为什么简单的想法学生不接受——基于数学理解的教学案例研究，本文主要内容关键词为：不接受论文,教学案例论文,想法论文,数学论文,简单论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题提出
2010年10月，我校数学教研组开展教研活动，一位教龄近十年的中年教师开设了公开课，内容是高一年级的“函数的单调性”新授课.教师在教完“增函数”的概念后，为了检测学生对“增函数”的概念是否真正理解，教师给出了1个课堂练习，课堂上师生的活动情况是这样的：
教师：大家有没有不同意见？
学生：……（沉默）
教师：大家有没有注意到增函数定义中两个自变量的值在定义域内某个区间上是“任意”取的？
学生：……（沉默）
学生：不能判断f（x）在[0，+∞）上为增函数.
教师：为什么？
学生：因为0作为
是固定的，不是任取的，不符合增函数定义.
教师：理解增函数定义有个简单想法，一看：看自变量是固定还是任意；二验证：用特殊函数验证.
二、问题分析
学生对增函数的定义真正理解了吗？对这一个教学环节课后进行的讨论中主要有两种看法：一部分教师认为为了让学生理解增函数的概念，教师教法切合学生实际理解力水平，把对高一新生比较抽象的概念的理解过程可操作化，尤其是一看二验证两个步骤明白简洁易懂，并且认为掌握了一看二验证可以解决目前碰到的大部分和增函数有关的问题；另一种观点是对此有质疑：认为一看二验证两个步骤表面上看明白简洁易懂，但这样的教学处理方式真的有助于学生认识到出错的原因和所学知识的本质吗？
学生情况究竟是怎么样呢，课后对学生的访谈中发现大部分学生觉得并没有比较“舒服”地理解了增函数的定义（学生原话），他们最纠结的竟然是为什么一定要用验证而不是直接推理.
一看二验证看上去是简单，但实质上是“迁就”了学生的理解力，更由于思维方式上的差异，学生并不接受老师认为的简单方法.“迁就”学生的理解力的教学是无为教学，高中数学课堂教学核心问题是帮助学生完成在现有学习能力下向高认知难度的学习任务攀升.
三、改进后的教学行为
1.探求新的教学思路
新的教学设计着重考虑：（1）利用直观图形启发学生的思维，通过学生的自主探究活动，既包含外部操作性活动，也包括内在思维性活动，帮助学生完成单调性定义从感性认识到理性认识的飞跃.（2）设计适当的“铺垫”（有层次推进的策略），即为学生提供丰富的联系，也为学生提供必要的思维阶梯，帮助学生完成在现有学习能力下向高认知难度的学习任务攀升.
问题（1）下面是我市2～10月气温变化的图象但有一部分破损了，请你补完整并说出你的理由.
问题提出后学生思考积极，课堂观察发现开始出现思维呆板性的一面，学生较多是画出下图中的①或②，但稍后就有学生画出其他图形如③.
教师：为什么要求是任意值？
学生3：增函数“时时刻刻是在增加的”呀！（学生的个性化理解产生了）
教师：“时时刻刻是在增加的”通过什么式子体现？
2.问题是怎样挤压出来的
改进后的教学行为更贴近学生的真实思维过程，教师设计了适当的“铺垫”让学生在现有学习能力下完成单调性定义从感性认识到理性认识的飞跃.问题（1）作用在借助图象让自变量变化与函数值对应变化关系外显成学生的感受，这种“感受”是不可缺省的，数学中抽象概念的理解都是依据这种“感受”实现的.同时问题（2）、问题（3）为学生构建了新的认知冲突，并让原来的“感受”在新的问题情景中借助数学语言建立合理的逻辑联系，这个过程是最有意义的学习，学生进行了多层次的分析、判断、合理化解释的思维活动，挤压出新的问题，并获得个性化理解.
四、思考与建议
1.简单的想法并不是学生最容易理解的
在教学实践中有一个非常有意义的事实，教师喜欢用反例来说明问题（因为简洁明了），觉得这样想是最简单的，潜意识地认为学生也应该沿这个方向去思考.事实上学生喜欢用推理来说明问题.为什么会有这样的现象？深层次的原因是只有在对知识理解到位的个体才有产生举反例的思维活动的心向.大部分学生面对一个并没有完全理解的知识时，他总是试图去“论证”它而不可能去“否决”它，一开始思考时，教师就让学生用反例来思考解决，学生的心里当然感觉不“舒服”.本案例中教师通过举反例来说明自变量的任意性，从数学说理的角度的确是最简单，学生不认为容易理解.这是一对矛盾，本原上分析是教师的数学思维和学生数学思维的差异，究其原因是学生的数学理解的形成必须要以学生的自主数学思维活动为前提，这种思维活动既有操作性活动成分，也包括逻辑性活动成分.在个体数学理解的形成过程中，通过积极的智力参与，主动积极的外部活动过程逐步内化为主体内部的心理活动过程，并从中形成主体的内心体验，一种基于个体自身结构特征的数学理解得以初步形成.数学理解本质上就不可能简单化.
2.建立丰富联系是帮助学生理解数学的最有效的教学
要对数学知识形成真正的理解，这意味着学生经历了数学知识由细碎的、片段的到结构化的整合过程，而希伯特教授则用信息的内部表示和构成方式来描述理解，他说“我们认为一个数学的概念、方法或事实是理解了，是指它成了内部网络的一个部分.更确切地说，数学是理解了，是指它的智力表示成了表示网络的一个部分.理解的程度是由联系的数目和强度来确定的.”即理解的程度是由联系的数目和强度来确定的.这就是说建立丰富联系是帮助学生理解数学的最有效的教学.
面对新的数学知识学生更希望有一种自然的逻辑方式去认知，学中有些简单的想法，的确能揭示某一方面的数学本质，教师觉得对学生理解非常有效.事实并非如此，教学还是需要建立丰富联系来帮助学生理解数学.