MM教育方式的生命力，本文主要内容关键词为：生命力论文,方式论文,MM论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
20世纪80年代中国数学教改方案如雨后春笋，但存活至今的却寥若晨星；为什么MM教育方式成为其中耀眼的一颗呢？
这就使作者联想到，2007年在《数学教育学报》上发表的“数学观对数学及其教育的影响”[1]（文[1]被中国人民大学书报资料中心的《中学数学教与学》（G351），于2008年第2期（下），全文复印转载）.它启发作者从数学观与数学方法论的一致性角度，探讨MM教育方式的生命力.
一、数学观与数学方法论的一致性
辩证唯物主义认为，世界观是人们对世界总体的看法，诸如自然观、社会历史观、伦理观、科学观等都是对世界的根本看法.哲学是世界观的理论形式.方法论是关于认识世界和改造世界的方法的理论.方法论在不同层次上有哲学方法论、一般科学方法论和具体科学方法论.不同层次方法论的关系是互相依存、互相影响、互相补充的对立统一关系.
哲学方法论与世界观具有一致性.因为一定的世界观原则在认识和实践过程中的运用表现为方法：方法论则是有关这些方法的理论.所以说，没有脱离世界观的、孤立的方法论；也没有不具备方法论意义的纯粹的世界观.换句话说，世界观决定方法论；方法论包含或反映世界观.
数学哲学作为哲学的分支学科，辩证唯物主义的上述原理同样适用，即数学观是对数学总体的看法，例如，数学发展观、数学性质观、数学真理观、数学文化观、数学美学观等都是对数学的看法.数学哲学则是数学观的理论形态.数学方法论是人类认识和研究数学的方法的理论.它在方法论的3个层次中属于具体科学方法论（有的科学方法论学者把数学方法论归类为一般科学方法论.这是因为任何一门成熟的科学都需要研究其对象的数量关系，而把数学作为一种研究工具或方法应用于其中）.数学方法论与数学观具有一致性.其含义有：数学观决定数学方法论；数学方法论蕴涵或反映着数学观.例如：
1.数学观决定研究数学的方法
20世纪初，在解决数学基础危机中，以罗素为代表的逻辑主义数学观认为：数学就是逻辑.因此，逻辑主义当时采用的方法是演绎法.用卡尔纳普的话说，通过明确的定义从逻辑概念推导出数学概念；通过纯粹的逻辑演绎从逻辑公理推导出数学定理.也就是说，全部数学可以从逻辑学推导出来.事实上，逻辑主义并没有从逻辑学推导出全部数学，它还需要逻辑公理以外的无穷公理和选择公理以及可化归性公理才能推导出数学，因而宣告失败[2].
2.方法论蕴涵数学观
数学教育家波利亚说：“数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明：但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的.只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程，那么就应当让猜想、合情推理占有适当的位置……有两种推理：论证推理和合情推理.在我看来它们相互之间并不矛盾，相反地，它们是互相补充的.”[3]
波利亚关于数学研究的两种推理方法及其辩证关系的观点，其根据是数学性质的二重性：演绎性与归纳性（或经验性）.所以，波利亚主张的方法反映出他对数学性质的看法，即数学性质观.
二、MM教育方式蕴涵着数学观
现在，将从数学观与数学方法论的一致性角度，具体考察MM教育方式中蕴涵的数学观.
MM教育方式的全称为“贯彻数学方法论的教育方式，全面提高学生素质”.因“数学方法论”一词的英译为“Mathematical Methodology”，取其词头字母，同时为了强调这种教育方式的特点，而简称MM教育方式，又称“MM课题”或“MM实验”.从MM教育方式的定义和数学方法论与数学观的一致性，即可顺理成章地推论出，MM教育方式蕴涵着数学观的结论.但是，这种逻辑推论不能给人以感性的、具体的认识.为了给读者对MM教育方式蕴涵的数学观，留下具体的感性认识，下面想分两步实现：
跟踪MM实验的设计思路；
揭示MM教育方式蕴涵的数学观.
1.跟踪MM实验的设计思路
“贯彻数学方法论的教育方式，全面提高学生素质.”首先遇到的问题是，如何把数学方法论思想有机地融入数学教育教学中呢？
问题1与解决的思路 MM实验方案的设计者在决定采用波利亚的科学方法论和徐利治的数学方法论思想作为数学教改的理论基础后.当他们想以波利亚的《怎样解题》、《数学与猜想》、《数学的发现》和徐利治的《数学方法论选讲》[4]作为蓝本时却发现：虽然在数学研究和数学教学中熟练地应用数学科学方法论思想，“但是他并没有系统地把数学方法论用于数学教学”，也没有形成一种可操作的教学模式.于是，他们“面临着如何把数学方法论用于数学教学的问题，比如，‘数学哲学研究’怎样用于数学教学？”[5]也就是说，在数学教学中如何贯彻数学方法论呢？它既不是穿鞋戴帽，更不是把数学课变成数学方法论或数学哲学课，而是要把数学方法论思想有机地融入数学教学中去.
启发 他们通过深入地考察和分析波利亚应用数学方法论于数学教学的实例和徐利治关于数学方法论的论述，以及实验心理学的基本原理，认为只要找到一个“转换器”（转换过程），就可以把抽象的数学方法论思想转化为教学措施应用到数学教学过程中去.例如，数学教学中由数学美转化为数学美育[5]的过程大致如下：
（1）分离或分解 从数学方法论的基本内容中分离或分解出可能用于数学教学部分的数学美作为“MM因子”（数学方法论因子的简称）.
（2）转化 根据数学美（MM因子）的内容，弄清结合、渗透的途径，从而把它变成教学设计、处理教材和课堂教学的具体措施，使数学美（MM因子）转化为可控的、可操作的变量，即MM可控变量.
（3）操作 通过操作数学美这个可控的MM因子（自变量），在学生参与下，学生审美意识和素质状态发生变化，即视为MM状态变量.
MM实验设计者弄清楚数学方法论转化为数学教学内容的步骤后，又面临一个新的问题.
问题2 从数学方法论中分离出哪些MM因子和如何界定？
问题2.1 分离MM因子
MM实验设计者认为，就数学发展的内外因素而言，数学方法论又可分划为宏观与微观的两个范畴，如果抛开数学发展规律的社会因素，数学方法论的研究对象和大致内容可划分如下[6]
A.宏观方法论因子：
数学哲学问题、数学美学问题、数学心理学问题、数学家成长规律的一般分析、数学史与数学教育史研究.
B.微观方法论因子
演绎（逻辑）推理方法：抽象分析法、数学模型法、分理化方法；
合情推理方法：观察、实验、类比、联想、猜测、经验归纳法；
一般解题方法：分析、综合、一般化、特殊化、关系映射反演原则.
问题2.2 MM因子的界定和解释
MM因子的界定实际上是说明数学方法论所涉及的对象或某个哲学问题，它又是转化为可操作变量的哲学根据或理论根据.因为这些内容的分析将与下面要揭示的数学方法论蕴涵数学观重复，所以留待后面一起分析、说明.
问题3 设计MM基本操作表
MM实验设计者知道从数学方法论中分离出哪些MM因子及其界定或解释，又弄清楚数学方法论转化为数学教学内容的步骤后，便设计出如表1所示MM基本操作表[6].
弄清楚设计者解决问题的思路和MM因子的由来、功能后，就可以根据MM因子的界定或解释，以及它转化为可操作变量的依据和MM基本操作表，确定MM因子蕴涵或反映何种数学观了.
2.揭示MM教育方式蕴涵的数学观
在揭示MM教育方式蕴涵的数学观之前，需要明确MM因子的功能，因为它是揭示MM因予反映或蕴涵某种数学观的根据.
（1）MM因子的功能
①影响数学发展.MM设计者认为，“就数学发展的内外因素而言，数学方法论可划分为宏观与微观两个范畴……”[6]；同时它们表现为一种“思想方法”，通过“渗透和使用”产生影响[5].这就是说，数学方法论通过“渗透和使用”对数学的发展产生影响.
②体现某种数学观.MM设计者认为，“作为一种数学教育方式，在用于教学过程时，还应体现新的数学观.”[5].
③MM因子可以转化为可操作的MM变量，或提供这种转化的依据.
（2）揭示MM教育方式蕴涵的数学观
根据MM因子的功能，从MM基本操作表中的8个MM因子转化为8个可控或操作变量，逐一考察其中蕴涵或反映的数学观.
①“数学的对象及性质研究”→数学认识论→数学的返璞归真.
MM设计者说，“对数学方法论研究不能不涉及对数学的性质和地位的哲学思考.”[6]这个因子涉及数学的性质，而数学的性质是属于数学认识论问题，即这个MM因子蕴涵着数学认识论.考虑到它要为MM因子转化为“数学的返璞归真”这个可操作变量.所以确切地说应该是，感性—理性—感性；或具体—抽象—具体，这一认识规律.因为数学作为对客观事物的一种认识，它应该遵循辩证唯物论的认识规律，因而才能为MM因子转化为“数学的返璞归真教育”这个可控变量提供理论根据或哲学根据.
②数学美学方法研究→数学的美学观→数学教学中的美育.
MM设计者说，“由于数学的发现、发明和创新过程中必然要遵循和体现美学原则的存在性特征，因此，数学方法论研究还必须涉及数学美学问题.”[6]由此确定“数学美学方法研究”作为MM因子.这里的MM因子“数学美学方法研究”已经触及数学美学的问题，即蕴涵“数学的美学观”，因此才能使它转化为“数学教学中的美育”这个可控变量.
③数学发明心理学研究→数学的创新观→数学发现法教育.
“由于数学方法论要研究数学中的发现、发明与创造等法则，所以必然要涉及数学创造活动中心智过程的分析，这就是说它要涉及数学心理学问题.”[6]由此确定“数学发明心理学研究”这个MM因子.它涉及或蕴涵数学的创新观，因此，它可以作为转化为可操作变量“数学发现法教育”的哲学根据.
④数学家成长规律的研究→数学文化观→数学家优秀品质教育.
⑤数学史与数学教育史研究→数学文化观→数学史志教育.
这里把第四、第五个MM因子合并分析.“由于数学科学的发展规律可以从数学发展史的丰富材料中归纳分析出来，因此，数学方法论必然要涉及数学史和数学教育史的研究：由于数学科学的建立和发展中必然要介绍一些大数学家的经历和他们在数学创造活动中走过的道路，要涉及他们的研究方法及其研究成果，因此，数学方法论的研究必须涉及数学家成长规律的一般分析.”[6]由此，设计者确定了两个MM因子：“数学家成长规律的研究”和“数学史与数学教育史研究”.它们分别转化为两个操作变量：“数学家优秀品质教育”和“数学史志教育”.这两个MM因子涉及数学文化观.它不仅可以为转化为可操作变量做准备，又可以为实现MM教育方式目标中的“提高学生的一般科学素质和社会文化修养”以及提倡数学教育的两个功能（技术教育与文化教育）留下广阔空间.
⑥合情推理方法→数学性质观→合情推理教学.
“在微观操作中的观察、实验、归纳、类比、联想、猜想等”都属于合情推理的具体方法.这一方法在数学中的运用，反映了数学具有经验性一面，或者说，合情推理法的应用蕴涵着对数学性质的看法，即数学性质观.
⑦逻辑推理方法→数学性质观→演绎推理教学.
在第七个MM因子“数学模型法、公理化方法和抽象分析法等逻辑推理方法”转化为演绎推理的教学中，需要特别指出的是，“数学模型”是数学理论与现实世界联系的桥梁，因此，数学模型法不能归类为演绎（或逻辑）推理.公理化方法在数学中的运用，反映了数学具有演绎性一面，它与数学的经验性或归纳性在数学发展中构成既对立又统一的关系，或相辅相成的关系，即数学性质观[2].
⑧数学模型法→数学的认识论→数学模型法教学.
上面的分析指出，“数学模型”的方法不能归类为演绎（或逻辑）推理.它应该自成一类方法，即数学模型法；而一般的解题法或者波利亚解题表等都是服务于求解数学模型的.数学模型法的产生则反映数学认识客观事物的过程，即实践——认识——实践.因此，第8个MM因子更名为“数学模型法”.它既包括建立数学模型的各种方法，又包括求解数学模型的各种方法.这样，第8个MM因子蕴涵的数学观应该是数学的认识论，它就为转化为可控的操作变量即数学模型法教学（包括建立和求解数学模型的各种方法），相应的状态变量应该改为“综合运用数学和自然科学知识解决实际问题能力（包括建模能力）”.
根据上述分析、说明和命名，为使MM教育方式蕴涵的数学观更加凸显出来，将MM基本操作表作如下修改，见右表2.
修改后的MM基本操作表一目了然地显示出MM因子蕴涵的数学观，表明MM教育方式是具有充分的哲学理论根据的.
三、MM教育方式体现一种新的数学教育观
MM因子蕴涵着丰富的数学观，表明MM教育方式具有深刻的哲理根据，当这些MM因子转化为可操作的变量，有机地融入数学教学中，必然引起数学教育观念的变革，形成新的数学教育观.
下面，将通过MM教育方式的操作定义，说明它是如何具体体现新的数学教育观的.
“MM教育方式”的早期表述如下：“在数学教学过程中，教师遵循数学本身的发现、发明与创新等发展规律，遵循学生的身心发展和认知规律，力求使它们同步协调，并引导学生不断自我增进一般科学素养，社会文化修养，形成和发展数学品质，全面提高学生素质.这就是数学方法论的教育方式（简称MM教育方式）.”[6]
如果说，这里的MM教育方式的表述还比较原则、抽象，那么MM实验的设计者徐沥泉老师经过长时间的推敲、思考，终于找到一种更为明确、更具操作性的表述.暂且称为MM教育方式的操作定义[5-6]：
MM教育方式就是，教师在数学教学的全过程中，充分发挥数学教育的两个功能（技术教育与文化教育），自觉地遵循两条基本原则（既教证明又教猜想，教·学·研同步协调），瞄准3项具体目标，恰当地操作8个变量（运用8项教学措施），从而达到全面提高学生素质的目的.
这样，就可以通过MM教育方式的操作定义，分析、说明MM教育方式体现新的数学教育观了.
体现1——发挥数学教育的两个功能：技术教育功能和文化教育功能
传统的数学教育局限于传授数学知识或技术教育.20世纪80年代，中国学者研究发现，数学本身除了具有专业科学知识的价值外，还具有丰富的文化价值，它给人的影响甚至终生难忘.比如，学过数学的人，后来从事非数学工作，他可能忘记所学的定理.但数学的逻辑推理严密性的文化特点，可能使他铭记一辈子，甚至影响他的为人做事的严谨性和思维的逻辑性.MM设计者在20世纪80年代末期看到数学文化的教育价值，把它吸收到MM教育方式，明确提出MM教育方式要充分发挥数学教育的两个功能（技术教育功能和文化教育功能）.这不能不说是一种具有前瞻性的、新的数学教育观！
体现2——自觉遵守两条基本原则：既教证明又教猜想原则与教·学·研同步协调原则
在数学发展史上曾出现过算法与演绎两种倾向及其更替，反映在数学哲学上表现为数学性质的争论：数学是演绎科学还是经验科学？从辩证唯物主义观点看，数学性质具有二重性：演绎性与经验性（或归纳性）及其辩证关系[2].MM实验应用这一成果设计出既教证明又教猜想这一教学原则.他们认为，两条基本原则中的既教证明又教猜想原则的设置“是基于数学的两重性：它既是严谨的演绎科学，又是实验性的归纳科学……以往的（传统的）数学教学是忽略了‘归纳、猜想过程’的纯演绎式，既违背数学的本性，又违反人的认知规律，因而效果差、效率低，课堂教学索然无味.反之，如按‘归纳—演绎’式进行教学，既教证明，又教猜想，按数学发生发展的本来过程进行教学，则不仅使学生易于理解和接受，增加数学的兴趣性和学习过程的情趣，且有利于开发学生的直觉思维能力和创造性思维能力.”[5]
“教·学·研同步协调原则”是MM实验设计者应用建构主义的认知理论于数学教育教学过程中而产生的新的教学原则.建构主义教学理论的核心思想之一是，以学生为主体，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识意义的主动建构.而传统教学强调教师的主体地位，即老师教，学生学，这里学生学是被动的.根据建构主义理论，在教学中就要确立新的师生关系：主导—主体.怎样体现这种新型的师生关系？他们提出“教·学·研同步协调原则”.具体地说，“教师的教学过程，也就是学生的学习过程，两者又统一于数学研究和发现的过程，这是对‘发现法’和‘启发式’教学的一种发展……”[5]由此可见，“教·学·研同步协调原则”的提出，确实是对传统教育观的变革，是新的数学教育观的又一例证.
体现3——数学的返璞归真教育
MM实验设计者认为，“数学的返璞归真教育”这个变量的提出是数学教育观变革的重要表现.所以他们说，“MM教育方式……它是一种返璞归真的数学教育方式（因为它反映数学发生、发展的原本过程，恢复了数学科学的本来面目）.”因为“数学的返璞归真教育，指教师能引导学生从日常事物的具体问题中，去感知与此有关的数学对象.传统教材中，对于数学理论不能给人以丰富性和多样性的观念，内容贫乏又没有什么有趣的应用，在教学中，不善于引导学生从直接接触的变化多端的外部世界中去考察数学对象.教出的学生，不会把具体问题数学化，如果要求他们用数学知识认识或解决哪怕十分简单的实际问题，也会束手无策.‘返璞归真’正是让学生感受数学脱胎于实际问题的过程，以解决如上的问题.”[5]
“数学的返璞归真教育”这个变量是由“数学认识论”这个MM因子转化来的.根据辩证唯物主义认识论，人的认识过程是由感性—理性—感性的过程；或者由具体—抽象—具体的过程.而数学教科书强调理论的系统性和严密性，构成一个抽象的理论系统.这时，如果老师照本宣科，而不是根据学生从感性到理性的认识规律，对教材进行教学加工、处理，来个“返璞归真”，学生自然难以接受，无法收到预期效果.因此，MM教育方式强调数学的返璞归真教育，无疑是对旧的数学教育观的重大变革.
体现4——MM教育方式具有育师功能
MM教育方式的最终目标是“全面提高学生素质”，怎么它又具有“培养教师的功能”呢？这是因为，“MM教育方式确实具有可操作性，但它属于高档次的操作和灵活的、创造性的应用，而决非可以简单套用的死板的教学模式.”[5]这就是说，如果教师按照MM思想和8个变量进行操作，就有可能达到教学目标.另一方面，MM教育方式又给老师留下创造性和施展才能的广阔空间.
教师为了在这个广阔空间展示自身的才能，正如MM实验者所总结的，只有通过3条途径才能实现：“第一，促进知识的扩充与更新：一方面，教师要对自己原有的初数知识、高数知识进行反思，重新认识；另一方面，要学习数学哲学、数学方法论、现代数学教育理论、认知学说、科学方法论，等等.第二，促进观念转变：数学观、教育观、人才观等.这是一个人根本认识上的转变.第三，能力增长：驾驭教材和教学设计能力，驾驭课堂的能力（集导演、导游、探索者于一身），进行数学研究与教育研究的能力（特别地，要有数学发现的经历），运用现代教育技术的能力，等等.”[5]这就是说，教师要贯彻MM教育方式，必须先更新知识、改变观念并提高能力.这就在无形中提高教师各方面的水平和能力.MM教育方式具有育师的功能就是这样蕴涵在教育者必须先受教育之中的.
因此，一种教育方式的直接目标是提高学生素质，但结果教师的水平和能力也会同时得到提高.二十多年来，MM实验为全国各地培养出大批骨干教师、特级教师和教授级高级教师，这就是MM教育方式具有育师功能的明证.这些事实不能不说MM教育方式是一种新的数学教育观.
这里只是从几个大的方面，说明MM教育方式是一种新的数学教育观.老师们具有丰富的教学经验，只要把MM教育方式中体现的数学观和数学教育观与自己的教学实践经验加以对比，自然就会体验和发现其中更多、更具体的新的数学教育观，体验到1994年5月MM实验鉴定小组在鉴定结论中所说的，MM实验“应该说是数学教育方面的一个创举”[6].
致谢：该文系由贵州兴义市举行的“全国第十一届数学方法论与数学教育学术研讨会”上的发言稿修改而成.在修改过程中，徐沥泉老师提出宝贵意见，谨表谢意！
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