科学计算与科学观变革，本文主要内容关键词为：科学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：N031文献标识码：A
一 科学计算及其在科学研究中的独特作用
科学计算，为解决科学和技术中的数学问题利用计算机进行的数学计算。这是我们对科学计算的基本界定。
提到科学计算，很多人也许想到的就是数值计算。确实，数值计算是科学计算中最重要的内容或方法之一。然而随着现代计算机的计算速度和存储空间的不断增长，它已经为科学家们提供了比数值计算更多的功能，科学家们已经在计算机上实现了以前只能用纸和笔才能完成的符号计算或符号推理，尽管这还只是一个开端。另外计算机模拟或计算机实验、计算机图形显示等高新技术无不都是高级科学计算方法中的一种。当今的科学计算与传统的简单数值计算已不可同日而语了。正是这样一种高级计算，在科学研究中已显示出了它独特的优越性。
科学研究从来就没有完全离开过计算，但是，本文所言的利用计算机所进行的高级科学计算，却是20世纪七、八十年代以来才逐渐兴起和发展起来。传统科学研究的基本方法是科学实验方法和科学理论方法——研究人员提出理想的模式，由它得出科学预测或猜想，并通过观测和实验进行验证，计算在当时仅处于辅助地位。如今，由于计算机科学和计算数学的迅猛发展，科学计算在显著地改变着科学研究的传统方式。当前科学计算已经形成与科学理论、科学实验三足鼎立之势。计算力学、计算物理、计算化学、计算生物学、计算地质学等众多计算性学科的纷纷兴起，无不说明计算已经成为继实验、理论之后的科学研究中不可替代的第三大研究方法。更为重要的是，计算方法有着远远优越于传统科研方法的地方，在科学研究过程中发挥了极其独特的作用。这一点通过下面的实例就可得到充分的表明。
首先，计算机实验可以进行通常实验所无法进行的实验。如由于充分通晓了牛顿万有引力定律，并有了太阳系的准确的计算模型，就能够确定出在不存在火星的条件下地球运行的轨道将是如何地不同于其现行的轨道。其次，当问题或系统相对复杂时，就必须利用计算机。如对于一个含有千百万个恒星的星系之间的碰撞问题，就必须借助计算机。另外，当计算精度要求较高、微分方程形式较复杂、方程个数很多等情况下，也只有用计算机才能解决有关的问题。再次，计算机实验中的对象不受自然定律的约束。这是和常规实验中的实际对象所不同的一点。计算机实验中的对象遵循的是包含在计算机程序中的定律，这些定律可以具有任何一种自治的形式。因此，计算扩展了实验科学的领域，它允许在一个完全由假设构成的环境中进行实验。进而，计算也扩展了理论科学。传统的科学定律一般是用特定的一组数学公式或结构表达的，而且这些定律通常都是逻辑抽象和推理的结果。现在，通过计算人们发现，用一种算法同样也可以表达一条科学定律，也可以具有任何一种自治的形式。最后，计算机实验不仅只限于自然界中发生的现象和过程，如尽管磁单极尚未能在物理实验中发现，计算机程序却能够描述磁场中磁单极的运动。而且还可修改这一程序，使之表达各种不同的磁单极运动定律。还有，当该程序执行之后，这些假设的定律的结果就能被测定出来。可见，计算机可以使研究人员能对各种假设的“自然定律”进行实验。科学计算特有的优越性还远远不止这些。如它的简单性、经济性、易操作性、易修改性等，都是传统科学方法难以比拟的。这些我们就不再细说了。在此，想要说的是，科学计算方法不仅是科学研究中一次重大的划时代的方法论变革，也将引发一场科学观的深刻变革，进而引发一场自然观的深刻变革。我们认为，这场变革正在发生，并且相信，它在不远的将来——信息化社会中就会被人们普遍接受。
二 科学计算与科学观的变革
要了解和阐明科学计算对科学观的变革，首先需要了解和阐明与科学表达有关的一些问题。大家知道，作为刻画自然结构与自然规律的科学理论的主体是科学定律。科学定律通常都是用一组数学公式或方程来表达的。具体说，是用一些代数方程、微分方程、差分方程和积分方程等来表达的，其中以微分方程为最主要的表达方式。而且一般认为对一个系统或过程只要写下了它的数学方程，就是理解了这个系统或过程。因为人们坚信，只要知道了（或近似地知道了）一个系统的初始条件和它的运动方程，那就可以准确地（或近似地）预测该系统以后任何一个时候的状况——只需将有关初值和相应的时间参数代入方程计算一下便可。然而事实往往并没有这么简单。除了极少数方程是可以求解的，绝大多数的方程尤其是非线性方程是无法直接求出精确解（解析解）的。这倒不是因为方程没有解，事实上，方程的解不仅存在而且往往还是唯一的。然而解的存在且唯一，并不意味着是可现实求出的。因此人们必须借助于逼近的方法来求近似解。最常用的方法就是数值解法。其基本思想是把微分问题离散化，求出离散问题的数值解。具体的离散化方法有多种，但从根本上说就是迭代法，即从相应微分方程的初值yo开始，一步一步地计算出y[,1]、y[,2]…y[,n]的值。在绝大多数情况下，这一计算任务只有靠计算机才能完成。然而正是这一计算过程，是对实际系统运动过程的近似表达，相应的算法就起了描述这一过程的一个基本定律的作用。这就说明，对于一个系统和过程，仅仅给出它的一组数学方程，还远远不能说就理解了它。即更多的情况下，仅靠一组数学公式或方程是无法表达一个实际系统及过程的，这时需要的是整个计算过程及其算法。可见，科学计算在这里不仅是作为一种研究方法和手段而出现，更重要的是作为研究结果——表达实际系统及过程的科学定律（一种新的形式）而出现。
上述论述说明，尽管现实中大量实际系统是非常复杂的，没有一个简单的数学公式或方程可以用来表述这个系统的整个运动过程。如对于混沌动态系统的不可预测过程，就没有一个方程可以表达它。但是，采用计算机实验或模拟的方法，还是可以了解或显示该系统运动之轨迹的。当然，这比具有解析解的系统运动复杂不少。存在解析解、公式解，意味着存在一条捷径——预测未来就不需要经过各种中间状态，而只需要知道初始状态和最终时间就行了。不存在解析解、公式解，则意味着不存在预测系统运动过程的捷径，必须老老实实地模拟运动的全过程。以往的科学研究，总是把现实系统抽象或简化为具有解析解的数学系统，并通过常规的数学方法来处理相关问题。但是，如今发现现实中的各种系统，往往都是不能简化为具有解析解的系统，因此，人们只有极度依赖计算的方法，才能解决一些重大的现实问题。计算在这里发挥着一种不可替代的作用。计算正在改变着当代科学研究的方法、方向和研究重点，同时也渐渐地在改变着科学家们的科学思想和科学观。可以说，今天已经到了必须彻底抛弃这样一种观念——一个科学现象、过程和规律必须由一个确切的数学公式、方程来描述和表达——的时候了。一个科学过程、规律不再是由一次求解一个方程来确定——如像x[2]+y[2]=1这个方程的解确定着一个形状（具体说是一个圆）——而是通过在循环系统（迭代方程）中进行迭代来定义。迭代一个方程而不是求解一个方程，不仅成为理解一个科学系统的途径，而且成为理解这个系统的运动变化情况的途径，甚至是唯一现实可行的途径，科学定律（公式、方程）变成了一个动态过程而不再是一种静态描述。
综上所述，我们所要表达的这种新的科学观是：科学理论是一个算法体系，科学定律是一个个的算法。科学研究的实际系统，就是一个计算系统，而相应的实际过程，就是一个计算过程。让我们暂且把这种科学观称之为计算主义科学观。
应该指出，这种计算主义科学观，不仅适合解释以计算机为主要研究工具的当代科学，而且也适合解释以牛顿物理学为代表的近代科学。正如美国学者普特南所言，牛顿物理就是“一种强调数和用于计算的精确代数的物理学”[1]。在牛顿物理学里，任何物体的运动都是某种力的作用结果。力可以完全由数来描述：三个数确定任何力的方向，一个数描述任何力的大小。一个力所造成的加速度的方向与该力的方向完全相同，而加速度的大小则可以根据牛顿第二定律F=ma算出。如果作用于一物体的力不止一种，则可以用力的平行四边形定律计算出其合力。可见，经典物理系统也是一个按其自身“算法”不断运转的“计算系统”。
科学总是在不断地发展，甚至在不断地变革。本世纪初诞生的相对论和量子力学对以牛顿物理为代表的近代科学的革命，早已成为不争的事实。如今，20世纪七、八十年代兴盛起来的混沌学及各种非线性科学又被喻为继相对论、量子力学之后的第三次科学大革命。确实，至今已不知有多少人为混沌学等所重新绘制的自然图景而惊叹万分。惊叹之余我们想到的一个问题是，什么原因引发了这场当之无愧的第三次科学大革命？思考的结果是：科学计算。而且完全可以说，没有科学计算的革命，就不可能有混沌学等非线性科学的革命。
如果说以前的科学革命主要是以对自然图景的重新绘图——产生了新的科学理论为标志，那么当前这场由科学计算所引发的科学革命却有着双重的标志——对自然图景的重新绘图（产生了混沌学等一系列非线性科学）以及为科学和科学表达提供了一种全新的具有革命性的方式、方法和工具。这是与以往科学革命所不同的地方。而且，进一步我们认为，以相对论、量子力学为代表的现代科学革命，与其说是一种科学革命、科学观革命，倒不如说更是一种自然观的革命。因为它主要是改换了以牛顿物理为核心的自然图景，拓展了科学研究的领域，使人们对大自然无论从广度还是深度都有了更加深刻的认识。但是对什么是科学理论、什么是科学定律的认识，却没有多大变化。科学理论依然被看作是科学定律的集合，科学定律依然被看作是特定的数学公式、数学方程。科学研究的目的就是为特定的自然现象、结构和过程，寻找相应的数学模型——公式、方程，并以此数学模型为基础作出新的预测。所谓预测也就是根据所获得的数学模型和所测得的初始数据对未来进行一次计算。这就是科学，无论是近代还是现代，人们大都这样认为。在这一点上——科学表达的方式——相对论、量子力学并没有构成对近代科学的革命。因此，我们认为，现代科学革命主要是一种自然图景的革命、自然观的革命。当然，也不能说现代科学革命没有引起科学观的变革——过去人们把科学完全看作是对自然的终极性的本体论反映，现在多数人把科学看作是对自然的历史性的认识论描绘，对科学的性质、作用有了新的认识。但是，也应该承认，只有当今这场革命才使人们真正认识到，科学定律并不总能用一个特定的数学公式、方程来表达（静态描述），在更多情况下，科学定律要用一个算法、用整整一个计算过程来表达（动态显示）。想通过一个方程、及求解一个方程就能了解一个现实系统的整个情况，在大多数情况下是办不到的。迭代一个方程（而不是一次性求解），即老老实实地模拟相应系统的整个运动过程，才是了解一个系统唯一可行的途径。
三 对对称观念与方法的挑战
科学表达方式的变革，意味着人们以往关于科学定律的基于对称的观点，需要用一种基于算法和计算过程的观点来取而代之，而这无异于贯穿于整个自然科学（尤其是物理学）基本概念、基本定律的对称性观念的动摇，其革命性可谓是划时代的。要知道，对称性被作为物质的状态和运动规律在对称变换下的不变性已成为物理学中一个最普通、最深刻的概念。为了论证对称性观念与方法的局限性，下面我们首先需要表明一下，何以说整个现代物理学都是建立在对称性的观点上的。
人类对对称性的偏爱，早在古希腊数学和哲学中就已有明确的表现。他们相信对称是支配宇宙中一切现象的基本因素，相信上帝一定会用对称的方法来设计这个宇宙。以前的物理学家还只注意研究特定现象过程的对称性而不是物理定律本身的对称性；本世纪初以来的物理学家则更加关注的是基本定律的对称性，而不是具体物体的对称性。尤其是当人们了解了一位伟大的女数学家A.E.诺特关于对称性与守恒量的著名定理（每一种连续对称性都将有一个守恒量与之对应）和1925年前后确立的量子力学之后，对称的观念便成了物理学中最基本的观念。以至于若对称性不存在的话，物理学家将会不知所措。他们把对称性当成了一个判断自然设计的客观判据。爱因斯坦、威格纳、杨振宁等一批20世纪科学顶尖人物，都给对称性观念赋予了重要的地位。正是在这些大师们的促成下，人们形成了一整套基于对称性观念的关于科学定律和自然规律的看法。
由局部推论整体、由过去推论未来，这是科学研究最基本的目标之一。一个不具有时空外推性的科学定律是毫无应用价值的。事实上，谁也不会把一个在北京成立而换一个地方又不成立的“定律”、或今天成立而过几天又不成立的“定律”当成真正的科学定律。然而无论是哪一种外推都是建立在一种对称性（前一种为空间对称，后一种为时间对称）的基础之上。要求一个在区域D上获得的局部知识（科学定律）在一个更大区域D'上也适应，或要求一个对过去有效的知识（科学定律）对未来也有效——用数学的话说，这就是对一个已知t<0时的函数f(t)向t>0时的延拓（外推）。这正是对称性概念的表现。要现实地做到这一点，对于科学定律就必须有一种可传播或可延拓的方法，使得t<0时的f(t)与t>0时的f(t)一致。数学为人们提供了这样一种典型的外推方法，它也是在实践中使我们能够规范地从事这种外推的唯一方法，这就是解析延拓。在数学中，利用解析延拓，一个解析函数的一个芽（粗略地可理解为函数的值或解）可以扩展到这个函数的整个定义域上。这意味着，表达科学定律的数学公式、方法（函数）及其依赖于时空的解都必须是解析函数。否则，相应的科学定律就不具有严格的外推性（即可预测性）。为什么表达科学定律的数学函数是解析的，就能保证科学定律的对称性、外推性？这是因为数学中函数f(z)=u(x、y)+iv(x、y)解析的充分条件是f(z)满足柯西—黎曼条件：
这是一个十分简洁的对称性条件。正是这一数学的对称性条件，从根本上保证了科学定律的对称性——外推性或可预测性。这便是我们的科学定律的有效性并不受地域和时间的限制的最根本的数学原因。然而，并不是说所有表达科学定律的数学公式、方程及其解函数都是解析的。因此，存在大量并不具有对称性的科学定律——无法在大范围或长时间里任意地进行外推和预测。混沌学等一系列非线性科学的建立，给我们提供了极好的例证，如天气的长期预测是不可能的——这是因为关于天气情况的过去的全部知识并不能直接外推到未来，即t<0时的天气函数f(t)与t>0时的f(t)是不一致的，这里不存在解析延拓。
既然解析延拓或对称性并不总是存在，那么为什么绝大多数的现代物理学家始终坚持用对称的观念和方法研究物理？为什么坚持宇宙以一个解析的实体为模型？因为只有解析的模型我们才能处理、求解；因为只有对称的观念和方法才能有效地应用。而这无异于说，为什么这个东西好，因为这个东西好。对于这样的回答，没有人会满意。然而它却并非没有道理——这个回答实际上反映了大多数物理学家在这一问题上的心态。对称性的观念和方法，早已在这些物理学家的心中根深蒂固了。离于了对称性、解析性，他们会从心底里感到不知所措。这正如“路灯哲学”（注：“路灯哲学”讲的是这样一个故事：一位先生在黑夜里把钥匙丢在了街上，可他总是在路灯下面寻找，虽然他知道自己的钥匙并没有丢在路灯下。）所揭示的道理一样。当然也应该指出，以往科学家所研究的对象大都本身就被理想化、抽象化了，其基本特性是光滑、连续、可微、可积、线性。正是这些理想化的特性，保证了对称性观念和方法在过去的研究中得心应手。可是现实世界并非如此理想，那种理想化的作法如今已经走到了它的尽头。不光滑、不连续、不可微、不可积、非线性成了当前科学对象的基本特征。面对这种全新的对象，我们的观念、方法无疑也应该随之改变。这一观念改变的快慢，将在很大程度上决定谁能抢占未来科学研究的制高点。不过，由于近一个世纪以来的巨大成功，使得如今一大批物理学家不可能轻易地放弃引导他们成功的对称性观念和方法。十分推崇对称性观念和方法的著名科学家杨振宁教授就说过：“今天我们已经达到这样的一个高度；知道所有力的基本数学结构，它们的数学方程式都是由对称来描述的”。[2]自然他是希望他的这一结论也是具有对称性的——未来所获的一切物理数学方程都是由对称性来描述的。他相信沿着“把今天我们已扩大到相当大的、前所不能想象的一些对称观念再扩充一下”的这条道路走下去是正确的。但现在看来，是不是可以说，这只能是杨教授个人的愿望了呢？
最后，应该明确的是，本文所谓的对称性观念和方法的局限性，不仅是本体论意义上的局限性，而且也是认识论、方法论上的局限性。如果说早期人们对对称性的本体论地位还有所认同的话，那么从1956年李政道、杨振宁关于宇称不守恒定律的发现以后，对称性的本体论地位就被推翻了。随后一系列更加复杂的对称性的破缺，就更表明了对称性是一个不具有本体论意义的概念。不过可能有人会问：根据诺特定理，一个对称性总是对应于一个守恒量。那么难道刻画了自然界深刻属性的各种守恒量、守恒定律也都不具有本体论意义吗？如果承认守恒量具有本体论意义，那又如何解释这两个对应概念之间的矛盾呢？守恒量、守恒定律有没有本体论的意义，我们这里暂不论及，我们想说的是，即使守恒量具有本体论的意义，上述矛盾也是不存在的。这里关键的是诺特定理。为此我们需要对它作进一步的了解。正如米尔斯所说，在物理理论的拉格朗日表述形式中，所谓对称性就是拉格朗日函数的对称性，因为拉格朗日函数的形式决定了系统的运动方程。诺特定理的证明是以一些假设为基础的，其中最重要的假定是物理中的运动方程是由一个称为哈密顿原理的变分原理导出来的。这一原理表明对于从体系的真正轨道（把它的历史看成是时间的函数）所作的微小偏离而言，拉格朗日的函数的时间积分是平稳的。然而却没有确切的理由来说明运动的方程为何应有这一特性。[3]尽管哈密顿原理可以推广到更大的范围（如电磁场系统）。但却不能推广到包括耗散力（摩擦力就是一种耗散力）的系统。严格地讲，世界中的哪一个系统又不是包括耗散力的耗散系统呢？因此，诺特定理的适应范围是有限的、理想化的。对称性与守恒量只不过是在正确的拉氏函数下有一种同构关系，守恒量并不等于对称性。著名物理学家李政道也说：“所有的对称性都是基于某些基本量不可观测的假设。…一旦一个不可观测量变成可观测，对称性就破缺了”。[4]另外，根据威格纳的证明，对称性变换包括幺正变换和反幺正变换。对于幺正变换对称性，存在相应的守恒量，但对于反幺正变换对称性，如时间反演，并不存在相应的守恒量。[5]由此也说明，对称性与守恒量是有着重大区别的。
认识到对称性并不具有本体论意义，于是，人们便都从认识论、方法论的意义上来谈对称性。爱因斯坦是第一个使用对称性方法写出力的方程的科学家。大家都知道爱因斯坦有这么一个说法：过去的科学研究是一个从实验到方程、再到对称的过程；现在要反过来，从对称出发，到方程，再到实验。即先提出一个对称来，然后建立符合这个对称的方程，最后对从这个方程推出的结果、猜测进行实验验证。杨振宁教授是遵其程序作出卓越贡献的著名科学家，他提出了著名的对称支配力或对称性支配相互作用原理。但是，大家都知道，规范场理论还只是通往大统一理论过程中的一个阶段性成果之一，而且，其中还有一些没有解决的困难。不过他相信要解决这些困难，还得把对称这个观念再加以推广，认为“今天还未能解决的问题，很可能是出于我们还未把这个概念推广到头”。并坚信这是一个总的方向——把对称的观念再扩充一点，再延展一下。[6]但近十多年来，随着科学计算方法和非线性科学的迅猛发展，这种一遇到困难就着眼于把原有的不适应的对称再扩充一点的办法开始要失效，无止境地扩充对称的意义和作用将不再是科学的。
结束语：基于对称观念的科学观的动摇，与基于计算观念的科学观的兴起，恰好从科学观的角度显现了当今人类社会正在向信息化社会迈进。如果说20世纪的科学观是一种对称科学观，那么，我们相信21世纪的科学观，将是一种计算科学观。这种计算科学观，不仅将改变人们对科学本身的认识和表达，而且也将改变人们对自然、社会以及人类自身（尤其是大脑与思维）的认识和表达。
相对于计算主义科学观，新的自然观可以称之为一种计算主义自然观。这种自然观可以追溯到毕达哥拉斯和柏拉图的数学自然观。或者说，计算主义自然观正是毕达哥拉斯、柏拉图数学自然观在当代的延伸。所谓计算主义自然观我们大体可以对它作这样一种描述或比喻：自然界就是一台巨型计算机。自然质能系统是这台巨型计算机的硬件，自然规律是这台巨型计算机的软件，而自然过程（演化）则是这台巨型计算机的计算过程。
人们早已注意到，由混沌学等一系列非线性科学所引起的自然图景的变革——认识到了大自然的非连续、非线性、不可微、不可积等一系列新特征。但这还只是一个表面的静态的认识，看待大自然的方式还远没有从静态走向动态。我们认为这场由科学计算所引发的自然观变革，最终将使人们脱离对大自然采取一种静态认识或静态描述的观念和方法，从而真正地更深刻地认识到，“自然界不是存在着，而是生成着并消逝着”（恩格斯语）。自然界无法用一个确定的数学模型来描述，它不是一个不变的状态，而是一个不断发展、变化的过程。我们认为，从计算的角度看自然恰好适应这一现况。进一步，人类社会无疑也可视为一台计算机。“计算”将成为21世纪的世纪视角，一切将从计算的角度去看，一切将根据计算的法则去认识、去表达。“计算不再只和计算机有关，它决定我们的生存”，也决定我们的行为、意识。