关注概念生成过程 ， 促进学生主动建构——“平均变化率”教学设计与评析，本文主要内容关键词为：教学设计论文,学生主动论文,平均论文,概念论文,过程论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》选修2-2第1章。
教材的地位和作用
“导数及其应用”在整个高中教材中的地位和作用是非常重要的，它既是对函数知识的补充和完善，也为今后进一步学习微积分奠定基础。通过本章的学习，促进学生全面认识数学的价值（应用价值、科学价值、文化价值），使学生对变量数学的思想方法有新的感悟，从而进一步发展学生的数学思维能力。
《普通高中数学课程标准（实验）》对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种“规则”来学习的处理方式，而是按照“平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义”的顺序来安排，用“逼近”的方法定义导数，这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。平均变化率是本章的一个重要的基本概念，本节课是“导数及其应用”的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。
教学目标
1.知识与技能
通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型。
2.过程与方法
理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率。
3.情感、态度与价值观
感受数学模型刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力。
教学重点
平均变化率的概念。
教学难点
平均变化率概念的形成过程。
教学方法
启发式教学与探究式学习相结合。
教学工具
多媒体课件、实物投影仪。
教学过程
一、创设情境，提出问题
（教师出示情境1.）
情境1：胡锦涛同志在党的十七大报告中提出：“增强发展协调性，努力实现经济又好又快发展。转变发展方式取得重大进展，在优化结构、提高效益、降低消耗、保护环境的基础上，人均国内生产总值(GDP)到2020年比2000年翻两番”。（2000年中国人均GDP为856美元，2020年约为3500美元。）
尤其令人振奋的是：十六大以来，我国国民经济保持平稳快速发展，2002年我国人均GDP首次超过1000美元，达到1100美元，在短短的4年内于2006年又超过2000美元，达到2010美元。我国已经由低收入国家步入了中等收入国家行列，标志着我国在向全面建设小康社会的进程中又迈出了坚实的一步。时间x／年
2000
2002 2006 2020人均GDPy／美元
856
1100
2010 3500
师：如何从数学角度刻画2002年至2006年这4年我国人均GDP“猛增”？
生1：可以用GDP增长的百分率来刻画。
师：还有不同想法吗？
生2：可以用平均每年增长的GDP来刻画。
（师生合作，共同计算出平均每年增长的GDP；师生探究，得出比值反映了在某一时间段内我国人均GDP变化的快慢程度。）
（教师出示情境2.）
情境2：如图1所示。
南京龙江小区近十来年的房价变化图
师：如何从数学角度刻画龙江小区近十来年的房价“暴涨”？
生3：可以通过计算：
(1)1995年至2005年这10年内房价平均每年增加多少元？
(2)2005年至2006年这1年内房价平均每年增加多少元？
(3)2006年至2007年这1年内房价平均每年增加多少元？
比较所得结果，知可以用平均每年增长的房价来刻画。
（师生合作，共同计算出平均每年增长的房价；师生探究，得出比值反映了在某一时间段内房价变化的快慢程度。）
（教师出示情境3.）
情境3：如图2所示。
师：11:15～11:25这段时间内股指发生了怎样的变化？
生4：11:15～11:25这段时间内股指“跳水”了。
师：如何从数学角度来刻画？
生4：可以用通过计算：
(1)A～B这段时间内股指平均每分钟下跌多少点？
(2)11:15～11:25这段时间内股指平均每分钟下跌多少点？
比较所得结果，知可以用平均每分钟股指下跌的点数来刻画股指“跳水”。
（师生合作，共同计算出平均每分钟股指下跌的点数；师生探究，得出比值反映了在某一时间段内股指变化的快慢程度。）
（教师出示情境4.）
情境4：某市2007年3月和4月某天日最高气温记载如下表和图3所示：时间t/d
3月18日
4月18日
4月20日日最高气温T/℃
3.5
18.6
33.4
4月20日那天人们会惊呼“天气热得太快了”！
师：如何从数学角度刻画气温“陡升”？
生5：可以用通过计算：
(1)3月18日～4月18日这31天内气温平均升高多少摄氏度？
(2)4月18日～20日这2天内气温平均升高多少摄氏度？
比较所得结果，知可以用平均每天气温升高的度数来刻画气温陡升。
（师生合作，共同计算出平均每天气温升高的度数；师生探究，得出比值反映了在某一时间段内气温变化的快慢程度。）
【设计意图】通过GDP猛增、房价暴涨、股指“跳水”、气温陡升等贴近学生生活的实例，让学生感知客观世界存在着变化快慢不同的现象，并通过探索得到可以用平均变化率来刻画这种快慢程度。通过对生活中的实例的分析达到概念的自然形成，学生不会感到突兀，而会觉得数学来源于生活，生活中处处蕴含着数学化的知识，同时可以提高他们学习数学的主观能动性，这样的教学效果比较好。
二、意义建构，建立概念
师：前面所研究的4个情境中都有两个变量，可以用什么模型来刻画两个变量之间的关系？
生6：函数模型。
师：用什么数学模型刻画函数值变化的快慢程度？
生7：可以用函数值的差与自变量的差的比值来刻画。
师：很好。这个比值称为函数在某一区间上的平均变化率。
【设计意图】由特殊到一般给出函数f(x)的平均变化率的定义，并了解它的几何意义。通过学生活动及模仿举例，使学生理解平均变化率概念在生活中的应用。
三、探究活动，感悟概念
师：在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，据此，你能评价甲、乙两人的经营成果吗？
生10：不能评价。因为条件不够，比如没有时间限制。
师：如果甲、乙两人投入相同的资金经营某商品，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，你能评价甲、乙两人的经营成果吗？
生11：乙的经营成果好。因为乙5个月挣到2万元，甲平均1年挣到2万元，说明乙平均每月挣钱的速度比甲快。
师：试举出生活中与平均变化率有关的例子。
（学生举例。教师备用例子有刘翔110米栏、蹦极运动等。）
【设计意图】通过活动让学生用“平均变化率”模型解释生活中的数学问题，使学生丰富对“平均变化率”模型的认识，同时启发学生运用“平均变化率”概念探究新问题，提高他们学习数学的主观能动性。通过师生交流、学生活动及时了解学生的学习状况。
四、例题讲解，运用概念
例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图4所示，试分别计算该婴儿从出生到第3个月、第6个月到第12个月体重的平均变化率。
（学生回答，教师板演，按要求计算得出结果。）
师：算完两个数值后有何想法？
生12：说明平均变化率这个量可以反映婴儿从出生到第3个月体重的增长比第6个月到第12个月体重的增长快。
（师生合作，共同感悟平均变化率这个数学模型的实际意义。）
例2 已知函数f(x)=2x+1,g(x)=-2x，分别计算在区间[-3,-1]和[0,5]上f(x)及g(x)的平均变化率。
（学生按要求计算得出结果。）
师：有没有其他办法解答此题？
生13：不用算就可以知道答案，因为所给的函数都是一次函数，由平均变化率的几何意义就可以得出答案。
师：很好，那么一次函数y=kx+b(k≠0)在区间[m,n]上的平均变化率有什么特点？
生14：一次函数y=kx+b(k≠0)在区间[m,n]上的平均变化率为定值k。
（启发学生运用概念探究新问题，提高学习数学的主观能动性。）
【设计意图】例1问题尽管简单，但通过要求书写规范，可以培养学生好的答题习惯。例2可以运用概念计算得出结论，从“数”的角度理解“平均变化率”概念；同时从“形”的角度通过平均变化率的几何意义得出解答，两者殊途同归。例题讲解，由数学外部到数学内部，从模仿举例、尝试探究到拓展应用，使学生加深对平均变化率概念的认识。
五、尝试练习，巩固概念
练习：一运动质点的位移s与时间t满足
，分别计算s(t)在下列区间上的平均变化率。（位移单位为m，时间单位为s）：
(1)[1,3];
(2)[1,2];
(3)[1,1.1];
(4)[1,1.001];
(5)[1,1.0001]; (6)[0.999,1];
(7)[0.99,1];
(8)[0.9,1]。
（学生按要求计算得出结果）
师：从计算结果中能发现什么吗？
生15：这组数值反映质点在区间(1)～(5)上的速度增加得越来越慢，特别当区间[1,t]中的t逼近1时，平均变化率的值逼近2。
师：（思考3）如何刻画t=1这一时刻质点运动的快慢程度呢？请课后思考。
（教师接着利用几何画板进行数与形相结合教学，使学生感悟瞬时变化率可以刻画质点在某一时刻运动的快慢程度。）
【设计意图】由区间长度的缩小，通过计算从数的角度观察相应的平均变化率变化的趋势，通过几何画板的演示，从形的角度进一步感悟变量数学的思想，通过逼近的思想方法为瞬时变化率的学习作铺垫，达到承上启下的作用。
六、回顾反思，理解概念
师：（小结）学习这节课的收获是什么？你想进一步探究的问题是什么？
生16：这节课我的收获是定义。我想进一步探究的问题是：如何刻画质点在某一时刻的快慢程度？
【设计意图】通过开放式小结，使学生学会学习，培养他们学习的主动性。
七、布置作业
必做题：课本第7页的第2题和第3题。
选做题：我们都吹过气球，回忆吹气球的过程可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢。请从数学角度描述这种现象。
思考题：一运动质点的位移s与时间t满足，如何刻画t=1这一时刻质点运动的快慢程度呢？（位移单位为m，时间单位为s）
【设计意图】必做题、选做题、拓展题，分层教学，因材施教。选择不同层次的练习，以利于学生巩固知识、提高能力。
【评析】微积分的创立是数学发展的里程碑，它的发展和广泛应用开创了数学的新时代，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。由于新教材不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是按照“平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义”这样的顺序来安排，用形象直观的“逼近”方法定义导数。因此学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念。作为本章的起始课，“平均变化率”这一课学生的学习效果将对后续学习微积分产生重大影响。
教师精选了大量丰富多彩的问题情境，紧密联系生活实际，内容的选择和呈现关注现实意义和学生的经验及兴趣，使学生体会“平均变化率”知识的发生、发展过程，加深了学生对“平均变化率”的感受和理解。上课之初，教师创设了“GDP猛增”“房价暴涨”“股指‘跳水’”“气温陡升”四个情境，有效地激发了学生的学习兴趣。在得出“平均变化率”概念后，教师又将教材中的练习1改编成一个活动，加深了学生对概念内涵的理解和掌握。另外，教师将课本中的4个例题进行了重组，将教材中的例4，改为本课中的例2，通过师生共同探究得出一次函数y=kx+b(k≠0)在区间[m,n]上的平均变化率的特点；将教材中的例2改编为本课中的拓展性问题，通过由区间长度的缩短，计算并观察相应的平均变化率的变化趋势，进一步感悟变量数学的思想，也为瞬时变化率的学习做好了铺垫。
教师设计了一系列具有可操作性的、而且能体现数学内涵的活动。例如，学生尝试对“平均变化率”下定义，“商品经营问题”的探究，“质点运动问题”的探究等，使学生经历观察猜想、操作分析、交流研讨、感受体验等活动过程，引导学生积极主动地参与教学过程，有效地帮助学生构建和发展认知结构，积累数学活动的经验和研究问题的方法。
教师将教学内容问题化，将问题作为教学的出发点，始终让学生面对适度的困难，开展尝试和探究。教师积极为学生创设问题情境并启发诱导，逐渐造成学生的认知冲突，激发学生的求知欲和思维的积极性，让学生在迫切要求之下学习。在导入情境中，教师设计的问题围绕“如何从数学角度刻画”；在建立概念部分，设计了核心问题：“你能给出函数f(x)在区间
上平均变化率的定义吗”和“平均变化率有什么几何意义”；通过“探究活动”中的3个问题帮助学生感悟概念；通过“例题教学”中的2个问题引导学生运用概念；通过“尝试练习”中的1个问题帮助学生巩固概念。这些问题组成了一个循序渐进的问题链，为学生搭设了合理的台阶，也为学生学习扫除了障碍。总体而言，本课中设置的问题结构合理，难易分布适度，对提高教学目标的达成度和促进学生发展起到了重要的作用。
本节课中教学反馈也较充分，高密度的提问成为课堂教学的重要形式，参与师生对话交流多，学生探究活动和练习也较多，这些做法能保证师生间信息迅速传递，有利于消除学生不确定的认识，也较好地反馈了学生的学习状况，教师也能根据学生的学习状况适时调整教学定位及进程。另外，本课的教学反馈中还有学生的自我评价的参与。
教师对学生学习的评价追求评价主体和方式的多样化，关注学生的学习过程，关注学生的感受、体验，关注学生参与活动的程度（如在学习过程中的主动性、独立思考与认真程度）和在活动中表现出来的思维水平（如学生在活动中的投入程度以及学生在活动中思考问题的准确性、广阔性、灵活性等），增强了教学的情意性。
总之，本节课的教学既遵循数学教学的规律，又充分显示执教教师的智慧，既注重学生的学习过程，又培养学生的学习能力，不失为一节好课。本课也因此在“2007年江苏省高中数学青年教师优秀课观摩与评比活动”中获得第一名。