美国数学教材例习题设置特点研究——以美国CMP教材“因式分解”章节为例，本文主要内容关键词为：美国论文,因式分解论文,教材论文,为例论文,习题论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学教材中的例习题是数学教材的重要组成部分，具有示范性、典型性和探究性，它一方面起到加深学生对概念、知识的理解，复习并巩固知识的作用，另一方面也是培养学生数学能力的重要载体.因此，我们进一步从小处着手，探讨教材中例习题的设置情况.为了分析更细致，本文以美国初中一套教材中“因式分解”一章内容为例，从例习题的设置视角出发，对美国初中数学课本中的例习题进行分析研究，研究例习题设置特点，希望能“管中窥豹”、以小见大，获得教材编写或教学方面的启示.
一、美国教材例题设置特点分析
1.例题数量较少，探索性强
众所周知，中国教材编写例题较多，且比较注重方法的教授，如“因式分解”一章中，每个例题教给学生一种因式分解的方法，设置例题的目的更多在于教给学生解题的相关知识和方法，即注重“双基”的掌握.而美国教材的例题较少，主要体现例题的探究性，注重培养学生自主发现、主动探究规律的能力，让学生自己探索和得出方法，很好地掌握解题的内在缘由.
同样以“因式分解”一章为例，美国教材在第9、10单元几乎没有例题出现，只是通过“让你探究”的环节，给出一定的情境、现象，让学生自行探究分解因式的方法.
案例1：Tony和Sasha举办学生聚会，一张桌子可坐6人，按图1所示摆放桌子的话，2张桌子可以坐几人？3张呢？请列出两种式子表示n张桌子可以坐的人数.从不同角度对问题的解进行了探究，并对多项式的特征进行了初步的探究.
案例2：一个立方体的骰子，其六个面分别写着1、2、3、4、5、6，请你将这样的立方体骰子扔两次所得的数相加，并把和填在表格中（如图2），再对表格进行研究，看看最多次出现的和是什么？进而研究多项式相乘其系数的性质及规律.
2.例题形式新颖，趣味性强
中国教材中例题的呈现比较直接，如学习分解因式的方法，教材一般直接说明分解因式的定义，然后直入主题，例题讲授怎样分解因式，目的明确，开门见山，学生能立刻明白本节课要学的内容，但形式比较单一，不利于激发学生的求知欲望.美国教材则不然，它通过较有趣味的形式引入进行探究，让学生自己发现解题的方法，形式一般都比较新颖、独特，不拘一格，让学生在“游戏”中获取知识，较好地激发学生的探索欲望和学习兴趣.久而久之，也有利于学生养成良好的数学思维习惯，能更自然地以数学思想看待生活中的问题.
案例3：如图3，是乘法表格的一种版本，沿着黑色的对角线上的数都是完全平方数（想想为什么？），这条线上的任一个数都可以朝8个方向移动.
（1）描述朝各个方向移动后对数值的影响（怎样改变）；
（2）得出8条规律去解释怎样从任一个平方数得到它的8个邻居数；
（3）试着用你的方法，去试试其中一个平方数.
例题就利用乘法表的形式来认识完全平方数，形象直观，形式新颖，能增强数感，容易激起学生的探究兴趣并留下深刻的印象.
3.例题取材真实，人文性强
与中国数学教材的相对严肃、严谨相比，美国教材给人一种像是看活泼的数学故事的感觉，比较平易近人，有较强的人文性，取材都来自生活实际，与学生的学习生活息息相关，利于学生接受，而且体现生活性的例题可将书本知识与生活中的数学构成联系，解决数学理性认知与生活中数学知识经验“割裂”的问题，而且能帮助学生建立起数学的意义世界.
以“因式分解”一章为例，例题取材多以“小插曲”的形式进行，讲述几位小朋友在一起进行相关数学游戏中发现和解决问题的故事，并从中引出例题要讲授的内容，以激发学生的学习兴趣，有利于学生在轻松的气氛中学习和掌握新知识.
案例4：《小插曲31》.Sasha认为她发现了一个数字诀窍.她向Tony验证了一下.
Sasha：Tony，你给我任意两个平均数是100的数，我可以很快算出它们的乘积.
Tony：好啊，103和97.
Sasha：简单啊，是9991.
Tony很快地验证了一下.
Tony：哇！真的好快啊！
Sasha：让我再算一个吧.
Tony：好的，109和91.
Sasha：9919.
Tony：112和88.
Sasha：9856.
Tony马上笔算进行检验.
Tony：你都算对了，你怎么算得这么快呢？
Sasha：要想用一个完全平方数的形式来表示97和103的积，我想到了（100+3）（100-3），那就等于1002-32.
Tony：哦，那就等于10000-9=9991.
Sasha：完全正确.109×91=（100+9）（100-9）=
Tony：那么
是10000，
是81，我用10000减去81就得到了9919.
Sasha：完全正确.
Tony：那么112×88是10000减去144，得到9856.
Sasha：你答对了.
Tony：那为什么两个数的平均数必须是100呢？
Sasha：也不完全是，只是因为100的平方比较好记，如果换成其他的数，就会稍微麻烦些.
Tony：那-9和209呢？
Sasha：嗯，这个就不能用我的方法做.
讨论：（1）如果将两数和改成80，你应该怎样改变Sasha的方法呢？
（2）找出两个数的和是100的数，使它们用Sasha的方法比用笔算简单.
（3）找出两个数的和是100的数，使它们用笔算比用Sasha的方法简单.
通过“小插曲”讲故事的形式引出要研究的问题，形式很新颖，趣味性强，在情境中发现问题并研究，更加人性化，学生也比较容易接受.
4.例题之间联系紧密，系统性强
中国教材例题之间相对独立，有较强的针对性，美国教材则在例题的编制上注重各例题之间的联系与整体的系统性，各个例题之间有很强的联系与循序渐进，不孤立，让学生能在一个完整的情境中充分地接触知识，能很好的系统化.
例如：在“因式分解”一章中第9、10两个单元的例题都利用了“乘法表”（如图3）来研究，注重与前面所学知识相联系，使所研究的知识逐步深入与拓展.
二、习题设置特点
1.习题取材新颖，贴近生活，有真实感
中国教材练习设计在选材方面视野不够开阔，虽然也考虑创设与生活有关的情境，但往往有生搬硬套之嫌.美国教材练习设计趣味性、科学性强，练习中的情境视野开阔，既有厚重的历史事件，又有活泼的数学故事.体现了“数学来源于生活，又服务于生活”.在习题中揭示出知识的应用价值，让学生体验到数学就在我们的身边，真切感受到所学的知识是有价值的，提高学生的作业兴趣和认识水平.相比中国练习以巩固知识技能、方法为目的，美国教材更多的是以数学知识为工具去解决生活中面临的各种问题，带领学生进入生活层面的数学应用，通过作业把学生引向家庭，引向社会，引向生活.
例如，以铁轨热胀突起后的长度与高度变化编题，还附上形象的图片加深理解；以求牛棚长度编题；以小朋友之间数学小游戏编题；等等.
案例5：一条长度为2400厘米的直的金属铁轨，两端固定.炎热的一天，铁轨热胀突起，长度变成了2402厘米，假设突起处为铁轨中点，问突起多高？（图略）
2.习题量相对较大，注重对比理解
中国教材的练习题一般不多，主要是巩固例题知识.而美国教材中的练习题相对较多，且往往一组练习联系紧密，以一根主线串联起来，每个题目里包含多个小题目，这些小题目非常相似，往往只有几个符号不同，揭示规律的习题材料较丰富，注重学生自主对比分析，从而在对比分析中更加深入地理解与掌握所学知识.
案例6：
（3）运用0乘积性质和你所知道的有关因式分解的知识，找出所有整数解.在解之前先扩写乘积.整式可能有一个解、两个解或没有解.
仔细体会这一组习题设置，从中可以看出美国教材中的习题非常注重锻炼学生的比较分析、加深理解与区别的能力，同一题中的各题非常相似，只有个别数字不同，可谓将“变式教学思想”融入了习题的编制中.
3.习题具有启发性，注重发展探究能力
中国教材中的习题一般注重巩固知识与技能，进行某些特定数学目的的训练，如某个定理的理解、某种数学方法的训练等，欠缺的是为学生提供具有启发性、创造性和应用性训练的习题，但结合实际问题、数值计算、借助于计算机作图及一些探索性的习题则比较少，且过于形式化，无实质内涵.而美国教材往往较多地编制一些具有启发性的习题来发展学生的探究能力，其启发性表现在题型较多为开放题，内容丰富、背景广阔，贴近学生生活实际.题型有文字、表格、图画、对话等形式，不拘一格，增添学生做作业的情趣，凸显作业的思维度，让学生经历问题思维的过程.例如，美国教材“因式分解”一章中就有这样一道习题.
案例7：Sasha有一个估算接近1的数的平方值的简便方法，她说，“要算1.01的平方值，我只要把1加上2×0.01的值得到1.02即可.而正确答案是1.0201，这已经非常接近了.而且这个数越接近1，我的方法得到的答案就越准确.”
①用Sasha的方法计算1.03的平方；
②用Sasha的方法计算1.005的平方；
③试着找出用Sasha的方法求得的答案与正确答案有多接近的规律.
习题以叙事的形式出现，内容新颖，且具有挑战性、启发性，容易引起学生探索研究的兴趣，从而加深对所学知识的理解和运用.本章中还有很多习题以表格、对话、图画的形式出现，使学生乐意接受，并充分提高自己的智力水平.