如何表示2的算术平方根：七年级学生的创新设计_创新设计论文

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      数学符号的历史可以让学生认识数学和数学活动的本质让学生自己动手创造数学符号，则是积累数学活动经验的一种途径.实践证明，如果教师在课堂上能够将学生所创造的符号与历史上数学家曾经创造过、但今日可能已被淘汰的符号进行比较，让学生感受到两者的相似性，那么学生与数学的心理距离将得以拉近，学生的自信心将得到提升，学生对数学活动将会有更深刻的认识.[1]

      那么，为了表示2的算术平方根，七年级学生能创造出哪些数学符号？这些符号是否具有历史相似性？从中可以看出学生的理解现状如何？他们对于数学符号特征又有怎样的认识？为了回答上述问题，我们对上海某初级中学七年级9个班级共310名学生进行了测试.测试题为：“我们已经知道，面积为2的正方形的边长用符号

来表示.请你也来构造一个新的符号，用以表示面积为2的正方形的边长，并简单说明构造的理由.”所有学生在学校里都刚学过第一个无理数

.

      一、学生设计的符号

      在总共310名学生中，283人（占91.3%）为“2的算术平方根”设计了符号，其中合理的符号可以分为几何图形、借鉴、运算、指数、字母、艺术、其他共七类.

      1.几何图形类

      （1）面积为2的正方形边长

      130人（占41.9%）采用几何图形符号来表示

.其中，最普遍的符号是“内含数字2的正方形”，表示“方二之面”；一些学生在正方形某一边的外侧添一个大括号或一条线段，或将某条边加粗，或在某一条边上划两根短杠，以强调所设计的符号表示正方形的“边长”，如图1所示.

      

      有的学生将正方形的一条边画成虚线、三条边画成实线，虚线表示

；或将三条边画成虚线、一条边画成实线，实线表示

；或将一条边两端或一端延长，如图2所示.

      

      部分学生在正方形下方标2，而在正方形的一条边上标一个箭头，或在正方形的右边标2或标带括号的2，或在正方形的左侧或上侧标上字母a，如图3所示.

      

      还有学生用正方形的一部分（三边、两边或一边）与数字2组合起来表示“面积为2的正方形的边长”，这类符号更加简洁，如图4所示.

      

      （2）其他几何图形

      部分学生用单位正方形的对角线或直角边为1的等腰直角三角形的斜边来表示

.还有少数学生用内含数字2的圆来表示

.个别学生用内含数字2的三角形或内含2的两条平行线来表示

.如图5所示.

      

      2.借鉴类

      54人（占17.4%）在设计符号时直接利用或借鉴了今天通用的根号“

”.较多的学生将该符号施以反射变换，得到新符号；或者将反射后的符号与原来的符号组合成对称的新符号.还有学生将“

”做了部分改动，如图6所示.

      

      3.运算类

      

      

      4.字母类

      17人（占5.5%）利用字母来设计新符号.比较典型的有：

      ·用a表示正方形的边长，内含数字2表示正方形的面积，于是得到符号

；

      ·用S表示正方形的面积，内含两个数字2的符号

；

      ·因为

与π一样是无理数，故用希腊字母π与数字2的组合来表示它，得到符号

；

      ·“平方根”的英文为square root，取其首字母，即得符号SR2；

      ·“根”的英文为root，取其首字母，即得符号R2；

      ·取“根号”二字的汉语拼音首字母gh，得到符号

；

      ·取“边”的汉语拼音首字母B，得到新符号

；

      ·取“正方”二字的汉语拼音首字母ZF，得到新符号

；

      ·由“边长”联想到英文“length”，取首字母是L，得到新符号L2.

      5.艺术类

      7人（2.3%）从美观的角度来设计符号.典型的有蝴蝶结、笑脸、五角星、太阳等，如图7所示.

      

      有27人（占8.7%）设计的符号并不属于上述各类型，但大多十分简洁，如

等.

      

      二、若干评论

      1.历史相似性

      

的几何意义是“面积为2的正方形的边长”，沪教版七年级数学教科书中以此引入

.由于学生初次接触

，对于无理数还没有深刻的认识，因此我们将问题表述为“请你创造一个新的符号来表示面积为2的正方形的边长”，而不是“创造一个新的符号来表示2的算术平方根”受课本、课堂教学以及问题表述方式的影响，设计几何图形符号的学生比例是最高的.

      从历史上看，正方形先后被16世纪法国和意大利数学家用来表示未知数的立方和平方，17世纪，对数发明者、英国数学家纳皮尔曾用“

”表示平方根，用正方形表示五次方根，但他的符号似乎并非源于几何意义.因此，学生的几何图形符号并不具备明显的历史相似性.位居第二的借鉴类符号源于今天的通用符号，并没有多少创新性.

      在运算类符号中，在2前面加点来表示平方根，重复了历史上德国数学家的做法，15世纪德国数学手稿中提及这种符号[2].而用上标或下标来表示平方根，则已经有了分数指数幂的萌芽，是非常有创意的.

      历史上数学家创造的根号主要源于文字的缩写.数学上，“根”这个词源于阿拉伯，传入欧洲后，“根”被译为拉丁文“radix”，于是，它的首字母R或r就被15-16世纪数学家用来表示平方根.[2]按照欧拉的说法，16世纪德国数学家鲁道夫创用的符号“√”就是源于字母r，是r的变形（上方的横线是后来笛卡儿加上去的，便于表示复杂的根式）.法国数学家拉缪斯则用拉丁文“边”（latus）的首字母“l”来表示平方根[2]因此，学生创用的字母类符号最具历史相似性.

      2学生对

的接受程度

      本次调查是在学生初识

后实施的.从学生创造的符号，特别是几何图形符号以及运算符号来看，他们对

的接受程度是相当好的，相当多学生能给出清晰的几何表征我们知道，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正方形对角线与边长之比时发现不可公度量的存在性也就是说，无理数的发现源于几何情境教材和课堂教学从几何情境出发引入无理数符合历史规律，也易于创造学生学习新数的动机.

因此也易于为学生所理解.

      3.数学符号史在教学中的缺失

      虽然学生创造的字母符号具有历史相似性，但这类符号所占的比例很低.究其原因，学生对根号“

”的起源一无所知，大多数学生并不知道，可以从文字缩写的角度来设计平方根的符号，而这又源于课堂上符号史知识的缺失.虽然“

”是一个全新的符号，但教师不加任何解释地使用它，就像使用“+，-，×，÷”等符号一样.

      4.学生对数学符号特征的片面认识

      直观、简洁、贴切、普适，是数学符号的重要特征虽然学生几乎每天都会接触到各种数学符号，但从他们所创造的大多数符号来看，他们对于数学符号特征的认识是片面的.多数几何图形符号和部分运算符号都很直观，而多数艺术类符号都很美观，但它们都不够简洁，书写不够方便，且其中的大多数并不具备普适性，不能适用于其他数字的平方根或根式.借鉴类符号中，多数属于“画蛇添足”.不如原来的符号简洁.其他类符号虽然大多很简洁，但不够贴切，因为它们与“根”的含义没有必然的联系.

      以上我们看到，关于2的算术平方根，绝大多数学生能够创造出自己的新符号，这些符号表明，学生对于

这一全新的实数的接受程度是比较令人满意的，相当多学生对该数给出了十分清晰的几何表征；教材和教学在激发学生学习无理数的动机、促进学生对无理数的理解方面是比较成功的.少数学生设计的字母符号具有显著的历史相似性，但由于符号史在教学上的缺失，多数学生未能从文字缩写角度去创造根号.绝大多数学生所设计的符号具有直观或美观的特点，但简洁性和普适性明显不足，反映了他们在数学符号认识上的片面性.

      将数学史融入无理数教学并非什么新鲜事物，但绝大多数教师往往局限于西帕索斯发现无理数的故事.让学生创造表示平方根的新符号，呈现历史上数学家创造的根号，让学生穿越时空与古人对话，必能更好地发挥数学史的教育价值.

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