冯·诺伊曼对线性规划的贡献
敖特根1瑛瑛2
（1.呼伦贝尔学院科研处 内蒙古 海拉尔 021008 2.呼伦贝尔学院数学与统计学院 内蒙古 海拉尔 021008）
摘 要：本文首先研究冯.诺伊曼对博弈论、经济均衡理论和线性不等式的重要工作，进一步分析冯.诺伊曼对线性规划的贡献。研究线性规划的不同起源对认识线性规划与相关学科的关系有重要意义。
关键词：冯·诺伊曼；线性规划；博弈论；线性不等式；经济均衡理论
引言
线性规划是数学规划的一个重要分支。线性规划这一名称是1947年在与军事行动相关的实践中产生的[1]。早在1823年Fourier和1911年Poisson就曾提出过一些与线性规划有关的问题，但都是一些孤立的情况，未引起重视，他们的工作很快被人们遗忘了。1939年，苏联科学家Kantorovich发表了重要著作“生产组织与计划中的数学方法”[2]，其中对线性规划的思想做了最早的阐述，提出了一种求极值问题，即对生产的组织、分配、上料等一系列问题，求极值的问题。这是一类不能用数学分析的方法解决的新问题。他还提出了解乘数法的新方法。可惜这个工作并没有引起当时数学家们的重视。李昂铁夫在投入产出问题中应用了规划思想。
线性规划在美国得到了迅速发展。1941年，Hitchock提出了运输问题[3], 1945年，Stigler提出了营养问题[4], 1947年，Koopmans提出了经济问题[5], Dantzig创建单纯形法[6]标志着线性规划的诞生。本文主要研究冯.诺伊曼对线性规划所做的贡献。
1.冯·诺伊曼对博弈论的贡献
冯·诺伊曼（John von Neumann, 1903-1957），美国数学家。1928年“论策略博弈理论”的一文。该文讨论社会博弈论的数学化和博弈的“最大最小=最小最大”定理两个问题。该定理讨论二人零和游戏问题。即两名玩家互相博弈的收益和为零的问题。
博弈问题是人们日常生活中熟悉而又模棱两可的事情。冯.诺伊曼先考虑当多个玩家参与同一个博弈时的情况。这种情况下，会发生什么呢？由于所有玩家被相同的个人利益所引导，他们的利益被取决于其余的玩家的决策，。因此，他所面临的首要问题是对“社会博弈”给出精确的解释和定义。冯.诺伊开始收集游戏中的共同特征，并给出游戏概念的定性描述。
一系列的事件组成一个游戏，这些事件都可以有有限多个结果。在游戏中，一些事件的结果只被取决于其可能性。这相当于事件的每个可能结果出现的概率是已知的，但游戏中没有一个玩家对这些概率的结果产生任何影响。所有事件的结果受个别玩家的自由选择。对每个事件，由哪个玩家决定其结果并且关于早前事件该玩家拥有哪类信息是已知的。最后，有一个规则能够计算游戏后每个玩家的收获和损失，也就是，游戏终止后，所有事件结果是可知的。
在冯·诺伊曼的模型中，数量
是给定的，而
是未知的，于是有
个未知量，但对
来说只有其比率
是重要的。因而所求的未知量为
个。在（2.2）和（2.4）中有个条件，这些是一些复杂的不等式。因而通常的方程计数法就不能适用了。
第一，假设取决于可能事件的数量为Z，并把这些事件记为
；又设取决于玩家自由意志的事件数量为
, 并把这些事件记为
.
张满春几乎是空手套白狼就把沈老七的那方养人的河沙田盘到了手。从那时起，他一方面要尽心尽职地为和祥轩打理生意，另外他还要抽出一些精力料理那方田产。他靠了在商号里的方便，居然把那方河沙田统统改成了桑园。那些年茧花也好，价格也还适中，张满春年年都有大的进项。
第二，可能性
的每一独立事件的可能结果的数量记为
自由意志
的每一独立事件的可能结果的数量记为
冯·诺伊曼把一个事件的结果按其数量记为
或
则
必定是
相应的选择并且
是游戏的结果。所以，要想找到两人游戏的一个解决方案，必须找到这样的一对策略
和
存在，然而这样一对策略的存在性是不一定的。
假设系统有解，并其解设为
，则这个解一定满足鞍点条件
第四，指定
变量的
个实值函数
其中，前
个变量可取值为
面对这种情况，
的最好选择是
使得
这些函数决定了玩家的收获且和一定为零。即
冯·诺伊曼通过这种方式定义了策略游戏。下一步，他为了不失一般性的情况下，引进策略概念来简化了游戏概念。策略是游戏的所有未来可能决定的组合，一个玩家获得的可能事件和其他所有玩家的决定的信息都是策略概念固有的内涵。这样第
玩家的策略，即是他将采取什么样的行动计划。这样每个玩家选择自己策略时，不知道别人选择的策略，不过清楚地知道可能事件的所有结果。
我们注意到第玩家只有有限个数
的策略
可选择，与此同时自由选择的数量减少到玩家的数量。由此可知玩家
选择的数量
是完全由他的自由意志决定，不受任何其他玩家的意志支配。
冯.诺伊曼认为能够完全消除可能事件是引进策略概念的另一个优点。由于一个玩家知道可能事件的结果之前必须选择策略，所以这些事件不再被看成是独立事件，故能把可能事件的数量减少到一。把所有个可能事件组合成一个单一的可能事件H是有可能的。H的结果将会是一个数组
其相应的概率为
.这些数的可能组合共有
个。冯·诺伊曼把每一组数与一个数
联系在一起，并且令
为相应的概率。
通过以上的工作，冯·诺伊曼归结为：如果玩家们
已选择了策略
其中
且若可能事件H的结果是数
则玩家们的结果分别为
现在，若只有选择
是已知的，而可能事件的结果是未知的，则
的期望值为
gm（u1,Λ,un）=∑βvfm(v,u1,Λ,un),(m=1,2, Λ,n),(f1+Λ+fn≡0暗含g1+Λ+gn≡0)
冯.诺伊曼通过利用期望值代替个别玩家的精确结果
，把H完全地消除了。
冯·诺伊曼接着分析了最简单的情况，只有两名玩家和
的策略游戏。玩家选择了一个数量
，玩家选择了一个数量
，而两名玩家相互即不知道对方选择了什么策略，又不了解对方获得数量
。现在的问题是“将会发生什么？”分析如下：若玩家选择数量
则是他的策略，那么玩家的结果将被取决于玩家的选择
然而不管玩家怎样选择
下面的不等式一定成立：
若假设（违背游戏规则）已知将根据模型中的假设，选择
使得
于消毒供应室中，表现出繁琐的日常工作以及较大的工作量，选择传统护理方式进行护理干预，无法实现护理的细节化以及有效化，难以获得理想护理效果。对此确定有效方法展开消毒供应室护理工作存在显著意义[5] 。
并且后个变量可取值为
冯·诺伊曼的结论是可以使
但是，一条精子所含的酶量是远远不够的，只有在许多精子的共同努力下，才能杀出一条血路，让幸运的那个英雄攻破卵细胞最后的壁垒。
不依赖于的选择。同样的论点成立于
它可以使
不管选择什么策略
冯·诺伊曼总结出：如果能够找到一对策略使
近年来，化石能源的广泛应用使中国经济得以快速发展，但也引起了气候变化、环境恶化等危机。随着可再生能源与信息技术的快速发展，单纯依赖传统能源的经济发展模式已经不能支撑我国可持续发展。以建立更安全以及可持续的能源利用模式为目标，一场新的能源变革已经拉开序幕。虽然我国关于能源互联网的研究起步较晚，但获得了我国政府的高度重视，国家在“互联网+”智慧能源、电能替代、可再生能源等方面相继出台了一系列政策，明确了未来我国能源的发展方向。
第三，在冯·诺伊曼的游戏模型中，可能性的一个事件的结果发生的概率记为
则
为了克服这一困难，冯·诺伊曼采用混合策略的技巧。各个玩家不选择一个确定的
或一个确定的而是选择指定不同策略的概率。即玩家选择
以概率
并从以上述概率包含一些数
的数组中抽出一个数量并选定该数量。类似地，指定
的概率
冯·诺伊曼令
且
若选择
且选择
则得到的期望值为
而的期望值为
之前冯·诺伊曼认为不管怎样选择，能够获得极小期望值
能够阻止的期望值超过极大值
通过考虑混合策略而不是纯策略，玩家们的期望值表示成了双线性形式
并且冯·诺伊曼能够说明总存在混合策略
使得
山西省临汾市曲沃县的耕地面积约40万亩，当地樱桃种植较为集中，是万亩樱桃种植基地，所以种植户对葡萄的产量和品质要求较高。为了扩大云天化品牌在曲沃市场的知名度，让农民朋友感性认识云天化系列复合肥的优良效果，通过与当地农户交流、探讨，制定了本次试验示范。
（1.1）
这个结果确立了这类两人游戏总存在最优策略。这就是解决两人零和游戏的极小极大定理。这个著名的定理曾经被被认为过于保守，不过这个概念确实告诉人们在最糟糕的状态下去做什么的最好的解答。
由此，我们能够看到冯·诺伊曼对博弈论发展的极大影响在极小极大定理的证明。特别是对源于二战的线性和非线性规划的发展起到了决定性的影响力[6]。
2.冯·诺伊曼对经济均衡理论的贡献
在《博弈论与经济行为》一著作和《一般经济均衡模型》一文中，集中体现了冯.诺伊曼的经济学方面的思想。他的经济学方面的观点引起了很多数学家和经济学家的注意，甚至激发了一些学者的研究兴趣。
冯.诺伊曼1932年在普林斯顿大学首次宣读《一般经济均衡模型》一文，该文1937发表的。该文先考虑了：“有种商品能用
种过程进行生产，则如何决定采用哪一种过程可获利以及怎样获得商品的价格？”[1]的问题。
因为有种生产过程的存在，导致独立的生产计划最多可能有种。这些生产计划可以任意地缩小生产规模，也可以任意地扩大生产规模。无论是缩小生产规模还是扩大生产规模来进行线性组合来得到的整个经济生产集，是一个包含原点的凸锥。凸锥理论是凸分析中比较成熟的理论。这样我们将拓扑学和凸分析引入到经济领域，这使我们更深入地洞察经济运行的本质。
整个经济运行在每个单位时间内遵循一个规律，即以不变的扩张系数进行扩张。然而在每个单位时间内各产品及生产过程之间的相对比例保持不变。故这样定义的均衡概念是一种拟稳态的均衡。现在用
表示产过程
在整个生产过程中所占的相对份额（即生产密度），
表示整个经济的扩张系数，
表示产品的价格，
表示资本的价格。在每个生产过程
中将消耗
数量的
同时生产出数量的
冯·诺伊曼用数学符号表示如下：
（2.1）
各个量之间的均衡条件为（2.2），（2.3），（2.4）和（2.5），如下所示：
（2.2）
其中，如果严格不等式‘<’成立，则
对于结构安全性，各风机基础方案均应满足结构受力、长期变形、稳定、刚度等要求，保证各基础方案的技术可行性。对于单桩基础，结构较为简单，桩长相对较短，单根钢管桩重量很大，荷载传递明确，基础整体承载能力相对较好，但是基础抵抗变形和极限荷载的能力相对较差，一般需要大直径和较大厚度的钢管桩；对于多桩基础，结构相对复杂，桩长相对较长，抗倾覆弯矩能力强，基础刚度大，抗变形能力强，钢管桩的直径小，对结构受力和抵抗水平位移较有利。
（2.3）
表达式（2.2）,（2.3）表达的含义是
的消费量不可能超过其产出量，若消费量少于生产量，则是免费商品，其价格
出现这种情况的经济含义是市场出清。
（2.4）
其中，如果（2.4）中‘>’成立，则
（2.5）
（2.4）,（2.5）表示生产过程的利润等于零，否则价格或利息率将上升，即一种经济状态达到时，其任何生产过程都没有利润。若亏损，则不会被采用，其密度
即某个生产过程是亏损的生产，则这个生产过程自然淘汰。
公司背靠万达商业，跨区域开发能力突出，兼具高流量和低成本优势。大部分依托于万达商业地产，选址风险和租金成本均低于行业平均。随着万达商业在三四线城市加速下沉，公司有望在三四线市场提高影响力。公司票房市占稳定在13-15%，领先的放映技术和观影体验带来高票价，NOC系统和大数据分析助力科学排片，提升上座率。随着行业扩张回归理性、中小院线出清，经营效率高的龙头有望提升盈利能力和市场占有率。
一般来说，一个经济状态达到均衡，一定满足消费者实现效用最大化、生产者实现利润最大化和市场出清等三个条件[1]。这里没有考虑效用最大化的原因是已经排除了消费的可能性。考虑了完全竞争经济状态，所以（2.4）和（2.5）式的含义是每个被采用的生产过程都挣得零利润，显然利润最大化的假设成立。进一步（2.2）和（2.3）式表示市场出清的含义也是明显的。
为了把他的描述更精确化，围绕以下五个要点建立了策略游戏的定义：
观察（2.2）,（2.3）,（2.4）和（2.5）后发现变量和之间存在对偶性，因此让人们联想到线性规划问题及其对偶问题。冯.诺伊曼首先排除
时的特解，把方程系统解的一般问题归纳为成一个最小最大问题。令
且
在“量”增长的前提之下，实现武夷山民族地区城镇化“质”的优化是第二步。城市在发展的过程中，难免会出现各种各样的问题，比如说城市功能结构不合理、城市的现代哈程度不高。武夷山民族地区在发展过程中，处理好城市出现的各种问题至关重要。我们知道，城镇化发展中，乡村人口会大量涌入城市，城市会不可避免的出现住房紧张、水污染和大气污染等各种污染。武夷山民族地区城镇化一定要注意“质”的优化，“质”的优化是武夷山民族地区需要考虑的问题。
且
（2.6）
此外电子阅读室的建立可以有效的提高医务人员的学习兴趣，继续医学教育得以更好的开展，纸质书籍与电子书籍共存的图书馆才是真正意义上的信息阅读中心。这是新时代图书馆的发展必然，不管是社会还是医院其发展都离不开书籍知识作为基础，医学事业是一个需要长年累月的知识作为积淀来促进发展的行业，更是无法离开书籍知识[8]。
冯·诺伊曼再次刻画了和之间完美的对偶性。他首先证明系统均衡解的存在性问题之后，考虑了可能有多个系统均衡解（即）存在问题，然而（或者）是唯一确定的，同时从两个方面表述了和的特征。在不计价格因素时，是整个经济系统扩张的最大可能系数；在不计生产密度时，是可能产生无利可图的价格系统的最小利息率。
3.冯·诺伊曼对线性不等式的贡献
考虑经济均衡问题是否有解时，冯·诺伊曼认为：关键问题是（2.6）中是否存在的鞍点。为解决鞍点问题，冯·诺伊使用凸面理论和支撑超平面定理证明极小极大定理问题，并证明了它的换位定理。这正是被冯·诺伊曼称之为“选择矩阵定理”。叙述如下：
如果
是一个
矩阵，则以下两个不等式系统中只有一个有一解：
我国现代医学教育由于历史原因，存在素质教育薄弱、教学模式单一、内容陈旧、教学方法呆板等问题，虽历经多次重大改革，取得了较大进步，促进了医学生在知识、能力、综合素质和创新思维等方面的发展，但与社会进步、科学技术发展、卫生事业改革和接轨国际医学教育标准的需要还有一定差距[1]。笔者基于辽宁何氏医学院“以能力导向为主并应用新媒体手段的考核评估体系”的教育教学改革经验，并结合多年医学教学体会作以分享探讨。
（3.1）[1]
4.结论
从以上讨论看到冯·诺伊曼对线性规划的贡献有以下几点。第一，从第二节的公式（211）看到，冯.诺伊曼的极小极大定理是线性规划论中对偶定理的理论[8]基础；第二，从第三节的公式（2.6）看到，和是一对完美的对偶关系，同时存在鞍点。第三，从第四节的公式（3.1）看到，冯·诺伊曼得到的选择矩阵定理是线性规划、非线性规划及线性不等式的理论基础。第四，从第四节看到一般经济均衡理论是对国民经济所做的规划，这个规划思想正是线性规划研究的思想，进一步，整个数学规划研究的思想。
综上，虽然冯·诺伊曼没有直接研究线性规划问题，却对线性规划问题起因做出了贡献，即对建立线性规划问题的对偶问题做出了贡献。
随着我国科技和经济的不断发展，矿山生产的日处理能力大幅度提升，机械设备大型化、自动化，厂房规模越来越大，矿山建设水平要求越来越高，所以矿山工业厂房的建筑设计思路中应推陈出新，把新的理念加入到矿山建筑的设计中来，把矿山建筑打造成在满足工艺生产要求时，又富含人性化的节能环保绿色建筑。
教师在教育教学过程中，通过学习小组的构建，调动学生内在的学习动力，完成学习任务，通过自主合作等学习形式的融入，提高学生的学习能力，也增强了他们对知识内容的理解深度。如今课堂上的小组合作，真正发展了以往的小组合作，不仅重形式，更注重内容和质量。课堂变为学堂，学生的主体地位得到充分尊重，学生合理安排时间，分工合作，交流探讨。因此，作为教师，首先要认识到学习小组创建的重要作用和价值，并且在教学实践工作中结合具体的教学内容和目标进行学习小组的组建和学习内容的安排布置工作。
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收稿日期：2018-12-17
作者简介：敖特根（1964-），男，呼伦贝尔学院科学技术处教授，博士。研究方向：数学史与数学教育。
瑛瑛（1982-），女，呼伦贝尔学院数学与统计学院讲师，硕士。研究方向：运筹学与控制论。
堤防工程原则上以原有堤防除险加固为主，参照《堤防工程设计规范》（GB 50286—1998）规定执行。对新建堤防，应根据山洪沟泄洪要求，经过比选，合理选定堤线和堤距布置，并根据山洪沟行洪断面、地形地质条件、当地材料以及占地情况，合理确定堤防结构形式。对人口密集区、沟道两岸地形狭窄、已建建筑物限制等没有条件布置土堤的地段，可采用防洪墙等形式；沟道两岸地形有条件时，可采用土堤形式。
基金项目：1.内蒙古自治区自然基金项目（2016MSO114）。
2.内蒙古自治区自然基金项目（2017MSO115）。
中图分类号：O112
文献标识码：A
文章编号：1009-4601（2019）01-0130-04
责任编辑：李海亮
标签：冯·诺伊曼论文; 线性规划论文; 博弈论论文; 线性不等式论文; 经济均衡理论论文; 呼伦贝尔学院科研处论文; 呼伦贝尔学院数学与统计学院论文;