (t )dB (t )

(4)

其中,μ (t )和σ (t )分别表示收益率和波动率,见公式(2)和公式(3),{B (t ),t ≥0}为标准Brown运动.

S _i,i -1=uS _i-1,i -2,S _i,i -1=dS _i-1,i -1

表 6收益率序列 ARMA( 2, 1)模型系数估计

Tab.6 The coefficient estimates of return series ARMA(2,1) model

表 7波动率序列 ARMA( 1, 1)模型系数估计

Tab.7 The coefficient estimates of volatility series ARMA(1,1) model

图 3 t ₂时刻到 t ₀时刻二叉树倒推图
Fig.3 Reverse vecursion of binomial tree from t ₂tot ₀

2 理财产品的二叉树模拟

假定当前时刻为t 时刻,0时刻购买理财产品,到期日为T _k (第k 期到期日,k =1,2,…)时刻,将期权存续期分成kn 个长度为Δt 的小时间段(每期n 个时间段).

研究数据采自Sina财经网的沪深300指数的历史数据——2017-10-19—2018-03-16的沪深300指数每日的收盘价.这里每5 min采集1次数据,共计4 848个交易数据.为了方便进行时间序列建模,对数据取对数并差分.

P (S (t _i+1 )=uS (t _i )|S (t _i ))=p ,P (S (t _i+1 )=dS (t _i )|S (t _i ))=1-p

(5)

即上升和下降的比率分别是u 和d ,对应的概率分别是p 和1-p .

一是明确监管主体。有些简单的规定和规范性文件在效力层次方面不高，不能规范商业预付卡市场，因此立法要明确规定预付卡的部门职责与监管主体，以免出现监管无序和缺位的情况[3]。如明确中国人民银行和工商部门分别为主要监管主体与辅助监管主体，前者负责商业预付卡的违法处罚、审查发行等，后者负责企业信用档案的建立、预付卡合同范本的出台等。

根据二叉树模型的基本思想,公式(4)和(5)的条件期望和条件方差相等,并且u ·d =1,可以得到：

电力企业信息网的安全防护是一个系统工程。网络的安全问题涉及身份认证、访问控制、数据保密性、数据完整性、抗欺诈、审计、可用性和可靠性等多种基本的安全服务，涉及ISO/OSI所有的七个协议层次（物理层、数据链路层、网络层、传输层、会话层、表示层和应用层），覆盖了企业信息网络中物理环境、网络平台、主机平台和应用平台等几个系统单元。因此，网络安全是一个立体的、多方位、多层次的系统问题，在规划、设计、实施电力企业信息网络的安全系统时也必须用系统工程的方法论来考虑。为保证网络的安全，我们可以采用以下一些防护体系。

注意根据公式(3),这里的市场波动率是随时间浮动的,它是时间的函数.再利用二叉树模型反向递推的原则,如图3,则理财产品的价值可表示为:

新常态，顾名思义，就是在经过一段非常态化发展状态后重新转入常态化发展的过程。由于我国中国特色社会主义道路的正确选择，改革开放到2013年间，我国年均GDP增速基本维持在10%以上，是处于非常态的高速增长阶段。2013年之后，我国年均GDP增速逐渐放缓至6%～7%，恢复到了常态化的中高速增长，这一阶段就被称作我国步入了经济新常态。

f _i,j =exp{-r (t )Δt }[pf _i+1,j +1+(1-p )f _i+1,j ]

(6)

其中f _i,j 表示iΔt 时刻节点(i ,j )处的期权价格,r 表示无风险利率,0≤j ≤i ≤N .

从而,沪深300指数在风险中性定价测度之下遵循如下Black-Scholes期权定价模型:

少数民族基础数学多以双语进行授课，因而少数民族基础数学教师的双语能力成为影响数学教育的关键因素。大部分的少数民族数学教材都是用汉语编排的，公式、定理等都没有翻译成标准的少数民族语言，这为数学的讲授带来了困难。双语数学教师面对的是一群以少数民族语言为母语的学生[6]。教师对汉语掌握不精，就很难流利的讲清楚一些数学概念，对少数民族语言不了解，就不能把握学生的语言能力水平，就会影响课堂教学。数学素养也是影响数学教育的另一个关键因素，它是指用数学观点、数学方法和数学思维分析和解决问题的能力。教师的数学素养高低影响学生的数学素养高低，尤其是少数民族基础数学教师，对数学的态度会传染给学生。

S _i,2 =uS _i-1,1 ,S _i,2 =dS _i-1,2

2)构建对应的股票价格多期二叉树.当前时刻t =t ₀,经过Δt 之后即t ₁时刻风险资产价格S (t ₀)有两种可能,或上升至uS (t ₀),或下降至dS (t ₀).t ₂时刻有三种可能,分别为u ²S (t ₀)、udS (t ₀)、d ²S (t ₀).类似地以此类推,在t _n 时刻,风险资产价格有n +1种可能:

S _n,j =u ^j d ⁿ-j S (t ₀),j =0,1,2,…,n

即:

S _i,0 =dS _i-1,0

面对全新的发展环境，各医院必须紧紧围绕在战略部署的周围，深化理解现代医院管理制度的现实需要，实现对财务管理各岗位职能与责任义务的优化配置，进而为构建崭新财务管理组织奠定基础，适应公立医院综合改革的现实需要。在实现岗位优化配置的实践中，应该将重点放在财务管理职能逐步强化这一视角之上，整合《会计法》、《行政事业单位内部控制规范》、《医院财务制度》等相关法律法规与政策部署中的要求与路线指引，公立医院应该将进一步提高内部治理能力为基本着眼点与发力点，尽快构建起将总会计师作为核心的领导管理机制，使得财务部门可以尽快实现集中化、统一化管理，实现财务核算职能与管理职能的相互分离。

1)计算二叉树的参数p 、u 和d .根据沪深300指数的历史数据,提取出收益率μ (t )和波动率σ (t ),由公式(2)和公式(3),再利用各参数的求取公式分别求出各参数.

…

研究2015年~2017年在我院和昆明医科大学第二附属医院进行治疗的子宫瘢痕憩室患者,共52例,所有患者均是在剖腹产后出现的病症。随机分成两组,A组30例,B组22例,其中A组患者年龄为24-41岁,平均(31.0±4.3)岁,首次剖宫产与2次剖宫产的患者例数分别为18例、12例,而2次剖宫产妇具其首次剖宫的时间为4-9年,平均(5.9±1.8)年。B组患者年龄为22-40岁,平均(30.8±4.8)岁,首次剖宫产与2次剖宫产的患者例数分别为12例、10例,而2次剖宫产妇具其首次剖宫的时间为5-9年,平均(6.3±1.6)年。

S _i,i =uS _i-1,i -1

得到t _i 时刻的期权价格.以此类推分别得到t ₁,t ₂,…,t _n 时刻的期权价格.

3)通过二叉树推导计算期权的价格.二叉树模型利用公式S _i+1,j =dS _i,j ,S _i+1,j +1=uS _i,j 和f _i,j (i =1,2,…,n ,0≤j ≤i )倒向推至t ₀时刻获取期权的价格.即:

f _n-1,n -1=exp{-r (t )Δt }[pf _n,n +(1-p )f _n,n -1]

f _n-1,n -2=exp{-r (t )Δt }[pf _n,n -1+(1-p )f _n,n -2]

…

f _n-1,0 =exp{-r (t )Δt }[pf _n,1 +(1-p )f _n,0 ]

得到从t _n 时刻倒推至时刻t _n-1 期权的价格.以此类推,直到得到t ₀时刻的期权倒推价格.

4)计算f _i,j 路径下的期权收益:

连着三天夜里，一到明月高悬之时，田埂上便会出现一个奔走的身影。然而儿子失眠的情况却不见好转，但张大娘依旧在夜里呼喊着儿子的名字，认真而固执。

奥林匹克标志。奥林匹克标志是一些特殊符号，主要包含奥林匹克组织(国际奥委会、国家奥委会、奥运组委会)的标记(如会徽)、标志性物品(如吉祥物)等符号。奥林匹克标志之所以能被众多国际知名企业追捧，这主要是因为奥林匹克标志的符号具有无形价值，传递着奥林匹克真善美的理想，具有唯一性和排他性。1983年标志“知识经济理论”初步形成的“新经济增长理论”，由加州大学教授保罗·罗默首次提出，知识经济是可持续发展的经济,直接依赖于知识和信息的生产、传播和使用，以高技技术和智力资源作为主要基础。

(1+r ₁T )I _{r<b ₁}+(1+r ₂T )I _{b1≤r ≤b ₂}+(1+r ₃T )_r>b ₂

(7)

5)重复步骤1)、步骤2)和步骤3),不低于10 000次.

6)按无风险利率进行贴现,获取期权的价格.

表 8理财产品收益
Tab.8 The benefit of finance products

3理财产品分析

为了说明本文提供算法的有效性,考察表1中理财产品的价值问题,其中表8反映了表1中理财产品关于是否选择自动再投资问题的收益说明.由表8可知,Bermuda型理财产品在第1个投资周期不受是否自动再投资问题的影响,而在第2期,可以明显地看出,自动再投资收益更大.如“中国工商银行个人高净值客户挂钩沪深300指数人民币理财产品”,假设投资者投资10万元,第一个投资周期下来,投资者将获得收益1 041.64元.再考虑投资两个周期,若投资者没有选择自动再投资,第2个周期下来,投资周期将顺延,投资者的最终受益为1 025.18元；若投资者选择了自动再投资,第2个周期下来,投资者的最终受益为1 035.86元.明显看出,投资者选择了自动再投资对自己更有益.同时,由第3个理财产品和第4个理财产品可知,投资周期越长,获得的收益越大.

本理财产品选自“个人净值客户挂钩沪深300指数2号理财产品(91天投资周期)”.基于表9的说明,投资者在购买了100 000元的该理财产品之后,到期日的收益可归结为:

F (μ )=100 000×[3.20%×I _{μ>5%} +(4.20%-0.2×μ )I _{-15%≤μ≤5%} +7.20%×I _{μ<-15%} ]

再根据前面提取到的收益率和波动率,运用二叉树模拟出价格路径,获取该理财产品的理论价格,这里只以第一个理财产品为例,见表10.

我国制造业的前进不但要看重大企业的壮大，也应兼顾中小制造企业的主动性，使市场配置更加科学，维护企业间的竞争秩序。但是科技和人力资源存在瓶颈，新经济环境下中小制造企业获得了机遇的同时，也将会面临挑战。

表 9个人净值客户挂钩沪深 300指数 2号理财产品说明
Tab.9 Introducing of No.2 financial products about net worth individual linked to the CSI 300 index

表 10理财产品到期收益
Tab .10The benefit of finance products at expiration

实际上,表10所显示的是投资者未选择自动再投资情况下发生的单期理论价格,若投资者在购买理财产品初始就选择了自动再投资,那么,在第二期该投资者将会获得的理论价格是101 462.79元,这明显比单期购买所得的价格100 687.3元更多,因此这进一步说明了在购买Bermuda 型理财产品时,选择自动再投资更有益.

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Pricing of Bermuda ’s Financial Products Based on Binomial Tree Model Method

QIU Mingxue¹,SUN Yudong^2*

(1.School of Data Science and Information Engineering,Guizhou Minzu University,Guiyang 550025,China;2.School of Business,Guizhou Minzu University,Guiyang 550025,China)

Abstract ： In this paper,the time-variant binomial tree model is used to study the Bermuda’s financial products for option pricing problem.Firstly,the yield rate and volatility of the historical data to the CSI 300 index are obtained by point estimation.Secondly,the corresponding time series model are established by the historical data of the return series and the volatility sequences which shows that the yield rate and the volatility are not constant.Thirdly,the binomial tree model is constructed to analyze the value of Bermuda’s products in which the yield rate and volatility of the future is regarded as a function of time variable.Finally,the problem of automatically reinvestment is analyzed.The results showed that the types of financial products is more beneficial to investors by choosing automatically reinvestment.

Keywords ：methods of binomial tree model;financial products of bermuda;ARMA model;value analysis

中图分类号： F830.91; O211.64

文献标志码： A

收稿日期： 2019-04-21.

基金项目： 贵州省科学技术基金项目(黔科合J字[2015]2076);贵州省教育厅青年科技人才成长项目(黔教合KY字[2016]168);贵州民族大学科研基金资助项目(2017YB085).

第一作者简介： 邱明雪(1994- ),女,硕士生,主要从事数据处理与统计建模方面的研究;

^* 通信作者:孙玉东(1983- ),男,博士,副教授,主要从事随机分析、数理金融等方面的研究.

文章编号： 1008-8423( 2019) 02-0181-05

DOI: 10.13501/ j.cnki.42-1569/ n.2019.06.013

责任编辑：黄孝忠

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