论数学问题提出和数学活动经验的关系，本文主要内容关键词为：数学论文,关系论文,经验论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
问题提出是培养学生创新意识的有效切入点，而数学活动经验对学生数学素养的形成具有重要作用。《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》在总体目标中对学生的提出问题能力和数学活动经验分别做出了明确要求。史宁中等提出基础教育学科教学实施素质教育的基本路径中有：在基本知识、基本技能的基础上加上基本思想与基本活动经验，在分析问题与解决问题能力的基础上加上发现问题与提出问题的能力[1]。问题提出（这里的问题提出指数学问题提出，下同）作为一种数学活动，必然和数学活动经验存在着密切关联，这种关系的揭示对增强数学课堂教学的有效性具有重要理论意义。本文拟在有关成果的基础上，对义务教育阶段数学课堂上学生的问题提出与数学活动经验的关系做些探讨。
一、数学活动和数学问题提出与数学活动经验
学生的数学活动主要是指学生在教师指导下开展的以实物、模型、数学的语言、数学的思想、方法和策略为操作工具，以完成某种数学任务为目标，通过看、听、说、做、思等形式，涉及认知、情感、意志、行动全面参与的学习数学和应用数学的行为活动、思维活动以及情感活动相互交织的活动集合体[2]。问题提出指新问题的提出和对已有问题的重新阐释，它可以发生于问题解决之前，问题解决之中和问题解决之后。从动态的角度看，它是主体“问题意识”的形成和数学问题的生成过程。这个过程由以下环节链接而成：观察、分析数学情境——形成问题意识——对“问题”信息进行收集、选择与分析——形成问题表征——（书面的或口头的）表达数学问题[3]。由此可见问题提出不仅是一种教学目标，一种问题解决的手段，还是一种相对独立的数学活动。
学生数学活动经验就是学生在经历数学活动的过程中获得的关于数学活动目的、数学内容意义、数学活动行为及其方式的转换以及数学活动环境等方面的感受、理解、领悟、体验及由此获得的数学知识、技能、智慧、情感与观念等内容组成的有机组合性经验[2]。为便于阐述，可将这种有机组合性经验简单分为动作技能性、认知性、情感体验性与观念性4个层面的基本内容，也可将它分为过程性和结果性活动经验[2]。它们具有内隐性、主观性、过程性等特征。从问题提出活动中学生必将获得丰富的数学活动经验。
二、数学问题提出是数学活动经验的源泉之一
史宁中等认为：基本活动经验是指学生亲自或间接经历了活动过程而获得的经验[1]。按活动主体可把问题提出分为学生自身的问题提出和教师、同伴等他人的问题提出两类。因此，学生可从前者中获得直接经验，而从后者中获得的是间接经历问题提出活动过程所获得的经验，可称为替代性经验。问题提出是学生得以获得广泛数学活动经验的一种数学活动。
1.在自身问题提出活动中，可获得动作技能性、认知性和观念性经验
学生数学活动经验来自数学活动，在问题提出过程中学生可获得并积累丰富的动作技能性、认知性及观念性数学活动经验，以利于他们后继数学活动，特别是问题提出的顺利展开、数学思想方法的领悟、数学观念的形成。具体表现在以下3方面：一是关于问题提出的方法、策略：根据数学情境中的信息，按照逻辑推理或猜想，从观察、实验、类比、归纳中，提出数量关系或空间形式的问题；在解决给定问题的过程中或改变给定问题的限定条件提出问题；在解决问题后的回顾与反思中提出问题[4]；否定假设法等。二是对一些数学思想、方法的认识和应用：如何类比，如何不完全归纳，如何形成猜想、验证，如何化归，如何建模等。三是对问题提出的认识：问题提出是问题解决的一个重要手段，它使人知识更丰富、头脑更聪明、更富创造性。特别指出的是，提出的问题是问题提出的结果性经验。
2.在自身问题提出活动中，可获得情感体验
问题提出的教学不仅可以培养学生问题意识（问题意识中含有相当多的情感体验成分），而且可平缓学生的数学学习焦虑，激发学生的数学学习兴趣，因此从问题提出活动中学生可获得丰富的情感体验。一些实验性的研究也证实了这种观点。Winograd研究发现，学生们非常喜欢解决他们自己提出的问题，特别是发现别的同学对自己提出的数学问题很感兴趣的时候，学生就更加喜欢提出问题这种活动[5]。从现实数学教学中可发现学生喜欢这种活动的前提是让他们提出自己喜欢的数学问题。李荣等研究表明问题提出教学对学生数学焦虑具有平缓作用[6]。余姚市实验学校的研究表明问题提出教学使学生对数学的兴趣明显提高[7]。
在问题提出中形成的对事物的积极情感体验会促进主体对数学内容进行深入理解和产生丰富联想，进而对它产生领悟和生成意义，生成问题；生成的问题反过来又会加深上述情感体验。其中积极的情感体验会促使学生再次提出问题。这样两者就会形成一种良性互动。
3.从他人问题提出活动中，可获得替代性经验
戴尔认为当直接经验无法满足时，应该寻求观察的经验作为“替代性经验”以弥补、替代直接经验的不足[2]。数学课堂上，高于学生经验的教师无疑是学生获得替代性经验机会的最好提供者。同伴有时也能发挥类似的作用。
面对新的需要学生提出问题的数学课堂，在习惯于师讲生听或师问生答的传统现实中，许多学生不会、不敢或不善于提出问题。面对此种情形，某些优秀教师根据课堂情境为学生示范提出数学问题，使他们获得了替代性经验，生成问题意识，进而提出问题；或者多次示范提问并提出适当的提问要求，使学生提问逐渐由他控转变为自控。示范的前提是教师会问和善问。在此过程中，教师应充分暴露自己分析情境、产生困惑、逻辑推理和理论抽象、语言组织的整个过程。另外，教师若能对学生同伴的“漂亮”的问题提出处理得当，使其暴露活动过程，学生从中也能深受启发、获得好的数学活动经验。这种替代性经验同样可分为动作技能性、认知性、情感体验性与观念性4个层面。
三、数学活动经验是数学问题提出的基础
充足的数学活动经验是学生提出高质量问题的基础，例如丰富的知识和生活经验、数学课堂上的体验、问题提出经验等可为问题提出奠定良好的知识、方法、情感和观念等基础。二十多年来，国内外数学问题提出的教学研究大致可分为两个方面：一是以“问题解决”为视角的研究；一是以“问题意识”为视角的研究[3]。活动可分为外部活动和内部活动两种形式[2]，相应地，数学活动（经验）也可分为内部数学活动（经验）和外部数学活动（经验），这里把对具体、形象的事物进行具体操作和探究所获得的数学活动经验称为外部数学活动经验，以区别于从内部心智活动中获得的内部数学活动经验。外部数学活动经验的获得是新时代义务教育阶段学生数学创新发展的特别诉求。加之数学活动经验内涵的丰富复杂性与外延的开放交叉性，很难通过对其做出一个明确的分类来阐述它对问题提出的基础作用。基于以上分析，我们将从中选取问题意识、问题解决经验和外部数学活动经验3种数学活动经验来阐明这种基础作用；它们相互交叉，又有相对独立性，对问题提出发挥着不同的作用。
1.问题意识是问题提出的直接基础
问题意识是指学生在认识活动中遇到一些难以解决的、疑惑的问题时，产生的一种怀疑、困惑、猜测、探究的心理状态，其表现是：好奇心、怀疑、困惑、探究[4]。由问题提出和数学活动经验的涵义，可知问题意识是一种和问题提出有着“直接”联系的数学活动经验，对问题提出具有直接基础作用。在数学学习过程中，问题意识主要是发现问题的意识，有了问题意识未必能提出问题，但没有问题意识肯定提不出真正的问题。学生在已有问题意识上，经过选择、分析、意识外显、言语归纳等过程，可不断提出问题，大胆创新。问题意识越强烈，学生思维越深刻，越富有创造性，提出的问题就越具有“流畅性、灵活性和独创性”。问题意识可通过保护学生的好奇心、培养学生质疑提问习惯、创设“开放”的教学情境、重视引导学生发现和提出问题等策略进行培养。问题意识和问题提出活动在数学学习过程中相互引发、相互促进。
2.问题解决经验是问题提出的重要基础
问题解决和问题提出是两种存在紧密联系的数学活动。Silver和Cai调查研究发现，与问题解决能力低的学生相比，问题解决能力高的学生提出更多的数学问题和更复杂的数学问题。Cai和Hwang研究发现，对于中国学生来说，问题提出的类型和多样性与问题解决能力的高低存在显著性的关系[5]。所以，问题解决经验在很大程度上影响着问题提出，是其重要基础。
特别地，问题解决包括对初始问题的连续的再阐述；对一个复杂问题的解决过程，包括提出一些连续的更精炼的问题。这一系列问题提出的同时，也将总的解决问题的目标分解为一层层的次目标，通过逐次对次目标的实现，达到对原问题的最终解决。从多次类似活动中积累起的问题解决经验包括问题提出经验可为问题提出打下良好基础。解决问题之后的反思可将内隐和散乱的活动经验系统化，使之提出更高层次的问题。波利亚的“怎样解题表”给予上述问题很多启示，其中的几十个问句和提示可以使学生积累丰富的问题解决经验。这些问题解决经验又促使其逐渐内化为学生自己的提示语，进而提高学生元认知能力和问题提出能力。
3.外部数学活动经验是问题提出的现实基础
深层次的数学学习应该是以内部活动为主，但在义务教育阶段，学生的年龄和认知特点决定了学生的数学学习很多时候需要借助一定的外部活动来生成内部活动或把内部活动外化为外部活动。学生从数学课堂上的“剪一剪”、“拼一拼”、“做一做”、“猜一猜”等数学活动中可获得丰富的外部数学活动经验，但此种经验的获得只是教学的起点，它还需学生个体在自主探究中、在学习共同体里的教师指导及和同伴的讨论交流中进行去粗取精、反思、抽象、概括，把外部数学活动逐步转化为内部数学活动，形成内部数学活动经验，为学生获得更抽象内部经验打下基础；反过来，内部数学活动经验会指导学生的“剪一剪”、“拼一拼”、“做一做”。在学生的内、外部数学活动相互转化和内、外部数学活动经验相互作用的过程中，他们极可能萌发问题意识，提出数学问题。因而外部数学活动经验是问题提出的现实基础。学生从游戏情境和实践情境中获得外部数学活动经验进而提出数学问题就是很好的证明。
学生在问题提出活动中可获得和积累广泛的数学活动经验，其中提出的数学问题作为问题提出的结果性经验又可成为学生的后继数学活动任务，激发其活动动机，为问题解决经验积累提供可能。充足的数学活动经验可为高质量的问题提出活动打下坚实基础。这样在数学课堂教学中就会形成一个“问题提出活动——数学活动经验——问题提出活动……”从活动到经验再到活动的相互引发、相互促进、循环往复、螺旋上升的过程，过程的理想结果是学生提出数学共同体解决不了的问题。因此同时作为数学课程目标的问题提出能力和数学活动经验是互为基础，相互促进的关系。
四、数学问题提出与数学活动经验关系的案例检验
数学“情境—问题”教学实质上是以数学情境为基础，以数学问题为纽带的教学[4]。它也是数学活动的教学。教学中，学生在教师引导下的数学活动的基本过程包括初步感受、分析活动情境，形成问题意识，提出数学问题，探索解决问题的思路和方法，反思、交流与总结所经历的思考和探索，形成并运用一定的观点和方法等。在此活动中，学生可提高问题提出能力和获得广泛的数学活动经验。
我们将以数学“情境—问题”教学思想为主导思想的一则教学案例——“图形面积等分”来检验问题提出和数学活动经验的关系。
1.“图形面积等分”教学过程简介
限于篇幅，本文仅介绍“图形面积等分”一课教学过程中提出数学问题和解决数学问题的教学概况。详细的教学过程，可以参见“初中数学‘情境—问题’教学的校本化研究——‘图形面积等分’教学案例”一文[8]。
该教学过程主要包括4个环节：①预设问题情境。教师根据课前对学生数学现实的了解，提出预设问题——矩形饼的等分问题，引导学生探究、讨论出多种解决方法，如“过中心直线”，并利用割补原理验证其可行性。②提出数学问题。学生在解决预设问题的基础上，提出多个问题。教师根据教学目标筛选出三角形、梯形、缺角矩形、缺角不规则图形4个图形的面积等分问题。③探究解决数学问题。在教师引导下，首先，学生积极思考、讨论，应用“过中点（线）直线”和“平移直线”等方法先后解决了三角形和梯形面积的等分问题，并利用割补原理等进行了验证。其次，学生利用转化思想方法解决了缺角矩形的面积等分问题，即把该问题转化为已经解决的梯形和矩形面积等分问题。最后缺角不规则图形面积等分问题自然得到解决。④拓展新颖问题。在教师启发和帮助下，学生再次提出两个更高层次的问题，并带着它们走出了教室。课堂上不时伴随着学生积极的情感反应。
2.案例检验
问题提出和数学活动经验的关系在整个教学过程中得到很好体现：在教师引导下，学生自主探究、合作交流，数学活动经验的获得与问题提出活动、问题解决活动相互引发、相互促进，使问题和解题策略不断得到优化，有效达成了本课提高问题提出能力和积累数学活动经验的课堂教学目标。可以说数学“情境—问题”教学是一种能很好地利用两者关系促使它们作为目标得到更好实现的教学。第一，教师预设问题情境、示范提问与同伴的问题提出，使学生获得了替代性经验。第二，学生在替代性经验、解决预设问题中获得的活动经验和已有知识、解题等经验的基础上，产生了浓烈的问题意识，提出了多个问题。教师在此基础上选择了数学活动任务一致而形式不同、难度递进的4个问题作为“问题串”，引发学生进行问题解决活动的动机。第三，探究解决数学问题活动中，学生动手画图（从中获得外部数学活动经验），积极反思和交流，不断提出新的解题策略。学生根据类比等方法提出假设、验证假设、修正假设、形成结论、应用结论，获得的解题策略、数学思想和情感体验又促进了他们新颖问题的生成。第四，学生在问题提出活动与解题策略提出活动过程中获得了丰富的动作技能性、认知性和观念性活动经验。如改变条件提出问题、解题后反思提出问题、如何转化等。第五，学生在问题提出、问题解决中获得了丰富的、积极的情感体验，这些情感体验与数学活动相互交织在一起，又促进了学生问题提出、问题解决活动的进展。第六，案例中提出问题、解决问题，再次提出问题的过程，是“活动——经验——活动……”的过程，也是经验的改造与再改造的过程。解决图形面积等分中有“过中点（线）直线”、“平移直线”、“用割补原理验证假设”等方法和策略，学生把它们由矩形面积等分应用到自己提出的三角形、梯形、缺角矩形等图形面积等分的“问题串”中。学生头脑中的数学活动经验在此过程经历了改造与再改造，不断得到精微和优化，下课时学生提出了更高层次的新颖问题。进一步地说，学生在解决矩形和三角形面积等分问题中对上述策略获得的认识可能是肤浅的，经过梯形和缺角矩形面积等分问题的解决后就会趋向深刻。
五、结语
问题提出是数学活动经验的源泉之一，提出的问题作为结果性经验将成为下一数学活动的任务；数学活动经验是问题提出的基础。问题提出和数学活动经验互为基础、相互引发、相互促进。认识两者的这种关系将有利于义务教育数学课堂上学生问题提出能力提高和数学活动经验积累目标的有效达成[9～16]。
问题提出和数学活动经验的关系十分复杂，本研究对两者的关系在理论层面进行了探讨并对其结论进行了案例检验，分析得不够深入，在实践中还需进行广泛验证和修正。例如还可以从问题提出的认知心理过程、问题提出的个案等方面对其进行深入研究。
致谢：感谢重庆师范大学仲秀英博士、扬州大学李鹏博士在本文写作过程中提出了宝贵意见。