数形结合 彰显思维之美
殷小琳
摘 要： 数形结合在数学教学中有着重要意义。如何运用数形结合帮助学生清晰地把握问题本质，提升学生的思维。本文依据数形结合的现状，从借“形”看“数”、用“数”说“形”、“数”“形”互化三个方面进行了相应的思考和阐述。
关键词： 数形结合；思维；美
我国著名数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”数形结合是数学的重要思想方法，在数学学习中发挥着不可替代的作用。
一、 数形结合的价值
(一) 激活学生的思维
数学教学既要让学生学会，更要让学生学通、学活。然而，在实际教学中发现学生常常无法做到“举一反三”“触类旁通”“学以致用”，遇到一些稍复杂的问题，更是显得无从下手，混淆不已。究其原因，是学生找不到思维的落脚点。美国数学家斯蒂恩说：“如果特定的问题可以转化成一个图形，那么思想就整体把握了问题，并能创造性思索问题的解法。”由此可见，数形结合能帮助学生更好地把握问题的本质，激活思维。
(二) 简化解题的过程
数学问题的解决具有灵活性、多样性，正所谓“条条大路通罗马”。假如用数形结合的方法去思考，也许就能从中找到一条捷径。
例如：在计算1+3+5+7+9的值时，假如将这个算式转化成图形(如图1)，就能快速地得出算式的结果为5×5=25。
图1：
(三) 沟通知识的联系
生1：用4根、6根、8根小棒都可以摆出平行四边形。
对学生与数据分析观念相关的调查研究主要是从三个方面进行研究：一是就某一些统计概念的理解展开调查，如曲元海对初中生统计量理解的调查研究[12].二是单独对学生的数据分析观念进行调查，如李红梅对七年级学生数据分析观念的现状调查[4].三是在调查数学核心素养中包含数据分析，如张淑梅对高中数学核心素养统计分析过程中发现，数学建模与数据分析的相关性较大[13].
例如：在学习了四边形之后，可以借助图形(如图2)呈现出不同四边形之间的关系。
图2：
二、 数形结合的现状
“数”中有“形”，“形”中有“数”，学生将“数”转化为“形”是思维的起点，也是理解题意的关键一步，但并非最后一步。很多学生却止步于此，当问题得以解决的那一刻，思维也就此停留。不会再去想一想“为什么这样做”“有没有更好的方法”“图形的背后还隐藏着哪些知识点”等。
(一) 图形的呈现不够直观
数形结合能帮助学生有效地解决数学问题，拓展思维，然而学生在应用数形结合时，多了一些“模仿”与“记忆”，少了一些“联系”与“变通”，更多地将数形结合作为解决某一类特定问题的手段。当遇到一个陌生的问题时，一部分学生就不会静下心来理性地分析，将题目中的数量关系以图形的形式直观、准确、清晰地表达出来。
沿海景观带的规划是以海洋与海岸线作为整体设计的载体与背景，融入人工建设，打造出与自然环境相协调的滨海世界。环境的改变，有利于展现区位优势，提高土地价值，实现招商引资，促进整个岛屿经济的发展，推动琅岐岛向新型化、现代化和生态化城市商圈发展。岛屿形象的改变，实力的提高，也为琅岐岛引来大量人才、资金、技术上的支持和投入，带动本岛第三产业的发展，实现更宽、更高层次的合作与竞争，最终达到全岛经济的发展。
(二) 对问题的分析不够深入
通过对学生课堂表现的观察和对作业情况的分析，发现数形结合的现状并不乐观。虽然学生具有数形结合的意识，但是对于数形结合的运用是盲目的、随意的，只停留于问题的解决，并未发展到提升思维的层次。主要表现在以下几个方面。
(三) 对知识点的把握较零散
知识是相通的，但题目却可以千变万化。假如学生能将知识进行梳理、沟通，建构一个完整的知识结构，并将其不断内化，就可以以不变应万变。然而，在解题时，虽然学生知道自己运用的是什么知识点，但不会去追根究底，思考与这一知识点相关的其它知识点以及相互之间的关系。
三、 数形结合在数学教学中的运用
在数学教学中如何发挥出数形结合应有的价值，彰显出思维之美？我进行了如下尝试。
(一) 借“形”看“数”，让思维清晰化
小学生处于具体运算阶段，思维仍需要以具体表象为支撑。“形”最大的特点就是直观，它可以将复杂的数学问题变得简明、形象，有利于学生更清晰地描述和分析问题，从而化繁为简、化难为易，给人“柳暗花明又一村”的感觉。因此，在数学教学中，要引导学生变“解题者”为“参与者”，用心感受题目中的数量关系，并直观地呈现出来。
例如：有这样两道习题。习题1：3支铅笔和1支钢笔一共10.8元，钢笔的单价是铅笔的6倍，钢笔和铅笔的单价各是多少？习题2：师徒两人一共做了120个零件，师傅比徒弟多做16个，两人各做了多少个？
这两题看起来类似，实则不同。但学生借助“形”，将问题以图文结合的方式展示出来(如图3)，看似复杂的数学问题，一经加工处理，也能变得一目了然。
生5：平行四边形对边所用的小棒根数相等，因为平行四边形对边相等。
(生尝试后发现只有偶数根小棒才能摆出一个平行四边形)
题目2：
小学数学教师在进行教学前的教学设计出发点应该是学生学习数学能为他们今后的生活提供怎样的帮助，而不是只关注学生所学的数学知识。因此，在进行教学时，教师需要对数学知识进行学习需求的分析。分析数学课程标准、数学教材和现实生活等外部条件，再分析学生特定年龄阶段的心理和认知情况。从而准确地找出符合学生的学习内容。
题1中两个量是倍数关系，把1支钢笔换成6支铅笔，也就是9支铅笔是10.8元。题2中两个量是相差关系，把徒弟换成师傅，总数就多了16个，也就是师傅所做的零件数的2倍是136个，这样，就理清了数量关系，理顺了学生的思维，从原来的不知从何入手到有章可循。
1.3 疗效判断标准 ⑴治愈：鼻内窥镜下造瘘口上皮化良好、泪道冲洗通畅、无溢泪、分泌物溢出。好转：鼻内窥镜下可见造瘘口上皮化但较小，泪道冲洗通畅，有少许冲洗液返流，伴少许溢泪。无效：鼻内窥镜下造瘘口未见上皮化，泪道冲洗不通畅，出现溢泪、溢脓等。治愈和好转均视为有效。
(二) 用“数”说“形”，让思维深刻化
“形”看似直观，但如果用数学的眼光去打量它，用数学的思维去挖掘它，我们会发现，在“形”的背后其实也藏着许多“数”的奥秘。而且学生思维能力、知识背景、生活经验等方面均存在着一定的差异，观察同一个“形”，不同的学生会有不一样的思考，在交流和碰撞的过程中，也许还会产生新的思维火花。
1、浸种：浸种时用的金元宝按比例兑上凉水，把种子浸泡2小时，捞出后用清水洗净种子上药物和附物，之后用清水泡20个小时，捞出后即可播种（种子最好不要催芽，催芽出土的幼苗没有不催芽长势健壮）。
师：观察这些平行四边形，你有没有什么新的发现？
4月26日，奔赴阿斯特拉罕途中第2个参观点是伏尔加河渡口。我们先后到离查干阿姆不足2—3公里的两个渡口走访。
数学知识常常以网状结构存在，相互联系、彼此沟通。然而，学生对于知识的理解常常是点状的、零散的、浅显的。数形结合能帮助学生从整体上把握知识，形成概括化、系统化的网状知识结构。
例如：在“认识平行四边形”时，要求学生根据对平行四边形特征的认识，用小棒摆出不同的平行四边形。通过操作，学生摆出了许多不同的平行四边形。
生2：小棒的根数都是双数。
生3：5根可以摆一个平行四边形吗？
题目1：
线路损耗主要分为管理损耗和技术损耗，而其中管理损耗占较大比例，所以通过用电信息采集系统技术可以有效减少营销环节中的抄表、计量等错误的发生，有效避免了窃电行为，从而在管理环节上有效降低了线路的损耗，达到了降损的目的。
生4：摆一个平行四边形最少要用4根小棒。
图3：
生6：所用小棒根数越多，拼出来的平行四边形就越大。
首先，农村的“空心化”引发的人才短缺，在城镇化、工业化不断发展的当下，大量农村青壮年劳力不断涌入城市，农村常住人口多是一些“老弱妇幼”人员，并且随着农村人口逐渐空心化的同时，逐渐演变发展为农村土地、产业以及各种基础设施的整体“空心化”，当下农村严重缺乏能够满足现代服务业要求的高素质劳动力人口、以及相应基础设施。
生7反驳：不一定小棒越多平行四边形就越大，因为平行四边形的大小和边的长度还有斜度(高)有关。
……
如果学生拼出平行四边形后，不再进行追问，学生的思维可能就此止步。但当学生再次观察这些图形的时候，不同的人能得到不一样的感悟。也许学生的思维不够严密，也许学生的表达不够清晰，但是在观察、归纳、猜测、验证的过程中，学生对于平行四边形的认识从直观的感知提升到了理性的理解，甚至还延伸到了平行四边形的周长和面积之间的关系。学生的思维正在一步步地深入。
(三) “数”“形”互化，让思维概括化
学生所学的知识是相互联系、螺旋上升的，学生的学习常常会将新知识转化成学过的知识，然后借助已有的知识经验解决新的问题。必要的知识梳理，可以帮助学生理清知识脉络，把握知识本质。
例如：在学习了“长方形和正方形的面积”这一课后，引导学生回顾学习内容，并将所学知识以图形的形式整理出来。有学生是这样整理的：
2. 和学生进行free-talk时，让学生描述他们知道的有趣事实，学生的思维发散，积极思考后呈现多种多样的答案。班级还有学生用手指呈现心型，让老师和学生大吃一惊。教师应该在学生发言后及时给学生相应的积极评价和肯定，会增加学生的学习热情和信心。
几个简单的箭头，不仅反映出了长方形和正方形面积公式中各部分之间的关系。“一共的面积单位=一行的面积单位×行数”说明了在学生的头脑中对于面积公式的由来有着清晰的认识。一行的面积单位相当于长方形的长，行数相当于长方形的宽，有效地沟通了二维和一维之间的关系。清晰地解释了长方形和正方形面积公式的推导过程。知识得以整合，思维得以概括。
总之，数学是思维的体操，数形结合能将看似杂乱无章的问题与知识按一定的规律分析、梳理与整合，化抽象为直观、化模糊为清晰、化零散为统一。数学教学要引导学生做到数中有形、形中有数，以数定形，看形思数，在数形结合中清晰把握问题本质，提升思维品质，让学生真正成为学习的主人。
另一种是翻转课堂模式。学生不仅要自主学习线上课程，还必须参加教师组织的线下课堂教学活动，把在线学习与课堂交流练习结合起来，实现深度学习目标，人数一般在几十人到百来人左右，考核与评价一般以线下为主。翻转课堂模式结合了线上学习和线下课堂教学两方面的优点，可以有效解决常规慕课中存在的一些老大难问题。其完成率很高，对学习的监管比较到位，学习效率较高，学分和成绩可信度也较高。
参考文献：
[1]刘永科.浅谈数形结合在小学数学教学中的应用[J].基础教育论坛，2019(13)：31-32.
[2]陈水秀.对小学数学教学中数形结合思维运用探究[J].课程教育研究，2019(11)：141.
[3]房久波.数形渗透，思维开花——浅谈小学数学教学中数形结合思想渗透策略[J].读与写(教育教学刊)，2018，15(12)：179.
作者简介： 殷小琳，中小学二级教师，江苏省太仓市，太仓市璜泾镇王秀小学。
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