——《函数的奇偶性》（人教A版）教学设计及课堂实录
◆ 董亚亚 甘肃省庆阳第一中学 745000
【设计思路】实施高中数学新授课“导、议、讲、练、评”教学模式，在教学过程中，教师用自然界中的“对称美”引出本节课程内容，以问题的形式让学生思考讨论偶函数的定义、性质及图像特点，师生共同总结，再通过类比归纳得到奇函数的定义、性质及图像特点，并通过例题的讲解，使学生掌握判断函数奇偶性的方法，体会函数奇偶性的应用。
【教材分析】在前面几节课对函数的概念及有关知识掌握的基础上，本节课学习函数的奇偶性。
【教学目标】
1.学生能够理解偶函数与奇函数的概念和图像特征，掌握判断函数奇偶性的方法，会判断以及证明简单函数的奇偶性。
2.通过对偶函数、奇函数概念形成过程的体验，培养学生观察、类比、归纳的能力；通过对偶函数与奇函数概念以及图像特征的学习，能够体会数形结合、从特殊到一般的数学思想。
3.在解决问题的过程中，发展学生自身探究能力、交流能力和判断反思能力。
【教学重难点】
1.教学重点：偶函数和奇函数的概念以及图像特征，函数奇偶性的判断。
2.教学难点：偶函数和奇函数概念的理解以及函数奇偶性的判断。
【教学过程】
一、导
“对称美”大量存在于大自然以及我们的日常生活中，比如蝴蝶、大桥、剪纸等。那么，在数学学习中，同样可以感受这种对称美，例如函数y=x2-3，y=|x|，y= （PPT演示）。观察这些函数图像，有什么发现？（关于y轴对称。）根据初中学过的概念，我们将这一类图形叫作什么？(轴对称图形。）刚才我们是从函数图像上来考虑这些函数，现在我们用数量关系来看，这些函数有什么性质？比如，对于函数y=x2-3，x=±1、±2 对应的函数值分别是多少？x=±a（a为任意实数）对应的函数值呢？
学生回答：得到f(-a)=a2-3、f(a)=a2-3、f(-a)=f(a)。
因此，对于函数y=x2-3具有f(-a)=f(a)(aεR) 这一性质。
二、议
问题1：对于具有这种性质的函数，我们称它为偶函数。那么同学们能不能给出偶函数的定义？
设计意图:由特殊到一般，先给出偶函数的定义。
师生活动：学生独立思考并个别回答，教师用PPT演示。
教学过程中，大多数学生的回答忽略了函数的定义域及“任意”二字，教师强调。
结论：一般地，如果对于函数y=f(x)的定义域D内的任意实数x，都有f(-x)=f(x)，那么就把函数y=f(x),x∈D叫作偶函数。
问题2：如何理解这个定义？（对定义进行分析）
(1)判断函数y=x2,x∈[-2,1]是否为偶函数？
(2)那么定义域关于原点对称是函数y=f(x),x∈D为偶函数的什么条件？如果函数定义域不关于原点对称，它有没有可能是偶函数？
设计意图:针对学生对偶函数定义回答中忽略的定义域内实数的任意性，接下来用两个问题帮助学生辨析和理解定义中的这一难点。
师生活动：学生思考、讨论并回答，教师总结。
教学过程中部分学生对第(1)问回答错误，教师通过举反例帮助学生辨析，在第(1)问基础上学生基本能回答正确第(2)问。
结论：判断函数是否为偶函数时，必须在其整个定义域内考虑，定义域关于原点对称是函数y=f(x),x∈D为偶函数所必须具备的条件。
问题3:偶函数的函数图像有什么特点？（结合之前函数y=x2-3的图像观察）（偶函数的图像）
设计意图:学生通过画一个简单的偶函数图像体会偶函数图像的特点，并得出结论，利用图像特点可以判断函数是否为偶函数。
师生活动：学生思考、讨论并回答，教师总结。
教学过程中，学生对这一结论的得出是非常容易的，教师最后提炼根据函数图像特点判断是否为偶函数一般比利用定义判断要更为简单，但不能用于解答题的解答过程。
结论：若函数y=f(x),x∈D是偶函数，则此函数图像关于y轴成轴对称图形。反之，若函数y=f(x),x∈D的图像关于y轴成轴对称图形，则此函数为偶函数。
问题4：对于函数y=2x来说，我们对比之前研究的函数y=x2-3，探究它有什么性质？请类比给出奇函数的定义、判断方法以及奇函数的图像特点。
设计意图：对比已有表格中的偶函数内容，以小组讨论方式类比得出奇函数的相关知识，学生在学习过程中体会了类比的数学思想，并体验了合作学习的乐趣。
师生活动：学生小组讨论、交流并得出结论。
教学过程中第一个小组在对奇函数定义的分析及判断方法的回答不够完善，由其他小组补充，最后教师PPT展示结论。
结论：
1.定义及分析：如果对于函数y=f（x）定义域D内的任意实数x，都有f（-x）=-f（x），那么就把函数y=f（x）叫作奇函数。定义域关于原点对称是函数y=f（x）为奇函数所必须具备的条件。
2.奇函数的图像特点：若函数y=f（x），x∈D是奇函数，则此函数图像关于原点成中心对称图形。反之，若函数y=f（x），x∈D的图像关于原点成中心对称图形，则此函数为奇函数。
3.判断方法：
方法一：利用定义判断。
（1)先看定义域是否关于原点对称。
（2)再看是否对于任意x∈D，都有f（-x）=-f（x）。
方法二：利用图像判断。
若函数y=f（x），x∈D图像关于原点对称，则为奇函数，否则不是。
注：对于任意奇函数y=f（x），x∈D，若x=0在定义域内，则f（0）=0。
问题5：函数是奇函数或者偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质还是局部性质？
设计意图：通过上面分别对偶函数和奇函数的学习，使学生在巩固知识的同时对函数的奇偶性有进一步的认识。
师生活动：学生共同回答。
结论：函数的奇偶性是函数的整体性质。
三、讲
例1.判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)=(x-1)2,x∈R （2）f(x)=x2,x∈R
（3）f(x)=x3,x∈R （4）f(x)=x2+1,x∈[-1,1)
设计意图：四道题目分别从不同角度帮助学生理解函数的奇偶性定义，并通过题目让学生进一步掌握判断函数奇偶性的方法。
师生活动：学生讲解说明给出解答，并尝试总结判断方法，教师最后提炼方法并强调注意事项。
归纳利用定义判断函数奇偶性的步骤，特别强调两点：
一是先看定义域是否原点对称。
二是奇函数或偶函数须给出一般证明，非奇非偶函数举反例。
例2.已知函数y=f(x)在y轴左侧的图像，请做出函数y=f(x)在y轴右侧的图像。
设计意图：学生体会函数具有奇偶性时其图像特点的作用，本例的讲解和练习对于学生今后画函数图像、理解函数奇偶性有非常重要的作用。
师生活动：学生独立练习，教师用PPT给出答案。
教学过程中学生基本能够完成，只是图像画得不够标准。
四、练
(1)判断下列函数的奇偶性：
① f(x)=x+2, x∈R ②f(x)=x+x3+x5，x∈R
③ f(x)=x2+1，x∈R ④f(x)=x，x∈[-1,2]
设计意图：分别从四个方面对学生进行有针对性的训练，检验学习效果。
师生活动：学生独立完成并展示，由学生给出讲评并总结。
(2)思考：我们已经接触过奇函数、偶函数、非奇非偶函数，让那么有没有既是奇函数又是偶函数的函数呢？
设计意图:完善利用函数奇偶性对函数分类时函数的类型，学生体会数学知识的严谨性。
师生活动：学生思考并回答，教师启发并讲评。
教学过程中学生的回答如下：
学生：f(x)=0，x∈R。
教师：只有这一个吗？从函数的三要素出发，发现对于不同定义域，其对应的函数也是不同的，从而既是奇函数又是偶函数的函数有无数个（对应做出函数图像）。因此，我们函数按奇偶性可以分为四类：
奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数。
(3)检测：P36练习1、2。
五、评
(1)练习检测评价：
①对不同题目解题方法的恰当选择；②注意答题过程的严谨性和规范性；③注意归纳总结、举一反三。
设计意图分别由学生和教师通过对四名学生板书练习题目的评价，强调解题方法及解题过程，并适时总结提炼。
(2)小结评价：①偶函数和奇函数的定义、图像及性质。②判断函数奇偶性的两种方法。③函数的奇偶性是函数的整体性质，函数按奇偶性可以分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数四类。④偶函数图像及性质学习过程中体会到了数形结合的数学思想，奇函数定义及性质的推出过程中体现了类比的数学思想。
设计意图：引导学生对所学的知识、数学思想方法进行小结，为今后的学习打下坚实的基础。
【作业设计】
P39 习题1.3 A组6、B组3。
【教学反思】
通过实施高中数学新授课“导、议、讲、练、评”教学模式，总体来说，本节课的优点有：
1.教学思路清晰、教学过程顺畅。
2.教学效果良好，通过课堂上对学生的训练检测来看正确率较高，学生对本节课的内容有很好的理解和掌握。
3.学生在知识形成的过程中，体会了数形结合、归纳以及类比的数学思想方法。
4.以学生为主体，设置系列问题，通过学生的“议” 充分发挥了学生的主观能动性，提高了学生自主学习的能力。
论文作者:董亚亚
论文发表刊物:《教育学文摘》2016年6月总第194期
论文发表时间:2016/6/8
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