谈谈中学微积分教学的准备及开头课，本文主要内容关键词为：微积分论文,开头论文,中学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
十七世纪微积分的出现，是数学发展史上的一件划时代的大事。微积分是人类智慧最伟大的成就之一，由于微积分具有将复杂问题归化为简单规则和步骤的非凡能力以及深邃的思想方法，它的出现极大地影响了数学以及整个科学的发展。美国数学教育家M.Kline说过：“数学是从微积分开始，而不是以之为结束。”因此，在新的中学教材中增加微积分的内容，让中学生了解微积分的一些基本概念，初步学会运用微积分的思想解决一些实际问题，是充实中学数学学习内容，完善逻辑思维与辩证思维的训练，提高中学生数学素养的有力举措。
下面就中学微积分教学的准备及开头课谈些建议。
1 认识微积分与初等数学的区别
中小学数学课程的主要内容——算术、代数、三角、几何等统称为初等数学，微积分则属于高等数学的范畴，二者是有区别的。作为中学数学教师，只有充分认识这些区别，才能教好微积分。概括起来说，微积分和初等数学的区别主要表现在下面三个方面：
1.1 内容方面
初等数学仅与有限的过程相联系，研究不变的量、不变的形；微积分则与无限过程相联系，研究变化的量与变化的图形，因而，使得我们对于变速运动、弯曲图形的研究成为可能。无限和有限有着许多差别，例如，有限数集中一定有最大元，而无限数集则不然等等。作为数学教师应该注意这些差别。
1.2 方法方面
初等数学基本上是静止地孤立地处理问题，大多是在形式逻辑范围内活动。而微积分不是孤立地看一个数、一个图形，它是看一系列数、一系列的图形（如刘徽割圆的过程）；不是静止地看某个数、某个图形，而是看这些数或图形的变化。在初等数学中，常常通过两个数的运算确定第三个数，而在极限中，则是由无数个数确定一个数。
1.3 思维训练方面
作为教育的微积分的任务之一是辩证思维能力的训练和培养。中学生长期接触初等数学，习惯于和不变的量、不变的形打交道，习惯于在有限中思考问题，而微积分中则充满了以直代曲，由近似到精确的辩证思想。所以在思维训练方面微积分有着初等数学无法替代的功效。
2 作好中学微积分教学的准备
正是由于微积分和初等数学有着较大的区别，所以在进行微积分教学之前，应该做些必要的准备。这些准备包括教师思想上的准备和学生知识上的准备两个方面。
2.1 明确中学微积分教学的任务
习惯上将微积分的发展分为两个阶段，第一个阶段是牛顿、莱布尼兹时代的微积分。这一阶段的微积分以它的直观性和不断扩展的应用显示了数学巨大的威力，但是也暴露出缺乏严格逻辑基础的缺点。于是有了第二个发展阶段的微积分，即诞生于19世纪的数学分析，建立了微积分严格的理论基础。
显然中学教材中的微积分属于第一阶段的微积分，即初等微积分。希望中学生通过学习这一部分内容，了解微积分的基本思想，掌握微积分的基本运算，同时也为他们在处理函数的极值、函数的单调性、面积体积的计算提供一个有力的工具，使得许多原本在初等数学范围内十分困难的问题变得不再困难了，可见给中学生讲些微积分有利于减轻中学生学习负担。
中学微积分教学的主要任务是掌握微积分的基本运算，并且学会应用微积分工具解有关的问题。
在教材中虽然也出现了极限的“ε—N”、“ε—δ”的定义， 这只是为了让学生对19世纪对微积分的理性思考有所了解，不应该成为教学的重点，在教学中也不应在这些地方多花力气。现在有的教学辅导材料，对一些微积分的定义作了推广和引申，例如对导数的定义给出如下的变形
这样做一方面超出了中学生的认知水平，同时也偏离了中学微积分教学的主要任务，因而是不恰当的。
2.2 作好知识与观念上的铺垫
数学史上极限思想的最早出现距今已有2000多年，西方的阿基米德和我国的刘徽、祖冲之都利用极限思想成功地解决了一些数学问题。在这2000多年里极限思想伴随着初等数学的发展不断成熟，所以微积分里会留有从初等数学脱胎出来的痕迹，在初中和高中数学的有关章节中作者也为微积分思想的教学埋下了伏笔，如果我们在教学中加以留意，就能够在相关内容的教学时为学生学习微积分做好知识与观念上的铺垫。
函数是中学数学教学的一个重要内容，也是微积分研究的重要内容，不同的是微积分是用极限的观点研究函数。用极限的观点研究函数常常要找出在某个极限过程下函数中起主要作用的部分，因此我们在函数的教学中就可以适当增加一些函数比较大小的内容，例如对数函数、幂函数、指数函数之间的大小比较，不同方次的幂函数之间的大小比较以及比较中系数的作用。让学生知道当x大到一定程度时，e[x]大于x[n]，x大于（log x）[n]，x[3]大于30000x[2]（x＞0，n＞0）；而当x小到一定程度时，则有相反的结论。
再如数列，中学数学中研究数列的通项，微积分考察在n 变大时通项的变化趋势；中学数学中研究数列的有限项的和，而微积分研究如何定义无限项和以及如何求无限项和，所以在数列的教学中也应该为微积分教学做些准备。类似的应该在体积教学中为积分留下伏笔，在切线的教学中为微分做些准备。有了这些铺垫学生在学习微积分时就可以顺利得多。
3 重视微积分教学的开头课
俗话说“好的开端是成功的一半”，所以我们应该重视微积分开头课。关于开头课的教学提出下面几点建议：
（1）开头课可以用直观、 有趣且学生熟悉的事物来引入微积分的思想。例如圆面积的计算公式学生在小学里就学习过了，当时是通过下面的图形利用圆的周长公式C＝2πr得出圆面积的计算公式S＝πr[2]。
这是学生非常熟悉的东西，但是为什么曲边可以看成是平行四边形的一条边？小学里是无法也不可能说清楚的。如果有了极限的思想，有了微积分的知识就可以彻底理解这个公式的正确性。当然，这是在我们承认圆的周长公式C＝2πr的基础上的讨论，事实上求圆的周长和求圆的面积一样困难，关键是确定圆周率π，于是还可以给学生介绍刘徽割圆的基本思想。再譬如，曲线的切线、渐近线这些学生熟悉的材料都可以用来在开头课中引入微积分的思想。
（2）开头课中要注意概念的正确性，叙述的准确性。 由于微积分对于学生来讲是刚刚接触的内容，所有的概念都是全新的，开头课的概念和语言将先入为主对学生产生较大的影响。所以在开头课中使用的概念一定要正确，叙述一定要准确，这样才有利于学生对极限等概念的理解，也有利于学生逐步养成用严格的数学语言表述问题的良好习惯。
（3）开头课要有气势，要让学生产生跃跃欲试， 迫切想要学习这门课的冲动。要做到这点并不困难，因为微积分有太多的历史故事，也有许多富有技巧性的问题。关键是教师要认识这一点，并有意识地去营造教学气氛。