基于知识结构体系解构的教学设计思路与建议_数学论文

基于知识结构体系解构的教学设计思考与建议，本文主要内容关键词为：教学设计论文,知识结构论文,体系论文,建议论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      三角函数是高中数学课程的核心内容之一.从发展的视角来看，三角函数是用代数方法研究几何问题的基本工具，高等数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，并将其定义扩展到复数系.我们要进行科学而合理的教学设计，就必须从知识、方法和思想等方面认识三角函数内容的结构体系.要根据三角函数知识内容的课程目标进行核心知识结构的解构，要努力帮助学生构建适当的知识网络，认识其所承载的思想方法，明确核心知识所在，并根据学生的认知规律和教学要求进行教学设计、开展课堂教学，在实践中不断优化、充实和提高课堂教学设计.就教学设计而言，我们不妨按如图1所示的流程来进行.

      

      对课程目标的分析，不仅要明确《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）规定的知识内容，还要领会其对思维能力和思想方法内涵的要求.因此，我们进行核心概念知识的解构，就要全方位、多角度地进行解析，比如概念的发生发展顺序，概念以及概念要素之间的联系，它们构成了概念学习的时间表、线路图和知识清单.三角函数教学有其自身固有的特点，那就是要关注过程，适度形式化，采取案例教学.本文依据上面的思路，从对必修模块中三角函数的结构体系的解构出发，对一些具体的教学设计谈谈自己的思考.

      一、三角函数的教学重心在于对函数概念的理解和把握

      从知识内容的教学时序和能力要求来看，在初中阶段，学生已初步学习了三角函数知识，但只要求学生在了解的基础上会计算和化简一些特殊角的三角函数，侧重于通过图形，尤其是通过直角三角形来认识和解决三角问题.而2003年4月教育部颁布的《课程标准》中，三角函数内容分别被编入了必修课程的《数学4》和《数学5》，三角函数被冠以基本初等函数Ⅱ的名称，连同三角恒等变换公式一起出现在《数学4》中，解三角形则出现在《数学5》中.从《课程标准》编排的用意来看，三角函数首先是作为函数来研究的，不但要求学生能联系图形理解三角知识，更要求学生能通过函数方法，特别是代数变换的思想来研究和分析问题，与初中的思想方法相比有了跨越式的变化.因此，如何在高中三角函数知识内容中，尤其是三角函数概念的教学中凸显其中的本质方法和思想就显得格外重要.就《数学4》中三角函数概念的教学而言，学生对核心概念的理解和把握是否准确将直接影响到学生的后续学习.基于以往对“任意角三角函数概念”的教学实践和调查研究，笔者发现，学生并不能很好地区分初中、高中学习的三角函数概念有何差异，大部分学生（包括不少教师）认为高中学习的内容是对初中内容的简单延伸和拓展，三角函数的主要研究内容仍然是三角形的边角关系，对三角函数是以函数为主线刻画周期现象的数学模型认识不足，从而影响对任意角三角函数概念的学习、理解和掌握.

      因此，我们立足于知识结构的解构就容易看到，高中学习的三角函数是在初中学习锐角三角函数的基础上，通过旋转将角的概念推广到任意角，并使角与实数建立一一对应关系，然后结合坐标系和单位圆重新定义任意角的三角函数.因此，三角函数是函数的下位概念，同时又是锐角三角函数的上位概念，教学要以函数思想为指导，以坐标系和单位圆为工具，以初中锐角三角函数概念为认知的起点，促进任意角三角函数定义的有效生成.而教材则在完成任意角三角函数定义的基础上衍生出：（1）三角函数值在各个象限的符号；（2）单位圆中的三角函数线；（3）同角三角函数的基本关系；（4）三角函数的诱导公式；（5）三角函数的图象与性质.可见，三角函数的定义是三角函数教学中的重中之重，是整个三角函数部分的奠基石，它贯穿于与三角函数有关的各部分内容，并起着关键作用.

      鉴于以上章节知识结构的分析，我们对“任意角三角函数的概念”的教学设计方向和目标就有了更清晰的把握，也就不会拘泥于“以锐角三角函数概念为教学起点”的教学设计，许多教师的实践也表明，这一起点与任意角三角函数的概念并不是“就近”的，究其原因，是锐角三角函数的定义以直角三角形为载体，关注的是“解决直角三角形的边角关系问题”，而对它的函数本性的认识并不作为重点，锐角三角函数并没有被纳入函数概念体系中.因此，以锐角三角函数概念作为教学的起点，需要一个较长的铺垫过程：回顾定义一坐标化（全新的学习）—“单位化”（取r=1，全新的学习），而且还要冒“学生无法把任意角三角函数的概念纳入函数的概念中”的风险.因此，既然三角函数概念的核心在于函数，我们不妨考虑构建这样一种“函数概念统领下的教学设计”的起点和流程：

      （1）回顾与复习任意角的概念.

      （2）引导学生对圆心在原点的圆，其圆周上的点的坐标随角的变化而变化的“操作、观察”，先让学生建立起“任意给定一个角α，圆周上就有唯一的一个点P（x，y）与之对应”的直观感受.

      （3）复习探究当角α为锐角时，sinα=

及

的值与终边位置的关系，得出“

”的值只与角的大小（终边的位置）有关，而与点P在角的终边上的位置无关”这样一个重要结论.

      （4）在得出任意角的正弦函数定义的基础上，研究任意角的余弦函数和正切函数的定义，并通过相应的例题、习题加以巩固.

      这样的教学设计把注意力真正集中在三角函数知识结构的根本——“函数特性”上，能使学生认清其对应关系、定义域和值域等，从而真正把握三角函数的“本来面目”.这样的设计也比较贴近学生的最近发展区和知识结构，能积极调动学生已有的象限角、弧度制、单位圆、锐角三角函数等相关知识，在建立函数模型的过程中水到渠成地引入任意角三角函数的概念.这样的设计，既可以使学生知道这一概念的背景，也可以使他们感受运用函数概念建立模型的过程和方法，还可以让他们体会三角函数在物理学科中的重要性.如果这样的设计思想能够实现，那么其效果是一举多得的.

      二、高中解三角形的教学要通过动态、静态图形的结合，加深对数形转换的认识

      波利亚说过，对数学特征的直观表征往往能根植进学生的心灵.因此、空间形式直观化能有效地实施概念教学，使学生的概念接受过程变得更容易、更突出、因此从学生所熟知的一些基本问题出发，不但可以使学生对概念有一个感性的认识，而且能让学生积极参与到教学活动中来，使抽象的数学概念贴近学生的现实思维水平，使学生更易于接受.

      在解三角形的教学中，正弦定理、余弦定理是关于任意三角形边角关系的两个重要定理.《课程标准》强调在教学中要重视定理的探究过程，并能运用这两个定理解决测量、工业、几何等方面的实际问题，从而使学生进一步了解数学在实际中的应用，激发学生学习数学的兴趣，培养学生由实际问题抽象出数学问题并加以解决的能力、在《数学4》的教学中，学生已经学习了三角函数和平面向量的有关内容，对三角函数、平面向量已形成初步的知识框架和认知结构，而正弦定理的学习是对任意三角形边角关系的进一步研究，定理的证明过程能为后面的余弦定理的学习埋下伏笔，具有承上启下的作用、同时，众多的知识点并非彼此孤立地存在着，而是具有错综复杂“多方位”的联系.在教学设计中，教师就应努力把知识间的联系真实地展示出来，使学生获得数学理解的同时，充分认识其内在的联系；并且只有通过这样一些经常性的联系，学生才能逐渐地树立整体联系的观点，学到结构化的、互相联系的数学知识，为形成和发展良好的数学认知结构打下基础.

      以“正弦定理”第一课时的教学为例，很多教师都习惯于按照特殊到一般的线索设计并展开教学活动、一般都是先研究讨论直角三角形中边与其所对角的三角函数值之间的关系，再猜想、证明在一般三角形中结论是否成立.这样的教学设计符合概念课教学的一般流程，在一定程度上也能较好地达成《课程标准》的基本要求，培养学生的猜想、推理和论证等能力和素质.但笔者发现，在引入定理表达式

的教学过程中，很多教师都是直接由直角三角形的斜边联系到外接圆的半径R.这样的一个教学细节，看似合理，但学生会或多或少地感到突兀和茫然，毕竟其中并没有建立三角形与其外接圆联系的途径.不少教师能感觉到其中的一些环节设计上的缺憾，却又说不清道不明.笔者认为，这样的教学设计在知识传授上并不存在多大的缺陷，但思维方式的取向与发散却没有受到应有的关注.事实上，如果我们能从思维方式的角度来考虑、研究问题，不固守由特殊到一般的常用思维方式，也许就会有不同以往的发现和收获.我们不妨开展如下实验式的探究活动来进行教学实践.

      （1）在平面上作一条线段BC，作以对角A为定值的三角形（可尽量多作几个），让学生观察、思考、猜想点A的运动特征（容易发现点A在以BC为弦的定圆上，如图2）.

      （2）分析点A的运动规律与条件中变量与不变量的关联，在学生发现定长、定角与定圆（半径）存在相应的关联后，引导学生通过特殊到一般的常用思维方法来解决问题.先从圆特殊的内接三角形——直角三角形来研究其中的内在关系（可作出定边长所对角分别为30°、45°、60°的直角三角形进行探究）.

      

      （3）在直角三角形中探究边长、角度及半径的关系，可得：

，再向一般三角形推广并进行证明.

      在不少人看来，这样的教学设计似乎仅仅对教学操作模式进行了浅层次的改造，但他们却没有意识到这种改造背后潜藏的思维方式的升华.对教师来讲，这样的设计摆脱了对教材的简单的顺应和把握，改变了以往由特殊到一般的教学思维设计定式，加深了对数学逻辑中归纳思维的理解.对学生来说，这样的课堂教学既经历了动手实验、猜想、归纳和证明等各种体验，又能感受到从一般到特殊，再从特殊到一般的螺旋式上升、波浪式前进的思维过程.这样的教学过程才能真正开阔学生的思维视界，给学生予以数学方法和思想上的启迪，更好地培养学生自主学习、终身学习的能力.

标签：数学论文;  教学设计论文;  三角函数关系论文;  三角函数诱导公式论文;  特殊三角函数论文;  锐角三角函数论文;  直角三角形论文;  知识体系论文;