基于新课标的学生数学价值感悟研究，本文主要内容关键词为：标的论文,新课论文,价值论文,数学论文,学生论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题提出 受赫尔巴特（Herbart）传统教育“教材中心”、“课堂中心”、“教师中心”思想的束缚[1]，重“教”轻“学”、重“练”轻“悟”的现象依然是数学课堂教学的主要模式，在教学过程中，有些教师依然填鸭式地讲授，学生被动式地接受[2]，学生的主体地位成为空谈，对一些数学知识（概念、公式、定理、性质等）呆读死记，知其然而不知其所以然，很难领悟数学的本质，更谈不上体会数学价值所在.基于此提出以下研究问题：在新课标下，从数学科学价值、数学应用价值、数学文化价值3个层面培养学生感悟数学价值. 二、感悟的界定 《说文》中指出：“感，动人心也.”其意为思想、意识受外界事物刺激而引起心理上的变化.“悟，觉也.”是由迷惑到明白，由糊涂到清晰的认知过程.柏拉图（Plato）的“认识即回忆”理论虽然具有一定的唯心主义色彩，但提出学习过程中回忆的重要性. 在教学中，所谓感悟可理解为反思.所谓数学感悟是指学生在数学学习过程中，主要借助教师的引导作用，对数学知识（概念、公式、定理、性质等）进行反思式回忆，透过其表层现象得到其本质特征（数学思想）以及体会数学价值，实现由“惑”到“明”的认知过程. 三、数学价值感悟 《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要.使其具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观.”[3] 1.感悟数学科学价值 科学的特征是如果条件相同，操作方法规范，无论什么人采用什么方法，最终所得结论应该是一样的[4].正如恩格斯所说：“数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学.”可以通过感悟数学的概念、感悟数学的证明两个方面感悟数学的科学价值. （1）感悟数学概念 数学概念是事物在数量关系和空间形式方面的本质属性，是人们通过时间，从数学所研究的对象的许多属性中，抽出其本质属性概括而成的[5].数学中的基本概念，是人们通过对事物的感性认识，在数量关系和空间形式方面抽象出来的理性结果[6]，是源于现实而超越现实的产物，具有一定的科学性.数学概念的形成，标志着人们对于数学的认识已经由感性认识上升到理性认识.数学概念是数学的核心基础，感悟数学概念可分为4个阶段：认识阶段、分析阶段、构建阶段、应用阶段.（如下图所示）
认识阶段是通过对特殊案例的一般化，实现数学概念的抽象形成过程，从整体上感悟数学概念的属性特征.感悟数学概念的属性是所有实例共同具备的普遍特点，是判定某个量是否属于此概念的标准[6]. 分析阶段是在认识阶段基础之上，深层次地对概念进一步加以分析，从整体感观到部分探究，对概念中的关键词进行感悟，达到可以避开概念中一些抽象的符号、词语，用自己形象、直观的语言加以正确叙述，摆脱概念的抽象性，实现形象比喻，提高学生自我分析、自我感悟的能力. 美国心理学家奥苏泊尔提出一种概念同化的学习形式，即新信息与原有认知结构中的有关概念相互发生作用，实现新旧知识的意义的同化，从而使原有的认知结构发生某些变化[5].数学概念的同化过程是通过类比思想，建立新的概念与学生原有相关概念的联系，构建系统的知识网络，从而完善认知结构. 应用阶段是学生在理解概念的基础上，运用它解决同类问题的阶段.概念的运用有知觉水平上的运用和思维水平上的运用两个层次[5]，知觉水平应用容易达到，学生对概念理解之后，遇到此概念的特殊情况，容易将其归入相应概念之内；思维水平应用是学生数学理性思维的应用，主要体现为逻辑思维、抽象思维、空间思维等，需要学生在感悟数学思想方法中不断提升.
（2）感悟数学证明 数学教育的功能之一为思维功能，人们通常认为思维形式有3种：形象思维、逻辑思维及辩证思维，数学思维集中表现为逻辑推理证明，数学中逻辑推理主要由合情推理和演绎推理构成. 感悟合情推理 人认识客观事物总是从特殊到一般，合情推理符合人的认知规律，这是感悟合情推理的基础.《普通高中数学课程标准（实验）》选修1-2，2-2推理与证明中要求：“了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发展中的作用.”[3] 从归纳推理和类比推理两个方面感悟合情推理.值得注意的是，合情推理所得结果只能作为一种猜想，其真实性还需严密论证.
其一：归纳推理. 完全归纳法需要考察某类问题的全体对象，其推理模式是：
完全归纳法具有整体性，需要验证研究对象的每一个个体，重点感悟推理过程用有限表示无限的思维，可借助多米诺骨牌来理解完全归纳法，通过现实案例理解数学的定理，是感悟的一种方法，从而使抽象的定理形象化. 其二：类比推理. 类比推理是根据两个或两类事物具有相同或相似的属性，利用已知领域某些对象的相似特征的一致性构建其他的一致性[7]，例如式与数的类比、立体与平面的类比、多维与一维的类比、无限与有限的类比. 案例2 勾股定理的“空间形式” 三棱锥P-ABC侧棱两两垂直，侧面面积分别为
，底面面积为S，猜想S与
的关系.
（1）由空间中面面垂直联想平面中的线线垂直，通过类比直角三角形，从原来的空间几何（三维）转化为平面几何（二维），实现维度的降低. （2）通过直角三角形勾股定理，从边长的关系出发，得到三棱锥（侧棱两两垂直）侧面面积与底面面积的关系，形成猜想. 通过类比，实现从二维平面到三维立体的转化，波利亚也是通过类比获得的勾股定理（毕达哥拉斯定理）的一个美妙证明.正如波利亚所说：“类比是一个伟大的引路人.” 感悟演绎推理 关于演绎推理，亚里士多德提出了著名的三段论学说，即一个包括大前提、小前提和结论3部分的论证形式，其模式为
（在某个问题领域中任意x具有性质P，y是此领域中一个特殊个体，则y亦具有性质P）[7]. 演绎推理是收敛性的证明方式，大前提为一般性的原理，小前提包含于大前提之内，作为大前提的一种特殊情况，结论是在小前提下产生的，只要大前提正确，推理的形式无误，得到的结论便是真实的，因此，大前提是基础，小前提是桥梁，数学中的证明常常用到演绎推理. 2.感悟数学应用价值 应用体现数学创造性，弗赖登塔尔反复强调：“学习数学唯一正确的方法是实行再创造.”数学的应用价值越来越受到关注，《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“高中数学课程应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，开展‘数学建模’的学习活动，设立体现数学某些重要应用的专题课程.高中数学课程应力求学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力.”[3] （1）感悟知识的来龙去脉 介绍数学知识的实际背景，经历数学知识的来龙去脉，有助于学生理解数学知识的源流及其发展过程，从而更好地培养学生从数学的角度分析现实问题、解决现实问题的能力，感悟数学的应用价值. 案例3 无理数e的源流 “在科学技术中常使用以无理数e=2.71828…为底的对数，以e为底的对数成为自然对数”[8]无理数e轻描淡写地出现了.大家知道
，以e为底的指数函数是唯一一个求导为自身的函数，如此神奇的e教材中并没有介绍其出身，未免使人意犹未尽，因此在教学中说明e的背景，既可引起学生兴趣，又能帮助学生更好地理解无理数e. 自纳皮尔（J.Napier）发明对数，恩格斯就将其与解析几何、微积分并称为17世纪数学的三大成就.1618年出版的纳皮尔对数表中并未记录常数e；1683年，雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）第一次将e视为常数；1690年，莱布尼兹（Leibniz）给惠更斯（Huygens）的信中，第一次使用e，但当时以b表示；1727年，欧拉（Euler）发现
，第一次用e表示直到现在，因此也称其为欧拉数. （2）感悟生活中的数学 现实世界的事物千变万化，存在形式千差万别，数学因素充满生活，例如人口问题、生态平衡问题、市场预测问题、环境污染治理问题、彩票中奖问题等，这些问题需要探索事物之间的相互关系，通过理性分析，运用数学规律给出正确解答.随着富有魅力和挑战性问题的解决，学生感受到成功的喜悦，降低数学和现实生活之间不可逾越的鸿沟，从而感悟“数学有用，要用数学”的应用意识. 3.感悟数学文化价值 《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观.为此，高中数学课程提倡体现数学的文化价值.”[3]而数学史作为数学文化的一种载体，体现了数学的文化价值.正如法国数学家亨利·庞加莱（Henri Poincaré）曾说：“如果我们想要预测数学的未来，那么适当的途径是研究这门学科的历史和现状.” （1）数学文化的历史性 人们从事数学研究活动符合数学研究的共同规范或准则，这在一定意义上构成了数学传统，这种数学传统反映数学的历史文化背景[9].数学史上感人肺腑、惊心动魄、引人入胜的案例不胜枚举，但需恰当选才，以教为本，寓教于乐，实现知识与趣味的统一结合，不仅可使学生获得真知灼见，还能激发其对数学的兴趣. （2）数学文化的继承性 数学的每一次发展都具有继承性，都是以先前知识体系为基础，以三次数学危机为例，第一次，不可公度量的发现推翻了毕达哥拉斯学派的“万物皆数”理念，无理数的出现为数域的扩张奠定基础，继而形成完善的数系，自然数—整数—实数—复数—超复数[10]；第二次，无穷小的出现产生了极限理论，进而促进微积分的建立；第三次，罗素悖论的出现动摇了整个数学大厦的基础，通过对康托（Cantor）原集合论的改造，形成现在的公理化集合论.每一次危机都是数学的进化和完善的过程. （3）数学文化的激励性 数学文化发展过程中充满挫折、艰辛，很少有风平浪静的时候，像“费马大定理”历经三百多年，怀尔斯（Wiles）在数十位数学家不懈努力的基础上才最终得证，被称为“20世纪最辉煌的数学成果”；解析几何的创始人笛卡儿（Descartes）受到教会的残酷迫害；柯西（Cauchy）在论证函数项级数收敛性时曾犯过错误；哈密顿（Hamilton）也曾为“四色问题”冥思苦想13年而不得其果.由此可见，多少数学家经历了艰苦漫长的道路，才取得了最后的成功.学生认识到这一点，将有利于他们获得顽强学习的勇气，克服种种困难，在学习中遇到的挫折就不会感到颓丧[11]. 四、数学价值感悟的设想 数学教学不仅要重视基础知识的传授，更应该实现在新课标的指导下，培养学生感悟数学的价值，为此提出如下建议： （1）从数学概念和数学证明两个方面感悟数学的科学价值，体会数学的科学性.在教学中注重数学概念的4个阶段，即认识阶段、分析阶段、构建阶段、应用阶段，充分理解概念的本质属性；注重学生逻辑推理能力的培养，形成理性数学思维. （2）从数学知识的来龙去脉和生活与数学的联系两个方面感悟数学的应用价值，体会数学的应用性.在教学中培养学生的数学应用意识，渗透建模思想，形成“发现—探究—建模”的教学方式，发展学生的创新能力和实践能力，实现学以致用的升华. （3）从数学文化的历史性、继承性、激励性感悟数学文化价值，体会数学的文化性.以数学史作为数学文化的一种载体，在教学中合理选择，适当应用，激发学生兴趣，激励学生永不言败的精神.
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