基于开放世界预设的3—值命题演算系统*，本文主要内容关键词为：命题论文,系统论文,世界论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
〔摘要〕本文致力于研究定义在满足开放世界预设的可能世界集合上的命题的逻辑结构。在文献（鞠实儿，1996和1997）的基础上，本文发展出一种基于开放世界预设的3—值语句逻辑系统（简称SLO），给出SLO的语义理论，构造相应的形式公理系统， 并证明形式系统具有一致性和恰当性。
〔关键词〕否定 3—值逻辑封闭世界预设开放世界预设
引论
在科学研究和常识推理中存在一类集合，它的元素应具有的性质（称为集合的内涵）是充分明确的，但是，根据该性质无法穷举集合的元素，例如：所有恒星的集合和非递归集等。我们称这类内涵明确且外延明确的集合为开放集合。 G.Shackle （ 1949 ， 1979 ）， L.Wittgenstein（1953），鞠实儿（1991）和R.Hinrichs（1992 ）分别从决策论、语言哲学、归纳逻辑和认识科学的角度研究了与这类集合相关的问题。通过对可能世界集合的研究，文献（鞠实儿，1977）指出：概括原则不能保证由它确定的集合的外延具有明确性；同时，在逻辑学范围内解决可能世界集合元素穷举问题是不可能的。因此，作为开放集合的特例，存在一类内函W明确且外延不明确的可能世界集合W，即开放世界，它的集合论特证是：始终可能存在着一个未在W 中被列举的可能世界W，它可列举且具有性质W。通过对开放世界的集合论和语义学特征的研究，文献（鞠实儿，1996年1977）提出了开放世界预设和基本该设的否定词真值函项。这一结果使得我们有可能发展出一种基本开放世界预设的3—值语句逻辑系统（The Three Valued Sentential Logic Based on the Open—World Assumption，简称SLO）。 本文将在以上文献的基础上，给出SLO的语义理论， 构造相应的形式公理系统和证明它的一系列元定理。
1.SLO语义理论
为了对SLO的讨论更具一般性，避免不必要的混淆，本文将对文献（1997）的论述方式略作技术上的改进，尽可能省略与语句逻辑无关的术语，例如：列举、已列举和可列举等。在研究现阶段，这些术语仅与上述逻辑系统的哲学说明有关，而在以后的集合论研究中，我们会重新提到它们。对SLO的哲学基础有兴趣的读者可直接查阅上述文献。
根据定理1.1和定理1.4～1.6的表达方式，确有可能发展出3—值模态命题演算系统和3—值谓词演算系统。但是， 我们将在后继论文中实现这种可能性。在此，谨固定某个w，在3—值命题逻辑的范围内考察问题。由此，上述定理给出了SLO的语义学，它可表述为一个非规范的3—值命题联结词真值表。作为对此，请观察定理1.2和定理1.4～1.6.这组定理给出了Lukasiewicz3—值命题联结词真值表。但是，该组定理对否定词真值函项的规范性作出了独特的哲学解释。
2.SLO形式公理系统
SLO形式公理系统的语言和赋值可定义如下：
符号表：～， →，∧，∨，←→，u，（，），p[,1]，p[,2]，p[.3]，…，p＝｛p[,1]，p[,2]，p[,3]，…｝是原子语句集。
wff集F由递归规则给出：
（i）u和p[,i]是wff.1≤i；
（ii）如果A和B是wff，～A，A∧B，A∨B，A←→B，和A→B是wff；
（iii）所有的wff由（i）和（ii）给出。
真值t，f和u上的序关系定义如第1节。
定义2.1 SLO的赋值v是一个F到｛t f u｝上的函数， 它满足下列条件：对于F中任意成员A，B
v（u）＝u，v（A∧B）＝min｛v（A），v（B）｝，V（A∨B）＝max｛ v（A），v（B）｝
3.SLO的元定理
定理3.1 SLO的所有公理是重言式。
证明：直接从定义2.1和2.2可得。证毕。
定理3.2 对于任意赋值v，如果v（A）＝v（A→B）=t,v（B）t。
证明：用反证法。设v（A）=v（A→B）＝t，但是v（B）≠t；那么存在一个对出现在A或B中的原子语句的真值指派，它使得B的真值为f或u。根据定义2.1，上述结论与本定理的条件矛盾。因此，v（B）＝t。
定理3.3（替换定理） 令A，B，A[,1]和B[,1]是wff.。如果B[,1]是通过用B替换A在A[,1]中的一处或几处出现从A[,1]得到的，同时A 逻辑等价于B，那么B[,1]逻辑等价于A[,1]。
证明：指派真值给所有涉及到的原子语句。因为A和B具有相同真值，A[,1]和B[,1]必具有相同真值。由于上述真值指派是任意的， 因此（A[,1]←→B[,1]）是重言式。证毕。
定义3.1 SLO的一个扩充是一个形式系统。该系统改换或扩大了SLO公理集，使得SLO所有的定理是该系统的定理。
定义3.2 SLO的扩充是一致的，如果不存在SLO的wf.A，使得A 和～A都是该开拓的定理。否则，它就是不一致的。
定义3.5（一致性定理） SLO是一致的。
证明：用反证法。设SLO不一致。由假设，存在一个wf.A有┣A和┣～A.根据恰当性定理，A和～A都是重言式。又根据定义2.1， 对于任意赋值v，如果v（A）＝t，那么v（A）≠v（～A）.因此，SLO必为一致的。证毕。
定理3.6 SLO的扩充SLO*是一致的，当且仅当存在一个wf,A，A 不是SLO*的定理。
证明：设SLO*是一致的，由定义3.2，对于任一wf.A，A或～A 不是SLO的定理。反之，设SLO*是不一致的，那么存在一个wf,B，┣[,SLO*]～B和┣[,SLO*]～B.根据公理10，对于任一wf.A，有┣[SLO*]（B→（～B→A.）运用MP两次可得┣[SLO*]A.因此，任一wf.A皆为SLO* 的定理。由此定理得证。证毕。
在后继论文中，我们将证明SLO的完全性定理和演绎定理。
The Three-Valued Sentential Logical Structure Based on the Open-World Assumption
Ju Shier
Abstract This paper concentrates on the logical structure ofthe propositions defined on the set of possible worlds which satisfies Open-World Assumption.The three-valued sentential logic based on the Open-World Assumption(SLO) is developed from Ju Shier(1996,1997);the semantics and formal axiomatic system of SLO are given;
and SLO is proved to have consistency and adequacy.
*本文写作过程中，作者曾得到倪德明博士的帮助， 周青博士曾阅读本文初稿，并提出批评建议。在此谨表谢意。
本文1997年7月7日收到。