数学中的内随机性及其认识论意义*，本文主要内容关键词为：随机性论文,认识论论文,学中论文,意义论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
近年来我国科学界、哲学界对自组织理论、复杂性科学的哲学研究可以说是方兴未艾，对内随机性这个概念也可以说是很熟悉的了。不过人们只是注意了在一些非线性的物理系统、生物系统中的内随机性，其实内随机性也存在于被一向认为具有高度确定性的数学理论之中。本文将在揭示数学中内随机性的基础上，就数学内随机性的特征及其在认识论上的作用和意义作一初步的探讨。
一、数学中内随机性的表现形式与特性
内随机性在数学中的表现形式是多种多样的，下面我们逐一进行探讨。
1.不定方程的多解性是数学中最简单的一种内随机性。大家知道，不加条件的纯数字的不定方程的解有无穷多组，若不通过每一次的具体计算，我们是无法预知或得到方程的解的。显然，这种以多解性为表现形式的内随机性是由于方程或条件的不完备性而产生的。另外，尽管这类方程的解群是由无穷多组解构成的，具有内随机性，但这无穷多组解并不是任意的、不是杂乱无序的，即不是一群真正的随机数，我们不可能象在计算机上取随机数那样来取不定方程的解。这无穷多组解是满足同一个方程的，是有着共同遵守的“规则”，即是一个有序的解群。可见，这类内随机性同时也是有序有律的。
2.无限不循环小数的非循环性是数学中又一种内随机性。谁都知道，无限不循环小数实际上就是无理数，如
、π等。但若用非循环小数1.414……表示，3.14159……表示π，我们是不是存在一种通用的法则可以用来确定小数点后的任意位数是什么吗？回答是否定的。因为1.414……、3.14159……的小数点后面部分是无限不循环的，即不存在重复的周期性。因此，如果我们不通过具体的计算，那是无法知道小数点后任意位上的数值的。但这种内随机性也是有序有律的，即尽管我们不能预知非循环小数任意位上的数值，可事实上非循环小数任意位上的数值都是唯一确定的，并不是什么随机数，只是相对于人的认识它是随机的。或者可以说，这是一种在本体论层次上的决定性，在认识论层次上的内随机性。
3.不定积分中积分常数的任意性也是数学中的一种内随机性。在不定积分∫f(x)dx＝F(x)+c中，F(x)是f(x)的一个原函数，c为任意常数，由于任意常数的导数为零，所以f(x)的原函数并不是唯一确定的，函数簇F(x)+c中的任意一个函数都是f(x)的原函数。积分常数c的任意性表明了不定积分的不确定性，这亦是数学中的一种内随机性。它的特点在于不定积分的积分常数是任意的，而不定积分的主体——原函数F(x)是唯一确定的。
4.存在性定理或存在唯一性定理的非构造性内含着数学中一种很重要的内随机性。学过数学的人都清楚，数学中有很多存在性定理和存在唯一性定理，如代数学基本定理、微分方程解的存在唯一性定理，它们都从正面肯定了方程的解的存在性，但是如何根据方程的系数或性质来求出方程的解，存在性定理和存在唯一性定理则没有告诉我们什么，这说明存在性定理一般都是非构造性的，即它们并不能为我们提供任何求解方程的有效方法或途径。尽管一个确定的方程或系统的解是存在的甚至是唯一的，但由于存在性定理的非构造性，我们还是无法求得这个解。事实上，许多高次代数方程、微分方程的精确解就是求不到的。可见存在性定理的非构造性内含着数学中的一种内随机性。另外，存在性定理还不能排除确定性方程或系统的解有可能成为不可预测的“混沌解”。方程或系统的解对于其初始条件或参数的依赖性，是无法由存在性定理来限制的，初始条件或参数微小的变化，完全有可能使方程或系统的解发生剧烈的变化，并走向混沌。
5.决定丢番图方程kx[2]＝2k[2]y有无整数解的k值的不可预测性是数学中又一重要的内随机性。丢番图问题是著名数学家希尔伯特在1900年提出的23个数学问题中的第10个问题，它是问是否存在一个具有有限步运算的方法来判定丢番图方程是否有整数解。现在人们已经知道，对这个问题的一般回答是否定的。特殊的丢番图方程kx[2]＝2k[2]y 实际上是一簇方程，即当k＝1，2，3，……时，对应的有方程：x[2]＝2y、2x[2]＝8y、3x[2]＝18y……但是，使丢番图方程kx[2]＝2k[2]y有无整数解是随k值的不同而变化的，而且其变化的情况也是不可预测的。 另外，美国数学家柴丁还证明了数学家在确定一个特定丢番图方程是有有限多解还是无限多解时，只能象赌徒抛硬币那样完全靠碰运气，即人们不可能证明丢番图方程中的每一个方程的解的个数为有穷还是无穷，这个问题的答案是随机地变化的。这一切无不表明在丢番图方程中存在一种内随机性。更有趣的是，后来人们把丢番图方程是否有解的问题同计算机科学中图灵的不可判定的停机问题巧妙地等同起来了，即使得参数为k的丢番图方程无解等价于第k个计算机程序永远不停机，或者反过来说，如果第k个程序停机，则相应的丢番图方程恰有一解。其实， 数学中的不可判定问题（或不可计算问题）是有很多的，除了停机问题、丢番图方程整数解问题是不可判定的，还有矩阵的致零性问题、一个自由半群的半群字问题均是不可判定的。等等这些不可判定问题正是数学中最为复杂、最为重要的内随机性的表现。尽管现在我们还不能够对类内随机性的机理作出更清楚的研究，但我们已真正地感受到它深刻的认识论意义，后文我们将重点讨论此内容。
6.确定的非线性微分方程、迭代方程的解对初始条件或参数改变的敏感性是数学中又一常见的内随机性。这类内随机性是人们最熟悉、谈得最多的一种，故在此不再详介。
以上我们简单地探讨了数学中的几种内随机性。当然，数学中的内随机性可能远不止这几种、不过这还有待于人们进一步地去探索。综合上述，我们认为，数学中的内随机性主要表现为一种认识论层次上的多解性、非循环性、任意性、非构造性、不可预知性、不可计算性、不可判定性等。下面我们就来谈谈这种内随机性的认识论意义和哲学启示。
二、数学中内随机性的认识论意义
我们认为，数学中内随机性的揭示，有着重大的认识论意义，尤其是它直接针对人类的智力所提出的尖锐问题，更是具有十分深远的哲学意义。
首先，数学内随机性的揭示，为数学图景增添了新的画笔。数学一直以其确定性、逻辑性、推理性，以及可计算、可判定而著称，整个数学图景充满着决定论的色彩。但现在人们发现，纯粹数学中居然也存在随机性、非逻辑性、不可预测性、不可解性等等。这无疑意味着要对数学这幅大图景给予重新描绘。其次，数学内随机性的揭示，提出了解决问题和检验命题的新思路。过去一般认为，任何一个具体的数学问题，总是可以根据一定的规则通过计算得以解决；任何一个具体的数学命题或猜想亦总是可以或证明它或证伪它。但现在在数学问题或命题中发现了内随机性，即存在着不确定性、不可计算性、不可判定性，而这意味着在一定情况下，数学研究的传统方法失效了，而不得不依靠新的数学法则，如统计法则和几何性质。七十年代中期创建的分形几何学，在很大程度上就是依靠的统计法则。第三，数学内随机性的揭示，向数学的形式化、公理化提出了新的挑战。了解数学基础发展史的人都知道，由于罗素、希尔伯特等人的工作，使得整个现代数学一度出现了形式化和公理化的热潮，人们希望把全部数学建立在一个有限的公理集上，使整个数学成为一个完全形式化的形式体系。不过这一宏伟计划早在三十年代初就被哥德尔所摧毁，但是数学中的形式化、公理化热潮并未全然消失，人们虽然不再渴望把整个数学建立成一个完备的形式化体系，但是使部门数学尽量公理化、形式化依旧是数学家们的希望。然而数学内随机性的存在，无疑又是对这一希望的挑战。因为内随机性意味着不确定性、意味着不可判定、不可计算、不可推理，而公理化、形式化则要求可判定、可计算、可推理。看来这是一对不可逾越的矛盾。哥德尔不完备性定理揭示的正是这一矛盾。因此，我们或许可以说，哥德尔不完备性定理之所以能够摧毁形式化的梦想，其根源就在于数学中普遍地存在着内随机性。第四，数学内随机性的揭示，激发了人们对简单与复杂的辩证思考。过去人们习惯于把简单与复杂对立起来，如认为简单的方程或系统其解也简单，复杂的方程或系统其解也复杂。但事实上，一个十分简单的微分方程或迭代方程，其解的结构可能十分复杂。再如，一般认为形式简单的方程容易求解，形式复杂的方程不易求解，事实也非如此。内随机性可以使一个简单的确定性方程产出复杂的解，而使一个复杂方程遵从简单的规律。
以上我们简单地讨论了数学内随机性在认识论上的四大意义，不过我们认为数学内随机性在认识论上更大的意义还在于它向人类的智力提出了一个十分尖锐而严峻的挑战。数学中的内随机性意味着在认识论层次上的非循环性、任意性、非构造性，以及不可预知性、不可计算性和不可判定性。而这一切又意味着什么呢？我们认为，它深刻地意味着：当我们绞尽脑汁地去求解一个数学问题时，我们不知道是不是在求解一个不可解的问题；当我们费尽心思地去判定一个数学命题时，我们不知道是不是在判定一个不可判定的命题。我们想要知道的东西是不是已经包含了某些超越我们智力所能把握的困难？这便是数学内随机性直接针对人类智力所提出的一个十分尖锐而严峻的问题。它迫使人类不得不重新反思一下，面对无限的宇宙我们能认识些什么？我们应该怎样变革我们的认识方式？
我们曾在一文中提出过这样一个观点：人类认识的无限性是可数的、不完备的，而有待人类去认识的客体的无限性是不可数的、完备的，即客体的无限性远远“大于”人类认识的无限性。进而我们得出结论：人类永远也无法穷尽世界的奥秘，世界上存在不可知的客体，即在人类漫长的认识进程中将伴随着许许多多的永恒的问题，这些问题相对于人类的理性认识是不可解的。我们认为，一个问题如果几千年来并将继续不断地提出而又无法解决，那么不是这个问题的提出方式是错误的，就是这个问题预示着人类某种永恒的特征。这类问题在本质上是永恒的形而上问题。我们认为，数学中内随机性的存在，或者说，不可计算、不可判定的数学问题和命题的存在，正是对永恒的“形而上”问题在数学中的存在的印证。
的确，许多数学问题或猜想几百年甚至上千年一直是悬而未决的，这一事实无疑是对我们论点的一个有力支持。许多人把一个问题长期以来不能得到解决的原因完全归结为人类自己的无能，现在看来很可能不是这么回事；相反，一个问题长久得不到解决，很可能是因为这个问题本身具有一种深层的内随机性，因而是一个不可计算、不可判定，即不可解的问题。这就是说，无论将来人类的理性思维有多么发达，技术和设备有多么先进，这类问题也总是不可解的。因此，我们认为，数学内随机性在向人类的智力提出挑战的同时，也是向人类宣告着数学中存在着一类不可解的永恒的“形而上”问题。
尽管这类问题从通常意义上讲是不可解的，但它具有一种永恒的无限的特征，它对人类的智慧与思维有着巨大的激励作用。可以说，解决一个具体的数学问题充其量是对这一个问题有所认识，而对一个“形而上”数学问题的不断沉思，带给人类的则是无穷的智慧和理论。如“数学基础是什么”这一永恒的课题曾激励过多少数学家的沉思，著名的逻辑主义学派、直觉主义学派和形式主义学派，以及后来的哥德尔、图灵等一大批数学基础研究者，无不受到“数学的基础是什么”这一形而上问题的诱惑，正是这一诱惑，使人类获得了一大批重要的理论和方法：元数学的理论和方法、直觉主义和构造主义数学、哥德尔不完备性定理、图灵判定定理等等。面对这些成就，谁不会怀疑数学基础这一形而上问题的价值呢？数学基础依旧是个未解决的问题，但它的价值或许正在于它还未解决，因为只有这样，它才会继续不断地激发人们去思考、去创造，从而获得更有价值的思想与理论。再如著名的哥德巴赫猜想，当然我们现在还不能说它是个不可解问题，但它几百年来未解决的事实却告诉我们，它是一个具有极其深刻、极其复杂之底蕴的问题。尽管一代又一代的数学家为此费尽心血而又未得以解决，但正是为了解开这个诱人的迷，从而促进了解析数论的发展，得到了大批重要的数论定理和许多重要的研究方法。如果我们假设哥德巴赫猜想在它刚刚提出后就被证实践证伪，那么能够设想我们现在就拥有这么一大批因为研究哥德巴赫猜想而获得的重要成果吗？所以我们觉得，一个问题不可解并不是一件坏事，关键在于这个问题对于人类是不是具有持久的诱惑力。最后，我们认为，如果一个问题真是因为自身的不可解而不是因为人类的无能而未得以解决，那么人类所能做的最好的就是把这个问题给予肯定或否定，即将它们当作一个公理。数学中常常正是这样做的，如黎曼猜想从未被证明过，但却经常被当作一条成立的命题，用来证明其它许多重要的定理。大家知道，数学体系之所以得以建立，一个重要的原因在于它选定了一批重要的公理。然而又有哪一个公理得到过逻辑的证明呢？平行公理证明过吗？没有。所以我们既可以肯定它——因而得到欧氏几何；又可以否定它——因而得到非欧氏几何。另外，选择公理证明过吗？没有，可是我们现在的数学大厦却离不开这条公理（注意：否定这条公理，我们又可以得到另一套数学）。对于不可证明的公理，既可以承认它又可以否定它，那么对某些不可解的形而上问题为什么要强调它的不可解性？为什么不能象对待公理一样去肯定它或否定它呢？
综合上述，我们看到，不可解的形而上数学问题有着重大的认识论意义，一方面可以在试图解决它的过程中派生出许许多多的重要理论和方法；另一方面可以通过肯定它或否定它而建立起崭新的数学体系。这正是永恒的形而上问题的伟大价值，数学内随机性深刻的认识论意义也在于此。
三、数学内随机性给我们的一个启示
通过对数学内随机性的揭示，尤其是对其认识论意义的研究，给了我们一个关于认识形而上问题的启示。
哲学界有一种否定形而上问题的思潮，认为形而上问题是不可解的、不可说的，是没有意义的。然而我们并不这样认为，这一点从前面关于数学中的形而上问题的论述中已经得到印证。当然，形而上问题不仅存在于数学领域，各门自然科学、哲学、宗教、艺术等领域也存在着这类恒提恒新的形而上问题。我们认为，这类问题的提出是由人类的本性所致，是很有价值的“好问题”，但同时又是不可解决的“恶问题”。不过说它是“恶问题”只是相对于人们想要解决但又无法解决而言，因为人们习惯于把一个问题无法得到解决看成是一件“坏事”。其实并非全然如此，一个问题在通常意义上不可解往往意味着在更深层次上具有一种永恒的特征，而不是什么“坏事”。任何一个永恒的形而上问题的提出都是有价值的，它可以激发人们去思考、去假设、去创造，可以开阔人的思维疆界和解放人的思想。因此，我们认为这样一种看法是不无道理的：对于形而上问题的思考并不在乎要去证明和解决什么，而在于训练思维和提高智慧。
这里我们想作个并非严格也不成熟的类比，既然全部数学问题被划分为可计算的、可判定的即可解的与不可计算的、不可判定的即不可解的两部分，那么是不是任何领域内的问题都可以划分成可解的和不可解的两部分呢？从我们的观点来看——认识主体的无限是可数的，认识客体的无限是不可数的——回答应该是肯定的。各个领域内的那些永恒的形而上问题就是些从通常意义上讲不可解的问题。然而不可解的问题对于人类并非是完全不可思考的，更不是完全没有意义的“恶问题”。它可以激励人们去思考、去创造，可以训练人们的思维和提高人们的智慧。另外，形而上问题还有它特殊的用处，由于这类问题的“真”与“假”、“好”与“坏”一般都是不可判定的，即不存在一个“绝对的标尺”来判定这类问题，那么肯定它与否定它都具有相应的合理性（就如肯定平行公理与否定平行公理都是合理的）。因此，对不可解的形而上问题的肯定与否定都将成为一种信念、一种公理，并成为考虑和解决其它问题的出发点或根据。也就是说，对于形而上问题的思考并不在于要证明或解决什么，我们能做的只是如何把每一个形而上问题看成是一个公理或信念，然后以此为基础来构建一个具有一定丰度的理论体系。能够建立起这么一个理论体系，是这一个或几个形而上问题的最好归宿。另外，从广义上讲，这个理论体系就是这一个或几个形而上问题的“解”。即从形式上说，形而上问题的“解”不同于一般具体问题的解，它不能归化为一个简单的答案：一个数字或一条陈述。而只能是一个具有一定丰度的理论体系。这也正是形而上问题深刻与复杂的表现。那种对形而上问题也要求有一个确定的终极的答案本身就是错误的，形而上问题本身的永恒性、无限性就决定了它不可能存在这种答案。总之，对于各类形而上问题我们不能只盯着它的不可解性，而要更多地看到它永恒与无限的特征，看到它带给人类的无限的智慧，只有这样我们才能自觉地走出形而上问题是没有意义的这一误区。或许这还将帮助我们走出可知论和不可知论的疆界。
* 收稿日期：1997年2月20日