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中图分类号：O1-0文献标志码：A文章编号：1000-8934(2008)10-0103-09
2006年4月18日，美国成立国家数学委员会，该会所讨论的焦点问题即是：这个改革方案是否需要在为学生提供严格的数学训练的同时，又培育他们对这一学科的深刻见解①。美国国家数学委员会成员之一、加州大学伯克利分校教授、著名几何学家伍鸿熙于同年6月11日上午，在首都师大与部分教师座谈，伍教授在介绍美国当前的数学教育情况时，曾经提出：“在美国，中小学数学教育的最大问题：很多中小学数学老师不懂数学”。“中小学数学课本不及格，几乎完全不是数学”②。由此可见，每一位数学教育工作者和研究工作者都应该以极大的兴趣和热情来研究这样一个既令人神往但又使人迷茫的问题：“数学究竟是什么？”对于这个问题的深入学习与研究，有利于培育学生对于数学这门学科的深刻见解。
德国数学家H·汉克尔(Hankel，1839-1873)于1884年在《近百年来数学的进化》一书中提出：“在大多数的学科里，一代人的建筑为下一代人所拆毁，一个人的创造为另一个人所破坏。惟独数学，每一代人的创造都是在古老的大厦之上再添加一层楼”[1]。在数学这门学科里的第一座最古老的大厦即是古希腊时期欧几里德(Euclid，约前330—前275)的名著《原本》，该书把在此之前历史上已经积累起来的几何、代数、数论等内容都集中于一体，而且以逻辑严谨，系统优美，著称于世。此后，一代又一代的数学家的辛勤劳动，都是在这座古老的大厦之上添砖加瓦，重塑新楼。数学的进化是在包容、继承和发展原有理论的基础上逐步实现的，它在历史发展各个阶段上存在着不同的层面，好比是数学大厦的不同楼层。我们要多层次，多学科、多角度地探寻数学究竟是什么，就要分别以数学大厦的不同楼层以及其周边的不同学科为视角来透析数学的本性。
1 以数学大厦的不同楼层为视角来透析数学的本性
在数学发展的历史长河中，一些著名的哲学家和数学家以及他们所领导的研究群体身居于数学大厦中的不同楼层。但是，在当时当地他们已经亲临数学发展的前沿，由此翘首远眺，能够感悟到数学的发展前景和研究对象，然而，由于各位名家、各个学派的学术观点不同，即使是在同一时间和同一地点，也会提出截然相异的数学观，现在简单地介绍几个观点：
1.1数学是研究空间形式和数量关系的科学
在1877-1878年间，德国哲学家、科学共产主义学说的创始人之一F·恩格斯(Engels，1820-1895)在其名著《反杜林论》中提出：“纯数学的对象是现实世界的空间形式与数量关系”[2]。这种数学观作为关于数学的定义，已经写入于我国教育部颁布的中小学数学课程标准之中。
1.2 数学是研究抽象结构的科学 代数结构这个概念最早由德国女数学家E·诺特(Nother，1882-1935)所领导的抽象代数学派提出，它是由集合以及集合元素之间的运算关系而定义的，特点有二：其一，集合中的元素是抽象的；其二，运算是通过公理而定义的。在这个学派的启示和影响下，法国布尔巴基(Bourbaki)学派从1933年开始研究一般的数学结构及其分类问题，1939年开始陆续出版他们的皇皇巨著《数学原本》(Elements of Mathematics)，布尔巴基学派又称之为结构主义学派，他们的数学观是：“数学是研究抽象结构的科学”。在1960年所掀起的一个波及全球的中小学数学教材现代化运动，实际上受到这种数学观的很大影响。
1.3 数学是研究模式的科学 从1930年开始，世界数学研究的中心已经逐步由德国转移到美国，此后，国际数学最高奖菲尔兹(Fields)奖获得者中有四分之三的人都曾先后访问过美国普林斯顿高等研究所数学部。1939年，英国数学家A·N·怀特海(Whitehead，1861-1947)到美国哈佛大学作演讲《数学与善》时，曾经提出他自己的数学观：“数学就是对模式(pattern)的研究”[3]5。从20世纪80年代开始，有一批美国数学家极力倡导把数学视为模式的科学(seience of pattern)。模式不仅具有较丰富的内涵，而且具有极高的概括性，任何的空间形式和数量关系，都是一种模式；任何的抽象结构，也都是一种模式。除此而外，在数学所研究的模式中，还包涵有运动与变化的模式，推理与通讯的模式，定量与定性的模式，各种各样的现实的以及可以想象的模式等等。德国数学家G·康托(Cantor，1845-1981)一生从事无限理论研究达25年之久，解决了历史上一些悬而未决的问题，颠倒了许多前人的看法。他认为数学要取得进展，必须肯定实无限的合理性。他曾提出举世闻名的数学猜想：连续统假设和广义连续统假设。美国应用数学家、数学史学家、数学教育家M·克莱因(Kline，1908-)在其名著《古今数学思想》一书中写道：“Weyl说道：数学是无限的科学”[3]324。其实，无限也是一种模式。
英国数学家怀特海(Whitehead)在《数学与善》这个讲演中提出：“今天，综览20世纪上半叶，我们发现代数有很大的扩展。它已经扩展到数的领域之外，并且应用于一大批模式(数在其中是次要因素)。……这样，数学现在就变为对各种类型的模式进行理智的分析”[3]11。怀特海在这里所说的“各种类型的模式”，美国数学家L·斯蒂恩(Steen)进一步指出：“数学家寻求存在于数量、空间、科学、计算机乃至想象之中的模式。……模式可以导致别的模式，因而，常常可能出现模式的模式。这样，数学按照数学家自己的逻辑，以源于科学的模式为出发点，经常补充一些由先前的模式而推演出来的一些新模式，使这种演绎的图像更加充实与完备”[4]。我国大连理工大学应用数学研究所所长徐利治教授与南京大学博导郑毓信教授在《略论数学真理及真理性程度——兼评怀特海的〈数学与善〉》一文中特别提出：“我们所理解的数学模式正可以看做是属于‘广义的量’的范畴。如此说来，我们自然可以认为：‘数学是研究广义的量(即模式结构形式)的科学’”③[3]21。这种观点，实际上即是认为：“数学是研究量的科学”。在公元前4世纪时，古希腊哲学家亚里士多德(Aristotle，公元前384—前322)曾经提出：“数学是量的科学”。我国在1956-1967年科学发展规划中也曾经提出：“数学是研究现实世界的量的关系。”
我国在东汉(25—220)时期曾写成一本数学书，名为《九章算术》，其内容为246个与生产生活有关的应用题。到了清朝，徐光启(1562-1633)和意大利传教士利·玛窦(Ricci Matteo，1552-1610)在1607年合译古希腊数学家欧几里德名著《原本》，翻译时他们所使用的外文原本是德国数学家C·克拉维斯(Clavius，1537-1612)的译注本，该书原名为《Elements》，应译为《原本》，但他们却定名为《几何原本》。几何者，多少也，《几何原本》即是《算学原本》。这说明在中华文明史上，一直把数学称为算学或算术。根据数学发展的现状，算学应属于应用数学的范畴。自1946年世界上第一台高速电子数字计算机问世之后，应用数学的发展犹如雨后春笋，它现在已经渗透到科学技术、经济生活和现实世界与人类生存息息相关的各个领域之中，数学家寻求模式的领域愈来愈宽广。德国数学家H·汉克尔于1867年在《复数系理论》中曾经提出：“其对象不是量的组合，或者它们的表象——数”[5]105。其含意即是说量的表象是数。由此可见，如果把模式解释为量，还需要对于量的定义问题再作一番探讨。我们认为可以把模式简单而形象地理解为系统，因为数学就是一门系统科学，也可以很粗糙地把模式理解为关系，华东师范大学张奠宙教授就曾经把数学称为关系学。
2 以数学大厦的周边不同学科为视角来透析数学的本性
被誉为计算机之父的美籍匈牙利数学家C.G.冯·诺伊曼(Von Neumann，1903-1957)在《论数学》一文中提出：“讨论任意领域中智力活动的性质都是一件困难的任务，对处于人类智能中心领域的数学就更是如此……在我看来，刻画数学特点的最有力的事实，是它和自然科学的特有联系，更一般地说是它和任何一类处于纯粹描述水准更高级一些的能对经验作出解释的科学的特有联系”[3]27。在整个文化体系中，存在有诸多子文化，它们在成长和发展的漫长岁月里，与数学相濡以沫。一些哲学家和数学家为了进一步诠释数学的真谛，以数学周边的一些子文化为视角，长时间地观测和剖析它们与数学之间的特殊关系，由此而提出一些有价值的数学观，例如，数学是文化、数学是思维、数学是语言、数学是艺术、数学是猜想等等，现在分别讨论如下：
2.1 数学是文化 对于社会上一切非自然的事物或现象，都可以视为文化。广义地说，文化是指人类在社会实践过程中所创造的一切物质财富和精神财富的总和，在这个总和中的每一个元素，都具有一种文化性，而这种文化性亦即是对于人类创造活动的依赖性。由于数学乃是人类思维的创造物，因而，数学就是一种文化。关于数学文化学的研究，已经受到数学界的普遍重视，长期在美国密执根大学任教的R·怀尔德(Wilder)教授是数学文化研究的一个重要倡导者，他于1968年出版一本书《数学概念的演化，一个初步的研究》，书中提出关于数学发展的11种动力：环境的力量，遗传的力量，符号化、文化传播……[6]1981，他又出版一本新书《作为文化系统的数学》。作者在该书中提出关于数学发展的23条规律，其中第一条规律为：“重大问题的多重的独立发现或解决，是一条规律，而不是例外”。第二条规律为：“新概念的进化通常由于遗传的力量，或者是由于借助于环境力量所表现出来的一般文化的压力所造成的”[7]。数学文化是一个自给自足的系统，它有自己的价值标准和发展规律，它的发展可以有一定的超前性，数学文化学家把这种力量称之为遗传力量，与此相对应的外部力量，被称之为环境力量，这两种力量乃是数学发展的主要源泉。
鲁迅(1881-1936)是中国新文学的奠基者之一，鲁迅是他的笔名，原名周树人，号豫才。他笔下的阿Q，是一种文学虚构，这种文学虚构，也可以说是文学抽象。数学理论来自于思维对研究对象的抽象，“抽象”源于拉丁语“abstractio”，原文含有“排除”，“抽出”的意思。美国密执根大学R·怀尔德(Wilder)教授在《数学概念的演化，一个初步的研究》一书中，把“抽象”作为数学发展的动力之一。任何一门科学都具有抽象性，而数学则具有更高度的抽象性。文学抽象与数学抽象一脉相承，两者都是人类思维的自由创造物或自由想像物。著名文学作品《爱丽丝漫游仙境》，本来是出自于英国牛津大学的一位数学家之手，但是，在一个偶然的机会，却得到了英国女皇的青睐，她骤然下令：对于这本小说作者以后的新作，都要购买一本供她阅读与欣赏。然而，这位女皇根本没有想到，后来陆续呈现在她案头的新作，却是一本又一本的高度抽象的数学精品，并非是作为人类思维自由创造物或自由想象物的文学著作。
2.2 数学是思维 在数学发展过程中，“对于美学和哲学因素作出反应的纯粹思维，决定性地塑造了数学的特征，并且做出了像欧氏几何和非欧几何这样不可超越的贡献。另一方面，数学家们登上纯思维的顶峰不是靠他们自己一步步攀登，而是借助于社会力量的推动。如果这些力量不能为数学家们注入活力，那么他们就立刻会身疲力竭；然后他们就仅仅只能维持这门学科处于孤立境地。虽然在短时间还有可能光芒四射，但所有这些成就就会是昙花一现”[3]41-42。数学来源于思维对研究对象的抽象，菲尔兹(Fields)奖获得者M·F·阿提亚(Atiyah)曾经指出：现代数学家之所以能够解决那些他们前辈认为无望的复杂问题，就在于他们掌握了高度概括性的能够作为数学统一基础的抽象思维方法。在19世纪以后，数学理论的抽象性节节上升，集合论和公理化方法逐步形成更加抽象的概念与方法，在代数学中由数扩张到群、环、域及代数结构，在函数论中由函数扩张到泛函、算子与映射。接踵而来的是数学知识体系(数学大厦)发生剧烈地膨胀形式，正如美国数学家M·克莱因在《西方文化中的数学》中所说的“现在这门学科已有八十多个广泛的分支”[3]39。
人类社会即将进入创新经济时代，创新(innovation)是指人类思维对原有理论和实践的突破与超越。从公元前2世纪到19世纪，数以千计的数学家在试证第五公设时都以失败而告终。匈牙利数学家W·F·鲍耶(Bolyai，1775-1856)在信中对他儿子说：“你决不可再试图沿着这条道路去研究平行线了，我曾走过这种无穷无尽的黑暗，它熄灭了我一生的光明与欢乐”。然而，他的儿子J.鲍耶(Bolyai，1802-1860)则雄心勃勃，跃跃欲试，他所选择的思维方法是逆向思维，在大功告成之后，他写给自己父亲的答卷是：“现在我只能说，我从一无所有之中创造了一个‘新宇宙’”。J·鲍耶所创造的‘新宇宙’，即是非欧几何学。美国心理学家J·P·吉尔福特(Guilford)于1959年在斯坦福大学发表过一篇演讲，在这个演讲中，他根据思维的指向性不同，把思维划分为会聚思维(或称求同思维)与发散思维(或称求异思维)两种。基于心理学家的见解，一个人的思维创造能力可以表示为：
创造能力=知识量+发散思维能力
为了培养创新思维，自20世纪80年代以来，全球数学教育改革的新口号是“问题解决”，1977年日本以岛田茂为首的数学教育学者又创造了一种开放题(open-ended problem)，这种新题型更加有利于开发创新思维。创新是一个民族的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力，为了把我们国家迅速建成创新型国家，让那成千上万的创新者展开思维的翅膀去自由自在地飞翔吧！
人类之所以能够认识世界、改造世界和创造世界，就是因为人类有一个神奇的大脑，数学理论就是来源于人类大脑思维的自由创造。根据思维科学和脑科学的研究，人们把左半球称之为数学半球，并且积极地倡导左右脑相互配合的研究。德国数学家H·汉克尔在“他的《复数系理论》(Theorie der Complexen Zahlensysteme，1867，第10页)中为数学辩护，说它是‘纯粹的智力，一种纯粹的形式理论，其对象不是量的组合或者它们的表象——数，而是那些可以对应于实际事物或实际关系的思维的东西，即使这种对应并不必要’”[5]105。德国数学家G.康托(Cantor，1845-1918)“为了捍卫他所创造的超限数，说它也是一种存在的、真实确定的量时，主张数学和其他领域的区别在于它的自由地创造自己的概念，而无需顾及是否实际存在。1883年他说：‘数学在它自身的发展中完全是自由的，对它的概念的限制只在于：必须是无矛盾的并且和先前由确切定义所引进的概念相协调，……数学的本质就在于它的自由’”[5]105。美国著名数学家R·柯朗(Courant，1888-1972)与H·罗宾(Robbins)在《数学是什么？》一书中着重指出：“数学作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的追求。它的基本要素是：逻辑和直觉、分析和构造、一般性和个别性，……正是这些互相对立的力量的相互作用以及它们综合起来的力量才构成了数学科学的生命、用途和它的崇高价值”[8]1。“幸运的是创造性的思维不顾某些教条的哲学信仰而继续发展着，如果思维屈从于这种信仰，就会阻碍出现建设性的成就”[8]6。我国儒家学说的创始人孔子曾经说过：“学而不思则罔，思而不学则殆”。“举一隅而不以三隅反，则不复也”。这里所说的“反”，是一种深思，是一种想像。数学想像思维可以神驰万里，思接千载，越是离奇古怪的想像，越是能够导致有价值的科学成果。《古今数学思想》一书评论说：“那些在真实世界里没有直接对应物的概念之被引进并逐步被接受，确实迫使人们承认数学是一种人为的并且多少带有任意性的创造物，而不仅仅是从自然界里引导出来的本质上是真实事物的一种理想化。但是随着这种认识的深化，带来了更加意义深远的发现——数学并不是关于自然的一堆真理”[5]106。
美国著名数学家M·克莱因(Kline)曾经提出：“数学的这一特征由17世纪一位著名的作家在论及数学和科学时，以某种不同的方式表述过：‘数学家们像恋人。……承认一位数学家的最初的原理，那么他由此将会推导出你也必须承认的另一结论，从这一结论又推导出其他的结论’”[3]39。数学中的任何一个概念、任何一种方法、任何一个推理，都是一种思维。代数方法应用于几何学，立即产生了代数几何学；几何方法应用于代数学，立即产生了几何代数学，微分方法应用于几何学，立即产生了微分几何学；数学分析对于其后继学科复函、实函、常微、偏微等无疑是一个强大的思维支柱，在概率论中引入随机变量之后，数学分析方法立即在其中得到极其广泛地应用。1899年，德国数学家D·希尔伯特(Hilbert.1862-1943)出版了《几何学基础》一书，这一本书乃是应用公理化方法的典范。1920前后，德国女数学家E.诺特(Nother)将公理化方法应用于代数学，创造了抽象代数学。美国数学家M·克莱因(Klime)在他的长篇巨著《古今数学思想》一书中评论说：“二十世纪初期，公理化方法不仅使许多旧的和新的数学分支的逻辑基础得以建立，而且也确切地揭示出每个分支应以哪些假定作为基础，并且使得有可能比较和弄清各个分支间的联系。……许多数学家趁此机会，通过略去、否定或用一些别的方式改变所建体系的公理，来探索新问题。这个活动，以及数学各个分支的公理基础的建立，叫做公理化运动”[5]100-101。1872年，德国数学家F·克莱因(Klein，1849-1925)将群的概念引入于几何学之中，他利用横向思维积极地推动数学的一般化和一体化，立即揭开统一几何学的新篇章，他还提出：有多少种变换群就有多少种几何学，这就是著名的《爱尔兰根(Evlangen)纲领》。1920年，北京师范大学傅种孙先生在《高师数理杂志》上发表一篇文章《什么是数学？》，文中先提出：“公理之选择千百其方，而数学之门类遂不可勝数矣”。而后又提出：“几何者，纯乎理论之一盘演绎推测式也”。傅种孙先生于1922年翻译出版了英国数学家B·A·W·罗素(Russell，1872-1970)的名著《Introduction to Mathematical Phylosoph》，该书中译名为《数学哲学引论》。后来在1924年他又与韩桂丛合译D.希尔伯特(Hilbert)的名著《几何学基础》。他在这篇文章中生动地阐述了公理化方法，他的最后结论也可以视为是结构主义的数学观。结构主义乃是形式化公理学在方法论上的一个新发展，它是更高一步、更深一层地进行抽象与概括。
1902年，英国数学家B·A·W·罗素(Russell)突然宣布在集合论中存在有悖论，这个信息犹如一盆冷水泼洒在一些大数学家的头上。1908年，德国数学家E·策墨略(Zermelo，1871-1953)与A·A·弗兰克林(Fraenkel，1891-1963)合作创立了集合论的ZF公理系统，利用这个系统可以排除已经发现的一切集合论悖论。1940年，奥地利数学家G·哥德尔(Godel，1906-1976)证明了ZF系统与选择公理彼此不相容。1963年，美国数学家P·J·科恩(Cohen，1934-)又进一步证明了ZF系统与连续统假设彼此相独立。然而，不管你承认选择公理或者不承认选择公理，都可以推导出一些数学悖论，而且这些悖论都是ZF系统无法排除的。由此可见，今天在数学大厦的基础上，确确实实地存在着一条大裂缝，这条大裂缝就是数学悖论。在人类文明史上，悖论由来已久，新悖论乃是人类认识的历史局限性在当今条件下的再现，人类依靠逻辑和语言的新概念，有信心能够解决这种在认识上的局限性。布尔巴基(Bourbaki)学派曾经提出：“为了重新建立无矛盾的体系，人们将继续通过对数学概念和方法进行调整来克服这些困难”。要实现数学思维系统的完美与和谐，其条件是广大数学家关于数学基本概念要有一个普遍可接受的见解，而且，这种见解也是伴随着科学进步和文化发展而不断地发展变化的。美国数学家R·怀尔德(Wilder)在《作为文化系统的数学》一书中提出关于数学发展的23条规律，其中最后一条指出：“由于数学的文化基础，因此在数学中不存在什么绝对的东西，只有相对的东西”。
2.3 数学是语言 在第7届国际数学教育会议上，数学家F.Sckweiger提交一篇学术论文，题为：《数学是一种语言》。任何语言都是一种符号，根据美国哲学家查尔斯.威廉.莫里斯(C·W·Morris)的观点，广义地说，我们使用某种方法反应某物不同于它本身的东西的任何事物，都是一种符号。在符号学中把符号划分为三类：第一类是标志符号，在交通管理上的各种标志，都是标志符号。由于数学并不是客观事物的本身，因而在数学中根本不存在标志性符号；第二类是象形符号，在数学中常有此类符号，例如△、//、＝等等；第三类为表征符号，此类符号在数学中也有，例如+、—、∽等等，“+”“—”这两个符号是由德国数学家J.Widman于1489年首先提出的，其现实根源是由于当时德国社会运输中的大多数部门，都是使用“+”与“—”来表征箱子内部所装物件的“超”与“亏”。对于那些表示单个数学概念的符号，通称为基本符号。如A、B、C等，称之为基本对象符号；sin、cos等，称之为基本运算符号。由它们的组合，如Sin A，cos B等，称之为组合符号；sin[2]A+cos[2]A＝1等称之为公式符号。有了公式符号即可进行推理，如A+B+C＝π=
sinA＝sin(B+C)=sinA＝sinBcosC+cosBsinC。
美国数学家M.克莱因曾经指出：“数学也用符号来表示数量关系和空间形式，与日常讲话用的语言不同，日常语言是习俗的产物，也是社会和政治运动的产物，而数学语言则是慎重地、有意识地而且经常是精心设计的，凭借数学语言的严格性和简洁性，数学家们可以表达和研究数学思想，这些思想如果用普通语言来表达，就会显得冗长不堪，这种简洁性有助于思维效率”[3]42。为了简洁，有时选择拉丁文或英文的第一个字母作为它的符号，例如，函数(function)的符号选择“f”，和(sum)的符号选择“S”。由于积分即是求和，因而，积分的符号也选择“∫”，只是在写法上拉长一些，使其在身材上表现得苗条一些。
法国数学家F.韦达(Vieta，1540-1603)在1591年出版了《分析术引论》一书，他在该书中破天荒地有意识地大量而系统地使用数学符号，他不仅是使用字母来表示未知量及其乘幂，而且还使用字母来表示方程中的一般系数，当时他已经初步地建立了代数学的符号系统。顿时，其他数学家纷纷效仿，逐步蔚然成风。不久即发现大家所引用的符号，太多太繁太杂太乱，以后经过生存竞争，优胜劣败，有许多符号逐步地自然地被历史所淘汰。在《分析术引论》一书中，F·韦达原先是引用拉丁语中的辅音字母来表示已知量，而用其元音字母来表示未知量，后来，法国数学家R·笛卡儿(Descartes，1595-1650)在研究工作中将其改为：由拉丁语前面几个字母(a，b，c…)来表示已知量，而用最后几个字母(…x，y，z)来表示未知量。笛卡儿的这次改动，广大数学研究工作者心悦诚服，一直沿用至今未曾有变。数学家们为了探寻一般代数方程的符号表达形式：a[，0]x[n]+a[，1]x[n-1]+…+a[，n-1]x+a[，n]=0，从丢番都(Diophantus)开始，到韦达和莱布尼兹，前赴后继，整整花费了13个世纪的大好光阴。最早使用符号语言对数学进行公理化的是意大利数学家G.皮亚诺(Peano，1858-1932)，他在1889年曾经用拉丁文写过一本小册子《用新方法陈述算术原理》，在今天，作为自然数的理论基础即是著名的皮亚诺公理系统。
德国数学家G·W·莱布尼兹(Leibniz，1646-1716)博学多才，他的著作涉及到数学、力学、机械、地质、逻辑、哲学、法律、神学和语言学等等，“谈到记号，Leibniz煞费苦心地工作，要把记号选得最好。很显然，他的dx，dy和
仍然是标准的”[8]。在1689年前后，G·W·莱布尼兹利用自己所设计的数学符号，推导出许多重要微分公式，并且计算出高阶微分等等，在当时使得其他数学家大开眼界。然而，G· W·莱布尼兹所发明的微积分理论，在当初确实存在着一定的逻辑缺陷，面对多方面的批评和责难，他曾于1687年提出一条连续性原理：“在任何向假定的任何终点的过渡中，允许制定一个普通的推论，使最后的终点也可以包括进去”。到了1821年，法国数学家A·J·柯西(Cauchy，1789-1857)从连续性原理中悟出一个极限概念：“若代表某变量的一串数值无限地趋向于某一个数值时，其差可以任意小，则该固定值称为这一串数值的极限”。他在大批判运动中以此极限概念为基础建构了数学分析的基本理论。大器晚成的德国数学家K·魏尔斯特拉斯(Weierstrass，1815-1897)于1856年在柏林大学发表演讲，首先指出法国数学家A·J·柯西的极限理论是不严格的。他自己所提出的极限定义是：“给定任意ε>0，都存在一个数δ>0，对于区间‖x[，0]-x‖<δ内的所有x，不等式‖f(x[，0])-f(x)‖<ε恒成立，就说f(x)在x=x[，0]时连续，令f(x[，0])＝A.，则A是f(x)在x→x[，0]时的极限”。后来他和他的学生利用他所创造的这一套ε—δ语言系统，彻底完成了数学分析的算术化，因此，他被世人称之为“现代分析之父”。为了给数学分析注入严密性，德国数学家G·W·莱布尼兹在1687年曾经提出一条连续性原理，法国业余数学家G·F·洛必达(Lhospital，1661-1704)在编写世界上第一部《微积分》课本时曾经提出两条公设。但是，均未能获得成功。到1956年，美国数理逻辑专家A·鲁宾逊(Robinson，1918-1974)出版了《非标准分析》一书，该书利用数理逻辑的语言为非标准分析建构了一个严格化的公理系统。在标准实数域上所建构的分析称为标准分析，所谓标准分析即是由I.牛顿(Newton，1642-1727)和G·W·莱布尼兹所发明的微积分；在非标准实数域上所建构的分析，称为非标准分析。前者所能证明的定理，也能为后者所证明。因此，A·鲁宾逊所建立的这个公理系统也可以作为标准分析严格化的公理基础。
数学语言符号的选择，在大多数情况下，都是一种约定俗成，然而，这种约定俗成一定要遵守简单性原则和单义性原则。在许久之前，阿拉伯人曾经使用一条横线隔开两个数，既表示分数，又表示除法。到1659年，瑞士数学家J·H·腊里(Rahn)提出使用符号“÷”来表示除法，这正是使符号遵守单义性原则，这样更有利于数学思维在更广阔的范围内得以准确而清晰地进行。时至今日，数学语言已经发展成为一种比较完善的语言，它具有跨学科、跨领域、跨国界等特点，在发展国际交流和各学科协作方面具有极其重要的文化价值。著名德国数学家D·希尔伯特(Hilbert)在他发表于1962年的文章中曾经说过：“数学思维的对象就是符号本身，符号就是本质”[5]317。到20世纪50年代以后，伴随着计算机和语言学的相互渗透以及人工智能的进一步完善，一门崭新的学科——数理语言学应运而生，它的主要功能是语言识别，自动翻译以及自动检索等。在今天，社会上的一切高新技术，实际上都是一种语言。
2.4 数学是艺术 世界艺术之父德国哲学家A·C·鲍姆嘉通(Baumgartan，1714-1762)在1750年出版一本新书“Aesthetik”，这个书名，在我国译为《美学》，在西方国家则解释为“艺术理论”。所谓美学，即是以美的方式去思维的艺术。北京教育出版社出版的《数学美学》，它的基本思想，即在于阐明：数学是一种艺术[9]。2002年8月20日，世界数学家第24届大会在首都北京召开，在本届大会上荣获当今世界数学最高奖菲尔兹(Fields)奖的两位数学家是法国高等科学研究院的L.拉费阁(Lafforgue)和美国普林斯顿高等研究院的V·沃沃斯基(VoeVodsky)，他们异口同声地向媒体表示：“数学，其乐无穷”。V·沃沃斯基在这次大会上还曾对中国记者说：“数学的美丽使得研究数学成为一种乐趣”。
在古希腊时期，数学即被珍视为一门艺术，当时的数学家把算术与几何视之为心智的艺术与灵魂的音乐，他们已经在数学中认识到和谐、简单、明确等美学特征，也正是基于这门科学在美学上的诱惑力，才使得当时对某些数学理论的研究，已远远超越理解自然界所必需的深度。
英国崇尚抽象的数学大师B·A·W·罗素于1907年在《新季刊》上发表一篇论文，题为《数学的研究》，文中明确提出：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美。正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美。这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种圆满的境地”[3]40。美国数学家M·克莱因一直认为：“进行数学创造的最主要的驱策力就是对美的追求”[25]。他在引证B·A·W·罗素的上述名言之后，立即提出：“除了完善的结构美以外，在证明和得出结论的过程中，运用必不可少的想像和直觉也给创造者提供了高度的美学上的满足。如果美的组成和艺术作品的特征包括洞察力和想像力，对称性和比例、简洁，以及精确地适应达到目的手段，那么数学就是一门具有其特有完美性的艺术”[3]40。英国剑桥大学纯粹数学教授G·H·哈代(Hardy，1871-1947)于1940年在《一个数学家的自白》一文中，谈到漂亮定理的纯美学特性时，特别强调：“简单性、奇异性、必然性与和谐性”[10]对于数学美的这些特性，也可以称之为简单美、奇异美与和谐美。1988年，在第六届国际数学教育会议上，当讨论“数学教育与文化·美”这个主题时，与会者一致认为：“数学教育还必须将数学中所固有的美展示给学生，使学生不仅获得知识，而且还要受到美的熏陶”。
在抽象数学的世界里，对于简单美和奇异美的追求，是压倒一切的任务。例如，在数学中取得普遍性和永久性统治优势的十进制阿拉伯数字，其简单和优美就大大地超过笨重的罗马数字。我国数学家潘承洞在其名著《素数分布与哥得巴赫猜想》一书中曾提出：“我国学者丁夏畦、王元、潘承洞对‘陈氏定理’给出一个实质性的简化证明”。在“陈氏定理”发表后的1年中，国内外又发表了证明同一定理的5篇论文，其中每一篇论文都比“陈氏定理”的证明过程来得简单。数学的简单美是具有实际科学价值的，在第29届国际数学奥林匹克竞赛时保加利亚的一位选手正是由于对这次竞赛的第9题给出一个比较简单的解法，因而获得了这次竞赛的特别奖。
为了论证数学是一门艺术，美国数学家A·波莱尔(Borel，1923-)在1981-1982年间，发表一个长篇讲演，题为《数学——艺术与科学》，他在讲演中提出：“数学在很大程度上是一门艺术，它的发展总是起源于美学准则，受其指导，据以评价的。对于凡夫俗子来说，如果听到在数学这样一门令人毛骨悚然的学科里居然可以谈论美学准则，往往是会大吃一惊的。但是，这种看法在数学家身上是很强烈的”[3]143。“例如，G·H·哈代(Hardy)就认为：如果数学有什么存在的权利的话，那就是只是作为艺术而存在。我们的活动与艺术家的活动有许多共同之处：画家进行色彩与形态的组合，音乐家把乐音组合起来，诗人组词，而我们则是把一定类型的概念组合起来”[3]144。也正是基于此，数学才被人们称之为无声的音乐，无色的图画。近几年来，计算机科学与现代数学相互渗透、相互促进，为现代艺术提供了许多新的艺术创造和艺术产品，如数码音像、数字影视、分形绘画等等。C·G·冯.诺伊曼在《论数学》一文中即提到：数学是“几乎完全按美学动机给出的创造物”，但又指出“因为一门数学学科远离它的经验来源”，要警惕“它将变得愈来愈美学化，愈来愈艺术化”[3]37。
2.5 数学是猜想 美国著名数学家和数学教育家G·波利亚(Polya，1887-1985)在其名著《数学与猜想》一书中提出：“对于正在积极搞研究的数学家来说，数学也许往往像是猜想游戏”[11]177。其含义即是说：数学是猜想。因而，数学体系也可以说是一个猜想群体，在其中一个猜想被解决了，还会有许许多多新的猜想相继问世。法国数学家P·德.费尔玛(Fermat，1601-1668)被美国数学家E.贝尔(Bell)称之为业余数学家之王。他读起书来，就要在书上勾勾画画，圈点批注。当他在《算术》一书中读到x[2]+y[2]=z[2]时，立即把“2”推广到“n”，由此而提出关于费尔玛大定理的猜想。这是一个重要猜想，猜想是一种创新思维，创新思维在每天清晨美梦初醒时最为灵敏，F.恩格斯于1873年5月30日的清晨，当时在床上躺着就想起了一种新思想——自然辩证法[12]。在科学研究中所提出的任何新思想、新方法、新问题、新概念，都是一种猜想。P·德.费尔玛一生曾经提出许多有价值的数学猜想，对于数学研究以至数学教育的发展影响深远。荷兰著名数学家和数学教育家H·弗赖登塔尔(Frendenthal，1906-1990)在1967-1970年间任ICME主席，同时创办世界性杂志《数学教育研究》(Educational Studies in Mathematics)，他认为：数学知识既不是教出来的，也不是学出来的，而是研究出来的。并且明确提出：“与其说让学生学习数学，还不如说让学生学习数学化”[13]。
1900年，在法国巴黎举行的第二届国际数学家大会上，德国数学家希尔伯特(Hilbert)发表了一个激动人心的讲演——《数学问题》，在这个讲演中他提出了23个问题，这些问题都是当时数学研究中最活跃最有影响的课题，现在有半数以上已经获得圆满解决。事实证明，20世纪数学的发展，已远远超出希尔伯特的预见。新世纪又带来了新气象，于2000年5月，美国克莱数学研究所又提出“七大数学世纪难题”，并且每题悬赏百万美元求解。时至今日，猜想在数学研究和数学教育中的重要作用，已经受到数学界的普遍青。G·波利亚在其书中特别地强调：“使外行人似乎稍感惊讶的是数学家也在猜想……教师应该明白，在数学领域中，猜想是合理的，值得尊敬的，是负责任的态度。请允许我在此向教授所有班级的数学教师们呼吁：让我们教猜想吧！”[11]177。
D·希尔伯特在讲演《数学问题》中着重提出：“数学问题的宝藏是无穷无尽的，一个问题一旦解决，无数新的问题就会代之而起”。“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题贫乏则预示着独立发展的衰亡或中止。正如人类的每项事业都在追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界”[3]220。我国数学家王元在《中国大百科全书》、《数学卷》中曾经提出：“在数论中未解决的问题比已经解决的问题多得多，而且永远是如此”。那些尚未解决的猜想，犹如一座座巍然屹立的高峰，耸立在数学家的面前，激励着数学家们的征服欲望，这种欲望决不会因为征途艰难或屡受挫折而丝毫减弱。一切科学研究和发明创造，都是从提出问题而发端的，著名科学家A·爱因斯坦(Einstenin，1978-1955)曾经说过：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”。数学问题中的大多数都是来源于猜想，然而，要想提出一个有价值的数学猜想，不仅要以一定的观察和实验研究作为基础，而且还要具备更高层次的直觉思维能力，以及对于数学真谛的深刻见解。
美国数学家M·克莱因曾经提出：“数学概念嵌进人们的头脑是先于语言、逻辑的，决定概念的正确性和可接受性是直观，而不是经验和逻辑”[5]311。又说：“数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直觉上，正如Jacques Hadamard指出的，严密仅仅是批准直觉的战利品，或者像Hermann Weyl所说的，逻辑是指导数学家保持其思想健康和强壮的卫生学”[5]99。“直觉”一词是对“Intuition”的意译，原意为未经充分逻辑推理的直观。法国数学家J·A·狄多涅(Dieudonne)曾经提出：“这些富有创造性的科学家与众不同的地方，在于他们对于所研究的对象有一个活生生的构想和深刻的了解，这种构想和了解结合起来，就是所谓‘直觉’”[14]。直觉思维的实质，是思维模块的嵌入过程。思维模块是指主体在认知过程中依据经验而建立的思维元素与其相应的思维框架(scheme)所形成的结构。1959年9月美国科学院召开会议，该会第四组专门讨论的课题是：《直觉在学习和思维中的作用》。美国心理学家J·S·布鲁纳在这次会议总结报告中提出：“直觉是一种行为，通过这种行为，人们可以不必明显地依靠其分析技巧而掌握问题或情形的意义、重要性和结构”。美国著名数学家G·波利亚在《数学与猜想》一书中进一步明确提出：“数学猜想是一种直觉思维，利用它不仅可以预测解决现有问题的思路，而且还可以提出有价值的新问题”。并且还专设一章用来研究数学猜想在发现解和发现证明中的作用。法国著名数学家H·庞卡莱(Poincare，1854-1912)是19世纪与20世纪之交的数学巨星，他认为数学的发明就是在数学事实的无穷无尽的组合之中，找出有用的组合，抛弃无用的组合。他提出：“所谓发明者，实甄别而已，简言之，选择而已”[15]。他在这里所说的“无穷无尽的组合”实际上就是数学猜想。对于诸多数学事实，进行“组合”、“甄别”和“选择”，乃是数学发明创造的思维过程。唐代大文豪韩愈在《师说》中曾经提出：“师者传道授业解惑也。人非生而知之者，孰能无惑，惑而不从师，其为惑也终不解矣！”其他文学家也曾提出：“学贵知疑，小疑则小进，大疑则大进”。这里所说的“惑”与“疑”有的也是一种猜想，这说明儒家在传道授业时，也在利用猜想。
“数学家的创造性工作的结果是论证推理，是一个证明，但证明是由合情推理，是由猜想来发现的”[11]177。一般地说，证明数学猜想问题最常使用的方法是转换猜想法。例如，费尔玛大定理面市350余年，引无数英雄竞折腰，在这个持久漫长的岁月里，费尔玛这个猜想曾经经历过许多次转换，1986年，德国数学家G·福雷(Frey)将它转换为“福雷猜想”，接着法国数学家J·P·塞尔(Serre)又将它再次转换为“塞尔猜想”，1990年美国数学家K·李贝(Ribet)创造性地证明了“塞尔猜想”。至此这个猜想发生了重要变化，因而，在1995年，美国数学家A·J·维尔斯(Wiles，1953-)，在他的学生R·泰勒(Taylor)的热情帮助下，同时发表两篇论文才得以彻底完成证明任务的新命题为：“半稳定情形下的谷山猜想”，维尔斯的这个证明艺术，被数学界誉之为后现代艺术。
我国数理逻辑专家，数学基础专家、计算机科学专家胡世华院士于1998年病逝，他的数学观经过张凭、张祖贵、孙小礼三位教授的整理，其中基本内容为：“数学是一门独立于科学的学科……数学的基本特点：确切性、抽象性、严格性、应用的广泛性、数学美……数学是文化的一种，数学跟思维的关系更密切一些……数学不仅追求真，还追求善，追求美，追求真善美”[3]213—219。美国数学家M·克莱因(Kline)在《西方文化中的数学》中曾概括地提出他自己的数学观：“数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言。数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说……”[3]44南京大学方延明先生在《数学文化导论》一书中，将古往今来数学文化活动中令人注目的数学观，加以归纳整理而后列出15种学说[16]。清朝赵翼有诗云“江山代有才人出，各领风骚数百年”。今后在数学发展的历史长河中，肯定还会有人提出新的数学见解。
注释：
①《科学时报》[N].2006-05-17.美国国家数学委员会这次讨论的最终结果将于2008年2月完成，这个结果对于我国中小学数学课程标准的修订，具有重要参考价值。
②见《数学通报》[N].2006-07-01.
③此文载于《自然辩证法研究》[J]1988年第1期。
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