数形结合应用中的错误剖析，本文主要内容关键词为：错误论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“数形结合”是一种极富数学特点的信息转换，也是一种重要的数学思想.正如华罗庚先生所说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.然而，在具体实施“数形结合”时，要由“形”观察出“数”，由“数”构造出“形”，这中间的“观察”、“构造”往往缺少严谨的逻辑推理.特别是，当构图不准确、不完整或不具有一般性时，数形之间并不等价，以致造成错觉性的解题失误或片面性的疏漏.另外，有时数形转换虽然等价，但却因方法不当无法解决问题.下面就“数形结合”应用中的几种应注意的问题深入剖析，以供参考.
一、注意图形的完整性
有些数学问题所对应的图形可能不止一个.但是，在作图过程中，学生容易只画出自己最为习惯、熟悉的图形，从而导致所作图形不完整，求解出错.
剖析 上述解法错在函数y=f（x）的图象没有完整画出解题所需要的部分.正确解法如图2，故交点个数为4.
例2 是否存在同时满足下列条件的双曲线：（1）渐近线方程为x±2y=0；（2）定点A（5，0）到双曲线上的动点P的最小距离为
.如果存在，求出此双曲线；如果不存在，说明理由.
二、注意数形转换的等价性
“数”与“形”的转换，是借助一些基本知识、原理、方法、概念实现的，在转换的过程中，倘若对于这些基本知识、原理、方法、概念理解不到位，求解就会出错.
三、注意图形的存在性
“数形结合”法的优点在于可以使抽象的问题直观化.但若画图时忽视图形的存在性，只凭主观想象，无中生有，则会造成错解.
例5 判断方程lnx-x+1=0的实根个数.
错解 将原方程化为lnx=x-1，令f（x）=lnx，g（x）=x-1，在同一直角坐标系中作出图象，如图8或图9.可以很容易判断出有两个实根.
剖析 考察此解是否合理，可以令h（x）=lnx-x+1，则h（1）=0.
由h'（x）=
-1＞0，解得0＜x＜1.所以y=h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而在x=1处有极大值h（1）=0.所以原方程只有一个实根x=1，即图8、图9均不正确.正确图形如图10，f（x）与g（x）在点（1，0）处相切.
四、注意避免循环论证
许多时候，图形的直观结论是依靠数式关系来刻画的.此时，若用图象的直观结论（未经严密论征）来证明数式关系，便往往会步入循环论证的逻辑错误中.
五、注意避免数形互换失灵
在探索解题思路时，用几何方法还是代数方法，取决于哪种方法简单可行、适合学生，而不能刻板地流于模式——代数问题用几何方法，几何问题用代数方法.
