追求自然连贯的数学教学过程，本文主要内容关键词为：连贯论文,教学过程论文,自然论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题的提出 三角函数是刻画现实世界中周期现象的数学模型，是基本初等函数之一，是高中数学的传统而重要的内容.任意角的三角函数是三角函数的基础，是高中数学的核心概念之一，其教学具有重要意义.由于“任意角的三角函数的定义已超出学生的知识经验基础”，[1]其建立的过程较为漫长，需要历经多个环节，突破诸多障碍，教学面临变数与挑战，因而备受人们的关注，对该课题教学的研究也达到了一定的深度.例如，该课题时常作为研究课、评优课的课题，也见到较多的专题研究文章.但在教学实践中，仍存在一些困惑需要澄清，一些思考值得交流. 笔者认为，在教学过程中，追求自然连贯的数学活动过程是一个重要目标.就任意角的三角函数概念的教学实践看，在概念建立的探究过程中，可能仍存在着数学活动不自然，教学“强加于人”的现象；一些相关文献也许还没有很好地解决这一问题，甚至本身存在着不自然的现象.当然这些现象的产生有其方方面面的原因，有些不易为我们所察觉，因而解决这些问题并不太容易.这里，笔者试图分析本课教学内容，反思教学可能存在的不自然现象，以追求自然连贯[2]的教学过程为努力方向，就“终边定义法”建立任意角的三角函数的概念，给出自己的教学设计构想. 二、本课的起点思考 从本课教学的知识基础，数学思想方法的学习，数学探究方法的借鉴与应用，数学探究活动的组织，研究数学对象的一般套路，概念教学过程中的育人价值等角度进行思考. 1.函数的概念 任意角的三角函数，其关键词“任意角”、“三角”、“函数”中，可能“函数”最为本质和重要.任意角的三角函数，是一个典型而重要的函数模型，其研究的一般过程与方法，应在函数研究的大背景下，应用研究函数的一般套路去研究.正如之前的指数函数、对数函数与幂函数一样.因此，函数的概念是本课的重要基础.具体到概念的建立，就要用“对应说”函数的概念，去认识理解任意角的三角函数的概念，即要学生认识到它是数（其意义是角）到数（坐标的比值）的对应（映射）. 2.任意角的概念 这是最直接的基础知识.由于任意角的概念刚刚学习过，作为建立概念的知识基础之一，对学生而言应该没有什么困难.但是，理解任意角的意义，特别从描述旋转运动的意义理解，对建立任意角的三角函数的概念可能是重要的. 某种意义下，任意角产生的背景就是描述旋转运动的需要，三角函数就是刻画匀速圆周运动的不变量，即研究匀速圆周运动的规律.进一步地，三角函数是研究周期现象的数学模型.试想，大海的潮汐现象可以用三角函数刻画，但其中哪还有角的踪影？可否这样理解，任意角的三角函数的研究始于角，但其本质与意义远远超出角的范畴，是一般函数意义下的重要函数模型. 3.初中直角三角形中的锐角三角函数 这是本课重要的知识生长点与固着点.锐角是任意角的特例，锐角三角函数也应当是任意角的三角函数的特例.从这个意义上说，任意角的三角函数是锐角三角函数的推广.如此，我们也许可以认为，锐角三角函数的概念，符号sinα，cosα，tanα是本课的基础，也是本课的起点.但是，笔者的教学实践似乎表明，在当下学生的潜意识里，锐角三角函数离不开直角三角形，是“边长”（长度）的比，其主要作用是解直角三角形.他们还未清楚地认识到“锐角三角函数值只与角有关”，甚至没有意识到它就是函数（变化过程中的自变量的对应关系）. 事实上，直角三角形中的锐角三角函数，一定意义下是“三角”，即刻画直角三角形中的边角关系，属静态下的数量关系，其作用主要是解直角三角形.与函数意义下的锐角三角函数是不一样的：这里的锐角三角函数是以数（意义是角，取值范围是
）为自变量、对应法则是比值（可构造直角三角形，进而得边长的比值）的函数.从这一点说，任意角的三角函数不能认为是初中直角三角形中的锐角三角函数的直接推广.换言之，要完成这样的推广过程，中间还有很多工作要做.其中，让学生建立函数意义下的锐角三角函数概念可能是承上启下的关键之举. 4.图形的相似 用“终边坐标法”定义任意角的三角函数，必须要说明“比值”与坐标（也就是点）的选择无关.比值被终边位置所确定，进而被角所确定，这是定义的本质所在，是建立概念的关键步骤，也是下一步“用单位圆认识三角函数定义”的基础.这些问题的处理与解决，离不开直角三角形的相似.当然，这里只要求直角三角形的相似及其性质，对学生而言并无困难. 主要是单位圆的建立及其应用，所涉及的圆的性质是基本的.如果通过“摩天轮情境”引入课题，还会有圆的影子在其中，那么怎样利用圆的性质，如何让圆在恰当的时机退避幕后，凸显三角函数定义的本质，也是不容忽视的问题. 6.建立数学概念的过程与方法 “概念（特别是核心概念），要把‘认识数学对象的基本套路’作为核心目标之一.”[3]如前所述，建立任意角的三角函数概念，需要经过“漫长”的过程，突破一系列障碍，学生已有的经历经验就显得十分重要了：建立数学概念模型的过程与方法，具体到这里，建立函数模型的过程与方法——理解建立概念的必要性与合理性，突出概念的本质；概念推广的一般方法、过程与意义把握等. 7.学生探究学习的经验 由于三角函数被安排在必修4模块，此前学生已经历了高中数学较长时间、较多内容的学习，积累了一定的探究学习经验，其认知的知识基础与理性思维达到了一定的水平，这将为本课的探究学习提供良好的基础. 三、教学可能存在“不自然”的节点分析 笔者认为，教学应以“数学知识发生发展的过程和理解数学知识的心理过程为基本线索”[2]，让知识自然地从学生的头脑中流淌出来.从构建自然连贯的学习过程出发，在任意角的三角函数概念的教学过程中，以下几点可能是需要我们思考并用心而为之的.或者说，处理不好这几点，可能会造成学生学习不自然、教学强加于人，概念教学育人价值打折扣的现象. 1.情境设置不自然 情境设置是课题的引入，教学的起点，也是学生明确探究目标，产生学习倾向的基础，更是让学生自然地进入探究活动中去的前提.根据笔者的了解，课题的引入常见以下4种形式，但都可能存在不自然的嫌疑： （1）照搬教材（苏教版）情境.从复习“锐角三角函数的定义”出发，即复习初中“直角三角形中的锐角三角函数”，然后把直角三角形放入坐标系中，类比“边长比”，把边长比换成“坐标比”（图形在第一象限，刚好坐标是都是正的，很容易换过来），形成坐标比形式下的“锐角三角函数的定义”，再推广到任意角的情形.其可能的“不自然”之处是，为什么要把直角三角形放到坐标系中？为什么要照那样的位置放？怎么想到的？似乎没有恰当的缘由.解决不好这些衔接过渡的细节问题，学生只能被动地跟着教师走，走一步看一步，茫然而被动…… （2）类比引入新的问题.先复习锐角三角函数的求值，如求sin 30°，cos 45°，sin 78°的值，它们要么是特殊角，要么可以用计算器或查表求值，然后提出求诸如sin 150°，cos 200°的值的问题，从而引出研究任意角的三角函数问题.这里，对于非锐角的三角函数，学生还未学习，从知识的逻辑关系上讲，学生还不知道sin 150°，cos 200°为何物，怎能提出能不能（求值）的问题呢？这样可能存在逻辑混乱的错误. （3）从“旋转运动”的研究引入.从旋转运动周而复始，提出刻画旋转运动或周期现象的数学模型问题.这一点确实是触及到了任意角的三角函数的本质，有利于明确学习的目标，理解建立概念的意义.但笔者认为，问题可能太过抽象与专业，离学生认知的起点太远，问题产生突然，缺乏必要的铺垫：为什么要用函数模型刻画周期现象？为什么三角函数是刻画周期现象的重要数学模型？未来要建立怎样的函数……问题远离学生“最近发展区”，就可能曲高和寡.而且，回到“初中直角三角形中的锐角三角函数”，将存在着从坐标系回到平面图形的反向顺序，也会给学生的认知造成一些负面影响. （4）“摩天轮情境”.从学生熟悉的现实生活情境出发，产生有意义的实际问题，并从中引出刻画圆周上一点位置的两种表示形式（r，α）与（x，y），进而提出要探究二者之间的关系的问题.笔者认为，选择该情境引入课题，背景熟悉，亲切自然，后续探究进展顺畅.例如，提出的问题本身就已在坐标系中，利用直角坐标系作为研究工具，自然而然，回到直角三角形中的锐角三角函数也有恰当的时机和自然的途径.后面笔者将给出详细的分析. 笔者倾向于此种情境引入.可能的不足是，由摩天轮情境到提出点的位置问题，进而引出两种不同的刻画形式（r，α）与（x，y），其过程可能会较为曲折与“漫长”：要建立恰当的平面直角坐标系，以摩天轮中心为坐标原点较合适，而实际问题情形中位置的描述“高”与这样建立的坐标系中的纵坐标并不一致，从而，厘清其中的关系，并用符号语言表达所要研究的问题，需要较长的过程，较多的时间成本等. 就“摩天轮情境”的探究过程，笔者再作如下探讨，指出其可能存在的不自然现象. 2.坐标比下的锐角三角函数形成太匆忙 前文已述及，直角三角形中的锐角三角函数的概念一定要出场.但何时出场合适？就是要看是否是自然的出场——由学生较为自然地联想回忆.即使教师事前复习，打好“先行组织者”的铺垫，也要在数学活动的过程中，让学生把它请出来，而不是教师抛出来，更不应该似从天而降.[4] 由直角三角形中的锐角三角函数直接给出坐标比形式的锐角三角函数定义，也是不自然的，中间跳了好多步.“从学生的认知心理看，教师不可忽视学生‘锐角三角函数’的知识基础对‘任意角的三角函数’学习的负面影响.”[1]前文已说明，直角三角形中的锐角三角函数，与当前函数意义下、坐标比形式表示的锐角三角函数并不是一回事.中间有一个把边长（长度）比发展为坐标（意味着有符号）比的过程.在坐标系的背景下，用坐标系这个工具研究（r，α）与（x，y）的关系时，需要由边长比过渡到坐标比.在这个过程中，需要学生产生主动过渡的探究倾向，理解这样的过渡是必要的、有意义的、合理的与可行的.其间学生的心理顺应过程是“漫长而曲折的”，完成这样的过程不是一蹴而就的. 3.由锐角情形到任意角情形的“推广”过于简单化 同样的，得到由坐标比形式表示的锐角三角函数定义
（α为锐角）后，用类比的方法，形式化地，马上“推广”给出任意角的情形，即直接抛出任意角的三角函数定义，也是不合适的.因为它跳过了必要的、重要的探究过程，是不自然不合情理的.为什么对任意角也要用这三个比值来定义呢？其必要性合理性在哪里？这有必要引导学生思考： 首先，从系统地研究数学对象的需要出发，从本课目标任务分析.本课的任务是什么？——建立针对α为任意角的（r，α）与（x，y）的关系；已经借鉴直角三角形中的锐角三角函数定义，研究了α为锐角时的情形，建立了坐标比形式表示的锐角三角函数的定义，接下来要干什么呢？——还有除α为锐角以外的情形没有研究——继续探究“其余”的情形，探究的任务与方向不就显而易见了吗？
再次，为了做好由“锐角”情形到“任意角”情形的推广，必须把推广的准备工作做到家：坐标比意义下的锐角三角函数定义搞清楚了吗？它是函数意义下的三角函数吗？——是的，这个函数以数（意义为角，取值范围（定义域）为
）为自变量，对应法则是点的坐标的比值（与点的选择无关），被角（表现形式是数）所确定.这里，还可能需要明确角的单位是弧度，以突出建立的关系是数到数的对应，当然要恰当把握其探究的度. 基于上述分析，任意角的三角函数的教学，既是概念教学，又是建立数学模型.建构需要“漫长”的探究过程，历经多个环节，这些环节构成连贯的线性逻辑关系.正是在这样的过程中，发展学生的认知力，教学生学习数学研究的一般方法，教学生学会思考，从而实现数学育人的价值.如果人为地缩短过程或打破这样的程序结构，教学过程中必然会发生教学不自然，学生心理体验与认知不到位的现象. 四、教学设计构想 基于上述分析，针对“任意角的三角函数”的教学，笔者就“终边定义法”的教材安排，选择“摩天轮情境”引入，给出教学设计构想.笔者试图厘清其间的逻辑顺序与结构，努力突出学生的主动探究，知识产生的自然，数学探究活动的顺畅.这里，笔者用如下框图（图1）表示教学路线图，并就几个节点作出说明.
（1）给出匀速旋转的摩天轮情境，提出坐在座舱里的一个人的位置描述的问题，引导学生恰当建立平面直角坐标系——以摩天轮中心为坐标原点.借助于坐标系研究，并回顾任意角的意义，得到两种可能的描述形式（r，α）与（x，y），把实际问题转化为数学问题，进而提出在坐标系下探究（r，α）与（x，y）的关系的问题. （2）直接就任意角的情形探究是困难的，学生很难独立完成探究过程，需要教师启发引导：首先，遇到新问题怎么办？如果问题比较复杂，该从哪里切入呢？——让学生萌发从“简单开始”的念头.其次，对任意角而言，简单情形是什么呢？——锐角，即当α为锐角时的情形，进而引导学生形成先研究“α为锐角情形”的方案.此时问题转化为：先研究α为锐角时，（r，α）与（x，y）的关系.再次，你打算怎样研究呢？——具体要探究当α为锐角时，r，α，x，y是什么，有何意义？引导学生自己画图（如下页图2）.
此时直角三角形OMP自然“浮出水面”，初中直角三角形中的锐角三角函数也随之而来，对新知识的探究自然回到已有的基础起点. （3）在图2中，从“它是什么”出发，不难看出：横、纵坐标即为直角三角形OMP的两直角边OM，MP的长，再分析α，r的意义，直角三角形中的边角关系——初中“直角三角形中的锐角三角函数”的出场自然而然.直接迁移过来，容易得到关系式
.再探究这一组关系式：①回答了“α为锐角时”的问题，②它们是函数，因为符合函数的定义，③结果与P点选择无关.这样就得到了函数意义下的、坐标比形式的锐角三角函数.虽然此时角仍为锐角，其终边在第一象限，但研究已“离开”了“直角三角形”、边长比——建立了以终边上点的坐标来定义的三角函数.接下去的“角α的终边在其他位置”的研究也就自然展开了. （4）前文已及，面对本课研究的目标任务，已经解决了特殊情形下（α为锐角）的问题，尚有α不是锐角的情形下的问题没有解决.怎样解决呢，任意角与锐角有何关系呢？——要把结果推广到α为任意角的情形中去.如何推广呢？怎样定义才是合适的呢？——猜想用
（x≠0）来定义可能是合适的.接下来依然要探究，这样的猜想是合理而有意义的：①它们是函数，因为符合函数的定义，②结果与P点选择无关，③回答了提出的问题.前文已详述. （5）回顾探究过程，综合研究成果，明确回答问题.分析用
（x≠0）来描述（r，α），（x，y）的关系，是可能的、合理的、有意义的：首先，要考察特例，即当α为锐角时，它就是刚刚建立的锐角三角函数关系；其次，要思考并理解这里用坐标比表示任意角的三角函数，其结果更具一般性与先进性，因为它把问题放在了坐标系中讨论，它回答了本课的问题，它是“对应说”函数意义下的函数.至此，给出“任意角的三角函数”的定义，完成概念建构的全过程，也许是水到渠成、自然而然的了. 【编辑手记】有不少文章探讨过任意角三角函数的导入问题，大多数教师能够从刻画周期性的角度去教授.但是，从学生的角度来说，很多人并没有系统地学习过周期性函数，同时，相关的物理课程与数学课程也没有统筹考虑，在课程安排上不够贴合学生的认知规律，因此，在学习过程中存在认知障碍是可以预见的.本文从教学的角度尝试解决这一问题，同时，在设置课程时也应深入考虑教学实践、统筹安排相关学科内容，使得教学过程中少一些不自然之处.
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