数学教学中的开放式教学——创造一种课堂数学文化，本文主要内容关键词为：数学论文,课堂论文,式教学论文,文化论文,教学中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一般来讲，学生在数学学习中遇到问题是很普遍的，这些问题只有唯一的答案，而这些答案又受制于一种解题方法。从这些经验中，学生开始掌握所有问题只有一个确切答案的信念，这对于有前途的学生尤其有害。
日本的开放式教学中，数学问题被选择是用来说明一个问题的多种解法（解题过程开放式）或多个正确答案（解题结果开放式）。这里也强调让学生构建新问题（构建问题开放式）。
本文主要研究日本的数学开放式教学。首先，给出运用这种方法的问题实例；然后，讨论教师如何实施课程计划和活跃课堂气氛的可行性。在介绍一些有关数学问题、学生工作和课程计划的评价之后，我们将给大家演示一个课程实例。
1.开放式教学形式及实例
以我们的经验看来，这种方法尤其给聪明的学生提供了机会以使他们锻炼自己的创造能力和设计明智的方法来解决数学问题。这种方法的3个方面在下面给以介绍：开放式解题过程， 开放式解题结果和开放式构建问题。
1.1 解题过程开放式
为了在课堂上激发学生学习兴趣和开展具有创造力的数学活动，日本目前对于答案唯一的问题，重点强调解决问题需要不同的方法。
例 如图1所示，盒子里有多少巧克力？（小学）
由图1中（1）～（6）不同排列方式和思维方法， 我们可以分别得到以下6种运算方法：
（1）逐个地数，得到24，或者3个一组，得到8×3＝24；（2）5×6－6＝24；（3）4×6＝24；（4）2×3＋3×6＝24；（5）2×9＋2×3＝24；（6）3×3＋3×5＝24。
1.2 解题结果开放式
图1 巧克力个数数法
传统上，问题的答案是唯一的，解法是模式化的，我们把这样的问题看作“封闭的”或“完整的”问题，相反，那些有许多正确答案的问题称为“不完整的”、“开放式的结果”或“结果开放的”问题。这样的问题包括学生找到一个问题的一个、几个或多个正确答案，并且他们可以运用多种方法求解答案。
日本通过3种类型题来说明解题结果开放式：找到规则或联系， 分类和测量。
（1）找到规则或联系。
例 棒球名次问题。（中学）
表1显示5个棒球队的成绩（A，B，C，D和E）。表1中的数字存在一定的规则或联系。尽可能多地找出并记录下来。
表1 棒球队员成绩记录球队 赛次 赢 输 平局 赢率
落后A
25
16 7
2
0.696
--B
21
11 8
2
0.579
3.0C
22
9
9
4
0.500
1.5D
22
8
13
1
0.381
2.5E
22
6
13
3
0.316
1.0
上述问题在日本报纸中可以看到，学生很熟悉，学生也知道日本棒球比赛可以平局结束。从表1中可以观察到许多联系，下面给出一些：
①赛次，赢数，输数和平局数之间存在加法关系：赛次＝赢数＋输数＋平局数；
②赢率，赢数和输数之间存在乘法关系：赢率＝赢数÷（赛次－平局数）；
③2队的赢输数量关系决定落后数（例如，对于C和D这2个队：赢数相差1，输数相差4，（1＋4）/2＝2.5，即D以2.5落后于C）；
④比赛总数为偶数；
⑤赢总数等于输总数。
（2）分类。
例 空间图形分类问题。（中学和高中）
下面给出几个立体图形（如图2）：找出与B具有相同特征的图形并写出它们的特征。然后找出与H具有相同特征的图形并说明它们的特征。
图2 几种立体图形
对于图形B的期望答案是G：①是一个棱锥体；②具有三角形面；③从侧面看是一个三角形；④所有面都是多边形；⑤相交侧面与底面相似而不全等。
（3）测量。
例 石子问题（如图3）。（中学）
图3 石子位置图
3个学生A，B和C随意扔5个石子。在比赛中， 谁扔的石子距离最近，谁就是胜利者。为了决定胜负，我们需要运用一些测量石子分散度的数学方法。
（a）从不同角度思考问题，并给出测量分散度的不同方法。
（b）你喜欢哪种方法？
学生可能发现以下几种方法来测量石子的分散度：①连接各点，构成多边形，测量其面积；②连接各点，构成多边形，测量其周长；③连接两点，测量最长线段长度；④连接两点，计算所有线段长度之和；⑤一点分别与其它点相连，计算所得线段长度之和；⑥测量包含所有点的最小圆周的半径；⑦用坐标系来计算标准或平均偏差。
1.3 构建问题开放式
学生会从已有问题中通过运用归纳、分析或猜想（或者其它思想），构建新的数学问题，然后解决这些新问题。第一次遇到时，问题构建对于几乎所有学生都很新鲜。下面给出一些原始问题的例子和学生可以从中构建的可能或真实问题。
例 有4只蝴蝶，如果又飞来3只蝴蝶，总共有几只蝴蝶？（小学）
（1）孩子可能只改变蝴蝶数；（2）孩子将蝴蝶改为其它昆虫等；（3）孩子把加法问题改成减法问题。例如，郁金香上有7只蝴蝶，如果4只蝴蝶飞走了，郁金香上还剩多少只蝴蝶？
2 实施课程计划和活跃课堂气氛
2.1 实施课程计划
在这篇文章中，我们将分享日本数学教师和研究者合作完成的自从1971年就开始实施的教学方法。我们称它为开放式教学。
日本根据以下计划表组织实施课程计划：
（1）介绍问题或观点。
教师在投影仪、黑板或计算机屏幕上给出问题（相关预定目标）。
（2）理解问题。
教师通过叙述和讲解问题来确保学生知道应该做的工作，让学生理解题意。
（3）学生解题。
学生拿到问题试卷，在空白处写出解题过程。他们以个人或小组解题。教师可在学生中巡视，目的是为了检查他们的工作并选择出与求解目的相关的思考方法或答案以便在全班进行讨论。
（4）比较和讨论。
个人（或小组）可把他们的方法或答案写在黑板（或投影仪）上，然后，教师组织讨论，对各种解答予以比较。
（5）课程总结。
教师在总结学生讨论结果和课程内容上起着至关重要的作用。传统上，在日本，课程是围绕一个单一目标实施——灌输知识。当今，教师的主要作用是指导学习。鼓励学生表达自己的思想。课程结束之前，教师总结学生不同思考方法，强调它们的数学性质，最后总结或完善课程内容。学生之间（全班或小组）或师生之间的讨论是很广泛的，它是达到课程目标的显著因素。
实施课程计划需要注意以下几点：问题目的明确；学生有时间充分探究和讨论问题；学生把答案写在作业本上或笔记本上；一些学生把解题过程写在黑板上以便全班同学都能看到；比较和讨论学生的解题过程；教师总结课程内容。
2.2 创造问题和调动课堂积极性
在不同水平的学生中实施课程计划，发现和选择合适的问题是具有挑战性的。然而，经过反复试验，日本研究者和教师已经合作提出一些关于创造问题的指导意见。
（1）选择包含可以观察到数学关系的物理问题。
例 观察正运行的录音机，观察包含的数学关系的特点（如转速、磁带厚度和卷轴半径之间的关系等）。
（2）几何上，把论证“如果P，则“Q”变成“如果P，则有什么关系”。
例 给出画有对角线的矩形，你能找出什么关系？
（3）几何上，给出与定理相关的几何图形， 然后让学生作出类似图形并作出猜想。
例 观察图4中的2个图形。作出与此具有同等关系的图形。你能猜到在每个图形中标有“→”的线段之间的关系吗？
图4 线段关系
（4）鼓励学生进行归纳猜想。
例 找到下列数据的不同排列形式。
1 2 3 4
2 4 6 8
3 6 9 12
4 8 12 16
（5）在不同图形中找出共同点。
例 观察图5，找出具有直角的图形。
图5 平面几何图形
（6）给出相似练习题，让学生解答并找到至少2条共性。
（7）给出有关变化的实际应用题，让学生找出方法，解释变化。
例 几个学生把软饮料按偏好程度分类，可乐、百事、七喜和雪碧。找到一种方法来测量或决定达成一致或存在争议的饮料喜好度。
（8）给出存在代数结构和数据的具体实例， 让学生找到看似正确的数学规则。
例 剪出2个不同大小的圆（如图6），记作⊙A和⊙B。⊙A 半径大于⊙B半径。在每个圆周上等距标有0，1，2，3和4，把2 圆中心固定以便旋转。
现在定义一个新的加法，用＋表示。这样x＋y 意味着旋转使得⊙A上的O与B上的x校准，通过⊙A上的y找到⊙B上的答案。为了计算2＋4，⊙A上的0与⊙B上的2一致，找到⊙A上的4，⊙B上的相应数为1。因此，2＋4＝1。类似的，3＋2＝0和3＋4＝2。在这新的运算中，找出看似正确的数学规则。
图6 同心圆
3 评价方法
因为开放式教学鼓励学生课堂上的创造能力。因此评价思想也有很多种。在这部分，我们详细介绍有关问题，学生工作和课程计划的评价。再次，我们介绍日本实施开放式教学所做的工作。
3.1 问题评价
一般来说，上述问题在实施课程计划之前根据以下观点进行评价：问题是否富含数学内容？数学水平是否适合学生？是否具备有利于进一步数学发展的特点，是否能提供给聪明的学生机会来获得原始的、深刻的观察？
数学思考方法的有关问题在课堂中得到检验来决定是否对学生有所帮助。如果不是这样，那么它们将被修订和重新尝试。
通过实践和经验，教师能够把传统问题转换成开放式问题。下面就是一例。
传统问题：连续3个奇数的和是177，求这3个数？
新问题：连续3个奇数和是177，尽可能的运用多种方法求解这3 个数。
第一个问题用一种直接方法即可得出答案57，59，61，也就是说，
x＋（x＋2）＋（x＋4）＝177，
而第2个问题则提供了求解方法的广泛性，以下为学生的12 种解答：
（1）x为第一个奇数，则
x＋（x＋2）（x＋4）＝177。
（2）考虑最初的3个奇数1，3，5，和为9；对于3，5，7， 和为15；对于5，7，9，和为21。因此，这一系列和为9，15，21，27，33，……，可以得到（177－6）÷3＝n，这里n为第1个奇数。所以，这3 个数为57，59，61。
（3）选择一个比177的一半还要小的数，然后经过反复试验得到57，59，61。
（4）x为第一个奇数，则
x＋（x＋2）＋（x＋4）＝3x＋6，则3x＋6＝177，x＝57。所以，这3个数为57，59，61。
（5）找出3个数的平均值，因为一个比平均值小2， 一个比平均值大2，所以，由177÷3＝59得，这3个数为57，59，61。
（6）设这3个数分别为x－2，x，x＋2，则有：（x－2）＋x＋（x＋2）＝177，3x＝177，x＝59。所以，这3个数为57，59，61。
（7）反复猜想试验。
猜（x） x＋2
x＋4
和
41
43
45
129
51
53
55
159
55
57
59
171
则57＋ 59＋
61＝ 177。
（8）3×50＝150，3×60＝180，因此中间数介于51，59之间， 经过反复试验，这3个数为57，59，61。
（9）3个连续奇数和为177，则内含的2个偶数和为2/3×177 ＝118。177＋118＝295，295÷5＝59。所以，这3个数为57，59，61。
（10）令这3个数代表三角形3边长，有x＋y＋z＝177，x＋2＝y， x＋4＝z。解方程式得到：x＝57，y＝59，z＝61。
（11）因为3个数和为177，则个位上的数字之和为17，所以这3 个数为57，59，61。
（12）177和180之间，180－177＝3，180÷3＝60，60－3＝57。所以，这3个奇数分别为57，59，61。
3.2 学生工作评价
（1）评价方法：通过课后检查学生作业， 在学生解题时观察他们工作，在学生讨论时观察可收集到评价数据。这些观察结果将被记录下来。因此，课上主要通过教师观察，课后通过检查学生作业。无论是课上还是课后，这种评价方法已经形成。但通过长时间收集这些评价数据，它们会变成学生的总结性评价。
（2 ）评价问题构建：因为构建问题一开始对学生来说是较为困难的，因此评价学生问题构建对于教师来说具有挑战性。在授课之前，教师经常准备一组问题让学生构建。这组问题是分析问题的一部分，帮助学生组织有关问题构建的讨论。学生工作根据下面3 个因素来评估：问题构建的数量，学生如何构建问题，新问题中所体现的不同数学概念。
举例来说，学生可通过以下方式构建问题：改数，改变题目，改变题目和数，作分析，运用相反思想，综合几个问题，甚至创造无关问题，不同的问题构建显示不同的思维方式。
3.3 课程计划评价
运用开放式教学方法，教师不必，至少首先不用预料课堂所发生的一切可能性。除了在文章前面讨论过的课程计划表之外，其它相关计划表也已实施。例如：解决已给问题；比较和讨论问题的解决方法；通过改变已给问题的部分（条件）构建新问题；向全班提出新问题；讨论新问题并进行分类；解决由教师和学生选出的问题；解决由学生构建的问题。
例 公园问题。
（1）提出问题：有3个公园A，B，C。3个公园的面积分别为500 平方米，500平方米和300平方米。每个公园里的孩子数分别为40人，30人和30人。问哪个公园最拥挤？
（2）理解问题：学生也许会有下面的思路。公园A的面积为500 平方米，有40个孩子。公园B的面积为500平方米，有30个孩子。公园C 的面积为300平方米，有30个孩子。讨论会得出：A比B拥挤（A、B 面积相等，但A容纳了更多的孩子）。C比B拥挤（C、B容纳的孩子数相同， 但C的面积小）。现在，得出A和C哪个更拥挤？
（3）学生解题：让学生运用自己的数学思考能力来求解A和C哪个公园更拥挤。教师选出学生答案（思考方法）并让他们把解题方法写在黑板上。
（4）比较和讨论：在学生写完解题方法和向全班解释完之后， 问学生：“所有这些解题方法的共同思想是什么？”
（5）课程总结：教师应在课结束之前复习和总结课程内容， 突出强调教学目标。
（6）作业：假设有一个面积为520平方米的公园D，公园里有47 个孩子。问公园D比公园C和A更拥挤吗？
4 结论
为提高学生的思维能力，让学生自由思考——运用自己的数学思考方式是至关重要的。虽然日本是班级授课制，但可以看出数学教师注重个体学生的活动和需要。尤其是提供给具有巨大数学潜力的学生机会，以便他们锻炼自己的创造能力和与其他学生分享成果。
即使一个问题只有一个解决方法，仍有多种方式找到这个解决方法。除了运用多种方式求解具有唯一答案的问题。开放式教学也采用有不同解决方法的问题并让学生自己构建问题。课程计划主要探究这些开放式问题。
运用开放式教学教授标准课程和非常规问题在发展学生数学思维能力上是具有潜力的，并且在改变学生和教师的数学信念上具有重要意义。基于此，我们相信它有助于产生课堂数学文化的多方面，调动不同水平学生的积极性，向创造性思维挑战。