儿童数字估计的表征模式与发展，本文主要内容关键词为：表征论文,模式论文,儿童论文,数字论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：B844.1 文献标识码：A 文章编号：1001-4918(2009)04-0021-29
1 引言
无论在成人的生活中，还是在儿童的世界里，估计无处不在。完成家庭作业需要多长时间？每月的生活费要花多少？从北京到广州的距离有多远？对于这种涉及数学知识的问题，能得到精确的答案固然是好，但精确的计算常因情况的紧急性及时间、方法和计算工具的限制而无法进行，甚至有时也没有必要。这时，我们会采用估计的策略。
已有研究表明，儿童的数字估计能力与其在标准成就测验上的得分及其它数学活动(如算术和大小比较)上的表现密切相关[1～4]，但5～10岁儿童在估计距离、金钱总数、离散物体数目、算术以及定位数字线中的数字时都非常不准确。基于估计的重要性及儿童这种较差的表现，在过去的近30年来，美国国家数学教师委员会(NCTM)[5～7]一直将提高估计能力放在优先发展的位置。
但估计任务的多样性给研究者们带来了诸多困难，因此，对估计任务进行有效分类显得尤为必要。有的估计任务会涉及到世界知识(即有关现实世界的事实的描述)，有的会涉及到有关测量单位的知识，有的则两种知识都要用到，如要估计从北京到广州的距离，既需要有相关的地理知识，又需要对“千米”这种测量单位有一定了解；而有的估计任务则只需要用到有关数的知识，而不会涉及到世界知识及有关测量单位的知识，这种估计任务被称为数字估计(Numerical Estimation)。其中数字线估计任务(Number Line Estimation Task)是一种比较典型的数字估计，其具体做法是：给儿童一本小册子，小册子的每一页上都呈现一条线段，其左端标记为0，代表起点，右端标记为100，代表终点，中间无任何数字标记，在线段中央上方随机呈现一个数字(如23)，这一数字是在0与100之间的整数，让儿童估计这一数字在该条线段中的位置，并用竖线标出。
2003年以来，Siegler等采用数字线估计任务来研究儿童对估计过程的认知，并取得了丰富的成果[2，8～10]。这种数字线任务的优越性首先在于它只涉及数的知识，排除了世界知识及测量单位知识对估计过程的影响，从而能够较为清晰的研究人们对估计的认知过程及对数字的表征模式；其次，教师在课堂的教学中经常用数字线来解释一些数概念，儿童对此较为熟悉，因此具有较高的生态效度；再次，这种任务可以较好地区分不同的数字表征模型，以实际呈现数字为自变量，以儿童对数字所估计位置代表的数值为因变量，进行不同数学模型的曲线拟合，再通过比较不同数学模型预测力的优劣便可确定儿童究竟在数字估计中采用了何种数字表征形式；而且有研究显示，儿童在数字估计任务中表现出了一致的发展模式，在一种数字估计中表现较好的儿童倾向于在其它类型的数字估计中也表现较好，相同年龄阶段的儿童在不同的数字估计任务中表现出平行地变化[11]。因此，数字线估计任务无疑是我们研究估计过程的较好选择。
数字估计的核心问题是数字表征，人们如何表征数字体系直接关系到数字估计的准确与否。前人对数字表征的理解主要有以下四种观点。
首先是Dehaene(1997)的对数尺模型(logarithmic ruler model)[12]，该理论认为当看到一个阿拉伯数字时，大脑会将其表征成一个与该数字相似的数量，而且这种相似的数量在精确性上会随着数字的增大而不断降低。大脑是以对数标尺的方式来表征数量的，这种表征会认为1和2、2和4、4和8之间的距离是相等的，这样n和n+1的不同将随n的增大而变小。按照这种表征方式，对于某一范围内的数字，人们倾向于扩大低端数字间的差距，而缩小高端数字间的差距。假如人们是用对数尺来表征数字的，那么对0～1000的数字范围，会认为1与75的心理距离比75与1000的心理距离还要大(如图1)。Dehaene等呈现了许多实验证据来支持这一理论，例如，当随机呈现一系列数字并要求成人画出他们心中认为该数字代表的线段长度时，成人画出的线段长度对数字的曲线拟合最符合对数模型[13]；Dehaene等的跨文化研究显示，对于有较少数字记载和几乎没受过教育的亚马逊河附近的名为Mundumcu的土著居民，他们对于符号的数字(用母语及第二语言来呈现)和用音调及点来表示的非符号数字的表征形式即使是成年人也是对数形式，而西方成人只对较大的非符号数字采用对数表征，而对较小的非符号数字和所有的符号数字均采用线性表征。这一结果表明，人类最初的表征形式是对数表征，线性表征是教育及文化的产物[14]。
第二是Gibbon和Church(1981)提出的存储器模型(Accumulator Model)[15]。该模型将人的大脑比喻为存储器，数字及其它数量都是以相等的空间距离被表征，表征数的过程像是数数的过程，也像是用杯子向存储器里倒水的过程，每数一个数便向杯子里倒一杯水，所数的最后一个数会存入记忆(存储器)中表征成主观量，当遇到目标数字时，这个量就会从记忆中被读出，这个读取的过程也是一个数数的过程。但记忆中关于每个数字的量的记忆是“杂乱无章”的，所以数字在被提取的时候会有变异性，数字越大，其变异性也越大，数字的变异性会随着数字的增大呈等级增长，这就是每个数字被表征过程中“等级可变性”(Scale Variability)的现象。这种“等级可变性”的假设在实验中也得到了量化证据的支持，即Whalen(1999)等在对成人数字估计研究中发现数字估计的协方差(估计值的标准差/被估计的数字)是恒定的[16]；Huntley-Fenner(2001)在一个数点估计任务中也发现5～7岁儿童的平均数及变异符合这一模型的预测[17]。
图1 对数尺模型图(图片来源：Siegler，Booth，2004)
第三是Case和Okamoto(1996)提出的线性尺表征模型(Linear Ruler Representation Model)[18]。该模型认为，人们的数表征形式是线性的，但这种线性表征只会在特定的年龄阶段以后才会出现。他们认为4～5岁儿童只会用一种数量中心的概念结构来表征数量(如这个大、那个小)，而6岁及年龄更大的儿童已经掌握了线性结构。Case认为在儿童掌握线性结构之前精确的数量估计是不可能的。如4岁儿童几乎不能精确估计两个个位数的数字哪个距离第三个更近(如4与5哪个距离9更近)，但6岁儿童一般都能做出精确地估计。
第四是Siegler(1996)提出的重叠波理论(Overlapping Waves Theory)[19]。纵观以上三种理论可以发现一个共同点，那就是他们都认为个体在某一特定的年龄阶段只会运用一种表征形式，我们可统一称其为“单一表征假说”。与单一表征假说不同，Siegler(1996)的重叠波理论是一种“多表征假说”，认为任何年龄阶段的儿童都知道并可运用多种相互竞争的表征(或策略、规则、方法)，哪种表征能得到运用取决于问题和情境，在人们没有获得一种有关表征的适当性的信息的情境下，个体的行为趋向于不发生变化，只有当新的表征产生的精确性与旧的方法有很大差异时，行为才会发生变化，且这种变化是突然的、整体性的[17]。
Siegler等的一系列研究为其理论提供了实验依据。他们采用数字线估计任务，当要求对0～100范围的数字进行估计时，大多数幼儿园学生的估计更好地拟合了对数函数，大多数二年级学生的估计更好地拟合了线性函数，且大约有一半一年级学生的估计更好地拟合了对数函数，而另一半则更好地似合了线性函数[2]。同样，当要求对0～1000范围的数字进行估计时，大多数二年级学生的估计更好地拟合了对数函数，大多数六年级学生的估计更好地拟合了线性函数，而四年级学生的估计则是一半更好地拟合了对数函数，另一半更好地拟合了线性函数[9]。从二年级儿童数字估计的结果来看，人们会在同一年龄阶段采用不同的表征形式，且人们的表征形式也不会一成不变，而是随着年龄的增长及数字经验的积累，不断由不精确的对数表征向精确的线性表征转变。
综上所述，尽管西方心理学界对儿童数字估计能力与数字表征的发展研究已取得了丰富成果，然而，国内这方面的研究还相当缺乏。Siegler和Mu于2008年进行了一项中美儿童数字估计的跨文化研究，结果表明，中国幼儿园儿童在数字线估计任务上的表现要优于美国同龄儿童，其表现与美国一二年级的儿童相当[10]。但Siegler和Mu只是对一个年龄段(幼儿园)的儿童的数字估计能力进行研究，没有对中国儿童数字估计的发展过程与特点进行系统的考察。特别应该指出的是，以往许多的研究都已证实，东亚儿童(尤其是中国儿童)的数学能力普遍高于西方国家的儿童[20～22]，基于以上研究现状，本研究拟考察三个问题：中国儿童数字估计能力是否也像数学其他方面的能力一样优于西方国家的儿童？中国儿童数字估计的发展模式是否与西方儿童相同？儿童在数表征的发展过程中究竟是采用单一表征形式还是多表征共存？本研究通过两个实验来回答以上三个问题：实验1探讨幼儿园与小学一、二年级儿童在0～100范围数字估计的准确性、表征模式及发展趋势，实验二探讨小学一、三、五年级儿童在0～1000范围数字估计的准确性、表征模式及发展趋势。由于两个实验的任务与Siegler等[2，8～10]的研究相同，因此，本文会在结果的最后部分与Siegler等的相关研究进行跨文化的比较，以期探讨中美两国儿童数字估计能力发展的差异。
2 实验1
2.1 实验目的
探讨幼儿园、一年级和二年级儿童在较小数字范围内(1～100)数字估计的表征模式与发展状况。
2.2 方法
2.2.1 被试
在华南师范大学附属幼儿园随机选出大班儿童30名(M=5.4岁，SD=0.38)，男女各半，所有被试除了在幼儿园按照大纲规定接受数学教育之外，没有另外参加园外的各种数学兴趣班；在广州天河区昌乐小学随机选出一年级儿童30名(M=7.1岁，SD=0.42)，16男，14女；二年级儿童32名(M=8.2岁，SD=0.58)，男女各半。
2.2.2 材料
实验材料为一个由27页纸装订在一起的小册子组成，小册子的第一页是登记被试基本资料的一个表格，包括性别、年龄及班级，其余26页为正式的实验材料，在每一页的中间印有一条长15厘米的线段，在线段的两端分别标有0和100，中间无任何标记，在线段中间上方2厘米处印有一个圆圈，圆圈里印有一个让被试估计的数字，如24。除圆圈里的数字不同外，每一页在其它方面均相同。整个材料与Siegler和Booth[2]的研究相同，只是在估计线的长度上，考虑到中国儿童的日常经验与习惯(所接触的书本、纸张的大小等)，因此将数字线的长度定为15厘米，而非Siegler和Booth[2]的研究中的23厘米。
为了更好地区分对数表征与线性表征，在0到30之间选取了较多的数字，平均每10个数选取4个数字，30到100的每10个数选取了2个数字。这样，我们选取的26个数字分别为：3、4、6、8、12、14、17、18、21、24、25、29、33、39、42、48、52、57、61、64、72、79、81、84、90和96。每一小册子上的数字均为随机呈现。
2.2.3 实验程序
每名主试一次负责测试4～5名被试，每名被试一本小册子，在被试填写完基本信息之后，主试人员告诉被试，我们今天做一个有关数字线估计的测试，但这不计入你的学习成绩，在小册子的第二页到最后一页为测试题，在每一页的中间有一条数字线，在数字线的左边标有0，右边标有100，如果线段的左边代表0，右边代表100，那么你认为线段上方圆圈里的数字应该在数字线的哪个位置，请你想好之后用笔在线段上画一条竖线来表示出这一数字的位置。实验过程中不允许用直尺量，也无任何反馈。
2.3 结果
2.3.1 估计的准确性
为了对儿童估计的准确性有一个整体了解，我们计算了每一个儿童的“绝对误差百分比”，计算公式为：
绝对误差百分比=|估计值-实际值|÷被估计的数值范围
若要求儿童估计24在0～100数字线上的位置，而他标出的位置实际上是32所在的位置，那么该儿童的绝对误差百分比便是｜24-32｜÷100，结果是8％。
由于本研究中的两个实验与Siegler和Opfer(2003)[8]及Siegler和Booth(2004)[2]有关数字线估计任务的研究在实验任务、实验程序上完全一致，所选数字及同年级的被试年龄也基本一致，因此本研究在实验结果上与Siegler的实验结果具有可比性。Siegler和Booth(2004)[2]的研究显示，美国幼儿园、一年级及二年级儿童在相同的数字估计任务中的绝对误差百分比分别为27％、18％和15％，相比中国同龄儿童的25％、12％和13％，其绝对误差比中国儿童略高，准确性相对较低。
2.3.2 估计的模式
在SPSS 13.0中，以实际呈现的数值为自变量，以儿童估计值的中位数为因变量(选中位数而不是平均数作为因变量是为了排除极值的影响)，对各个年级儿童的数字线估计情况进行了线性函数与对数函数的曲线拟合(因为在对数函数y=ln(x)中，x不能为零，为避免对数拟合中出现零值，在所有实际值与估计值原有基础上加1，然后再进行曲线拟合)，结果显示(如图2)：幼儿园儿童的数字估计
图2 不同年级在0～100范围数字估计的曲线拟合图
为检验这种总体的拟合结果与个体估计拟合的结果是否一致，以实际呈现的数值为自变量，以每一个儿童的估计值为因变量，分别对每一个儿童的数字线估计进行了对数函数与线性函数的曲线拟合，结果显示：两模型相比，幼儿园有97％的儿童更好地拟合了对数模型，但一年级与二年级分别只有10％与21％的儿童更好地拟合了对数模型；相比之下，更好地拟合线性模型的儿童中，幼儿园儿童只有3％，一二年级则分别有90％与79％。以上结果显示，随着年级的升高，采用对数表征的儿童越来越少，而采用线性模型的儿童越来越多。这种结果与不同年级的总体拟合结果是一致的。
综合以上结果，同样是对0～100的数字估计，幼儿园儿童绝大部分采用对数表征，而一二年级儿童绝大部分采用线性表征，由此可见，人们对于数的表征是一个发展变化的过程，由不精确的对数表征逐渐发展至精确的线性表征，而不是像Dehaene等所认为的那样人的一生就只有对数表征这一种表征形式，也并非像Gibbon和Case认为的那样人的一生一直采用线性表征。因此，就人类总体来说，对于数的表征是存在多种形式的，这一结果与Siegler的多表征假说是一致的，但对于具体的某一个人，是不是在同一阶段也会如Siegler所说的那样会因任务难度及情境的不同而采用不同的表征形式呢？这一问题将在实验二中详细探讨。
以上结果表明，中国儿童在一年级便可以对0～100范围的数字进行较为准确的估计了，而美国则是二年级的儿童才能达到同样的水平。中国儿童在0～100范围上精确的数字估计能力的出现要早于美国儿童。
3 实验2
3.1 实验目的
探讨一年级、三年级和五年级儿童在较大范围内(0～1000)数字估计的表征模式与发展状况。
3.2 方法
3.2.1 被试
在广州市天河区昌乐小学随机选取一年级儿童30名(M=7.1岁，SD=0.42；16男，14女)，三年级儿童26名(M=9.1岁，SD=0.58；男女各半)，五年级儿童30名(M=11.3岁，SD=0.61；16男，14女)。
3.2.2 材料
实验材料为一个由27页纸装订在一起的小册子组成，小册子的第一页是登记被试基本资料的一个表格，包括姓名，性别，年龄及班级，其余26页为正式的实验材料，在每一页的中间印有一条长15厘米的线段，在线段的两端分别标有0和1000，线段中间无任何标记，在线段中间上方2厘米处印有一个圆圈，圆圈里印有一个让被试估计的数字，如79。除圆圈里的数字不同外，每一页在其它方面均相同。
为了更好地区分对数表征与线性表征，我们选取了较多的低端数字，0到200之间选取了11个数字，200到1000之间选取了15个数字。这样，我们选取的26个数字分别为：3、9、17、33、79、100、122、147、150、164、179、246、283、305、366、423、486、548、606、683、722、754、818、894、938和975。每一小册子上的数字均为随机呈现。
3.2.3 实验程序
本实验程序与实验一相同。
3.3 结果
3.3.1 绝对误差百分比
绝对误差百分比的计算方法同实验一，在最终的数据统计中删除一名缺失数据太多的五年级被试。结果显示，一、三、五年级的绝对误差百分比分别为17％、11％和11.9％。对以上三个年级的绝对误差百分比的方差分析结果显示，不同年级的绝对误
以上结果表明，随着年级的增高，儿童数字估计的准确性有增加的趋势，但到了三年级已经相对稳定，因此，三年级与五年级都保持在一个相对较高的准确性水平上。
结合实验一我们可以看出，对于一年级儿童，其在0～1000上的绝对误差百分比(17％)显著高于在0～100上的绝对误差百分比(12％)，
=-3.95，p＜0.001。数字范围的扩大带来了准确性的下降，那么对于这种扩大的数字范围，一年级儿童的表征模式是否也会有所变化呢，下面将详细讨论这一问题。
3.3.2 估计的模式
同实验一一样，以实际呈现的数值为自变量，以儿童估计值的中位数作为因变量，选取线性函数与对数函数两个拟合模式，对各年级儿童在0～1000的数字估计进行曲线拟合，结果显示(如图3)：对于一年级的儿童，虽然其估计模式更好地拟合了
图3 不同年级在0～1000数字估计的曲线拟合图
为检验这种总体拟合的结果与个体拟合的结果是否一致，以实际呈现的数值为自变量，以每一个儿童的估计值为因变量，分别对每一个儿童的数字线估计进行了对数函数与线性函数的曲线拟合，结果显示：两模型相比，一年级有一半儿童更好地拟合了线性模型，而另一半儿童更好地拟合了对数模型；三年级与五年级更好地拟合了线性模型的儿童分别占85％和80％，而更好地拟合对数模型的分别占15％与20％。这些结果与总体的拟合情况还是比较一致的。
以上结果表明，对于一年级的儿童来说，采用线性表征与对数表征的儿童各占一半，反映了一年级儿童的数字估计能力还处在不断发展之中，由于个体儿童发展程度的不同，不同儿童发展到精确的线性表征的具体时期有早有晚，这种结果符合一般的发展规律，也与Siegler等对美国儿童的同类研究结果相似，但美国儿童表现出相似结果的年龄出现在小学二年级。对于中国三年级的儿童，线性表征已经占据明显优势且已经相对稳定，即使是到五年级其估计的精确性与表征模式也无太大变化。可以说，中国儿童在三年级就已经能够对0～1000数字进行较为精确的估计了。相比之下，Siegler和Opfer(2003)[8]的研究表明，美国六年级儿童才能对
年级符合对数表征的人数则分别占91％、44％与28％，而符合线性表征的人数分别占9％、38％与72％。因此，可以说，中国儿童数字估计能力的发展要早于美国儿童。
值得注意的是，在0～100范围采用线性表征的一年级儿童中，有41％的被试在0～1000范围却转而采用了对数表征(两实验用了相同的一年级被试)，这一结果回答了我们在实验一中提出的问题，那就是即使在同一年龄阶段，儿童的表征形式也不是一成不变的，人们对数字的表征是同时存在多种形式的，既有精确的线性表征，也有不精确的对数表征，儿童会根据任务难度的变化来选择不同的表征形式，当然，我们认为儿童的这种选择是无意识的，换句话说，他们也认为自己选择了恰当的表征，做出了精确的估计，但事实是，当儿童面对较为容易的任务时(如0～100数字线估计任务)，他们倾向于采用精确的线性表征，而当面对较难的任务时(如0～1000数字线估计任务)，他们倾向于采用不精确的对数表征，这种结果与Siegler的多表征假说——重叠波理论是一致的。
4 讨论
本研究采用数字线估计任务，探讨了幼儿园和小学儿童数字估计能力的发展与表征模式的变化，并与Siegler的相关研究进行了比较，得出了一些重要结果。
4.1 关于中国儿童数字估计能力的发展
实验一结果表明，幼儿园儿童还处在对数表征为主的阶段，一年级是一个飞跃期，绝大部分一年级儿童已经能够对0～100范围的数字估计进行线性表征了，其精确性与二年级在相同任务上的估计几乎没有差异。但是，在实验二中，将任务提高到0～1000的数字范围时，一年级儿童就处于线性表征与对数表征交叠的阶段，在这种任务难度下，只有发展到三年级，儿童才能够做出相当精确的估计，表现为相对稳定的线性表征，并且其精确性与五年级儿童几乎没有差异。与Siegler等对美国儿童的研究结果相比，在0～100范围上能精确估计的年龄，美国儿童出现在二年级，而中国儿童出现在一年级；在0～1000范围上能精确估计的年龄，美国儿童出现在六年级，而中国儿童出现在三年级。因此，可以说中国儿童精确数字估计能力的发展要早于美国儿童。
本研究关于中国儿童数字估计能力发展早于美国儿童的结果，与前人相关研究结果是一致的。20世纪八九十年代，Stevenson对日本、中国台湾和美国的小学儿童数学能力发展的三次跨文化比较研究均证实了美国和亚洲儿童在数学成绩上确实存在着比较普遍的差异，并且这种差异随着年级的增加表现出有增无减的趋向[20，21]。Geary等人的研究发现，不仅在小学阶段亚洲儿童的数学成绩上好于美国儿童[22]，而且这种差异在学龄前已经存在，中国幼儿园大班儿童和美国学前班儿童在书面加法、数字记忆广度和加法策略运用上均存在差异[23]。这些研究结果都表明了，中国儿童数的发展优于美国儿童。
值得注意的是，Siegler和Mu于2008年进行了中美幼儿园儿童数字估计的跨文化研究[10]，与本研究的结果进行比较，两项研究结果所得出的最主要结论是一致的，即中国儿童在数字线估计任务上的表现要优于美国同龄儿童；但是，在中国儿童数字线估计何时从对数表征转为线性表征方面，两项研究所得结果有所不同。Siegler和Mu(2008)[10]的研究结果表明：中国幼儿园儿童已经倾向于线性表征，而本研究结果则表明，中国幼儿园儿童还是倾向于对数表征，只有到了一年级，才开始表现为线性表征；这与Siegler和Mu(2008)[10]的研究结果有所不同。由于这两项研究在实验任务、实验程序、被试年龄及所选的被估计数字上均基本相同，因此，导致这个不同结果的原因可以从两方面考虑：第一方面，源于两个研究所用的数字线的长度不同，本研究中采用了15厘米长的数字线，而Siegler和Mu(2008)[10]的研究中采用的为23厘米长的数字线。本研究之所以选择15厘米的数字线，主要是认为，鉴于中国儿童的日常经验与学习习惯，对15厘米的数字线进行估计会更为合适一些；而在他们不习惯的20多厘米的数字线上进行估计，结果的准确度可能会有一定程度的失真。第二方面，从被试的选择来看，本研究注意到中国城市幼儿园儿童有一部分人会参加社会举办的各种数学提高班从而增加了数学经验的情况，为了保证得到中国幼儿在自然常规发展状态下的数字估计的数据，本研究在幼儿园大班被试的选择方面，排除了参加过各种数学兴趣班的儿童；而Siegler和Mu(2008)[10]的研究在被试选择方面，没有提及这种处理，这也可能是造成两个研究结果差异的原因。诚然，对于中国儿童数字估计在哪个年龄段由对数表征为主转为线性表征为主的问题，有必要作为专门的问题在下一步研究中继续进行探讨。
总的来看，本研究考察了中国儿童数字估计的发展趋势，在数字估计的发展中不仅关注了整体的表征形式，同时关注了个体的表征形式，不仅从横向上考察了个体的表征差异，也从纵向上考察了整体的表征变化，研究结果有助于推进对中国儿童数字估计的发展趋势与表征变化的研究。
4.2 关于儿童数字估计的发展模式的解释
本研究结果以及Siegler[2，8]等人的有关研究结果都表明，即便在同一年龄阶段，个体面对不同难度的任务，也会采用不同的表征形式，如在本研究中，一年级儿童对0～100范围的数字估计采用线性表征，但有41％的儿童在面对0～1000范围的数字估计任务时则转向了对数表征。据此，我们可以认为，单一表征假说认为个体发展的特定阶段只拥有一种表征形式(要么对数表征，要么线性表征)是不对的，Siegler的多表征假说(重叠波理论)能更好地解释现实的结果。
Siegler(1996)[19]提出重叠波理论来解释儿童在数字估计中的表征模式及发展变化的原因，该理论认为任何年龄阶段的儿童都知道并可运用多种相互竞争的表征，哪种表征能得到运用取决于问题和情境，随着不同的表征运用到不同的情境中去，有关何种表征适合何种情境的信息会在经验中不断累积，可选择性也会越来越大。在没有获得一种表征的适当性的信息的情况下，个体会重复以前的行为，这是许多年龄较大儿童仍不能精确估计的重要原因，因为他们还没有获得有关精确表征的新信息。那么何种经验才会促进人们由不精确的表征转向精确的表征呢？Siegler认为反馈是一种有效的形式。人们一旦获得有了这种有关精确表征的经验，就会放弃旧的表征形式，而选择新的表征形式，且这种变化是突然的、整体性的[8]。强调在不同表征之间的选择是重叠波理论的最大特点。
然而，尽管本研究以及以往同类研究的结果都能用Siegle的多表征假说(重叠波理论)进行解释，但是，认真思考重叠波理论的观点，它用经验累积、情境的新颖性、反馈与获得表征适当性的信息来解释为什么同一年龄阶段儿童在不同问题情境中会采用不同的估计模式，尤其是用来解释儿童随着年龄的增长逐步由对数表征发展到线性表征，似乎不合理的，理由有两方面：
第一，在现实的社会生活中，儿童发展过程中很少会获得不同情境中数学估计的经验，也无法经过反馈而获得与新的表征更为适合的信息，那么，他们是如何从不精确的对数表征过渡到精确的线性表征的呢？
第二，按照重叠波理论，将数字估计中出现的对数模式作为儿童一种策略或者是运算模式也是值得质疑的，因为，无论从人类认识史还是个体认知发展过程来看，对数概念的出现都要晚于线性概念，那么，为什么儿童在数字估计的发展过程中反而是对数表征先出现呢？据此，我们设想，即使儿童在数字估计过程中首先出现对数表征，也可能是由于其他原因导致的一个现象，而不是他们进行数字估计的一种策略或一种运算模式。
深入分析本研究的任务不难发现，数字线估计任务其实是一种由数到形的转换，这就涉及到数字表征的实质问题，儿童究竟是如何在大脑中表征抽象的数字体系的？这种数的表征是否要借助于形(比如长短，大小)才能实现？如果是的话，数形结合有怎样的特点与规律？我们将进行后续的实验，以深入探讨在数形转换中影响数字估计的关键因素。
虽然本研究得出了有关中国儿童数字估计的一些重要结果，但也存在一些不足之处，如在研究范式上借鉴了Siegler等以往研究中用到的范式，这种范式对中国儿童来说相对新奇；另外，本研究只是揭开了我们对中国儿童数字估计及数字表征研究的开端，在研究问题上有待进一步深入与细化。
5 结论
中国儿童的数字估计表现出与美国儿童相同的发展模式，都是由不精确的对数表征向精确的线性表征发展；儿童在发展过程中对数字的表征有多种形式，即使在同一年龄阶段，也会因任务难度的不同而选择不同的表征模式；一年级是中国儿童数字估计能力发展的飞跃期，三年级儿童的线性表征已经比较稳定。中国儿童精确数字估计能力的出现要早于美国儿童，具体来说，对0～100数字做出精确估计的年龄阶段，中国儿童出现在一年级，而美国儿童出现在二年级；对0～1000数字做出精确估计的年龄阶段，中国儿童出现在三年级，而美国儿童出现在六年级。
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