谈小学空间与图形教学内容的动态处理，本文主要内容关键词为：教学内容论文,图形论文,小学论文,动态论文,空间论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
空间观念的强弱是显示一个公民数学素养高低的一个标志。国家义务教育《数学课程标准（实验稿）》（以下简称《课标》）第一、二两个学段在原来小学数学教学大纲几何学习内容基本保持不变的前提下，增加了空间与图形的学习内容，如增加了图形的旋转，确定位置等等。这说明空间与图形的学习内容在小学阶段中的重要教育价值，显示了新世纪数学课程改革的一个趋势。在新的历史背景下，如何让小学生学习空间与图形的内容，发展他们的空间观念，迫切需要探索与研究。
一、目前小学空间与图形教学中存在的问题
传统的小学几何教学以求积为中心，非常强调计算周长、面积与体积的大小。而对于空间观念的培养相对欠缺。新课程实施以后，无论是教材的编者，还是一线教学的老师在观念上都重视了空间观念的培养，也有了许多培养学生空间观念的方法，这是可喜的进步。但从总体上说，以下问题仍然存在。
1.“点动成线，线动成面，面动成体”这是几何世界中非常重要和基本的观点，也可以看成是几何图形生成的基本方法
而这些重要和基本的思想方法，在我们的小学数学教材和教学中体现不够。由于种种原因，目前的空间与图形的教学内容还是“静止”处理为主，较少应用“运动与变化”的观点来编写教材，实施教学。
2.学习了对称、平移与旋转这些几何变换以后，没有充分的应用，较少运用几何变换来认识图形，刻画特征
大家知道，《标准》中增加了几何变换的内容，小学生要学习对称、平移和旋转这些基本的概念与方法。学习这些内容，一方面可以培养学生的空间观念；另一方面，这些变换具有工具作用，它是认识其他图形特征的工具，如在推导面积公式时常常离不开平移与旋转。而目前的教材与教学中，对变换的工具作用发挥不够。
3.在计算机受到广泛应用的时代背景下，我们的许多学校也已经有了较好的硬件条件，但小学空间与图形内容教学中，通常还只是在求组合图形的面积时，应用计算机进行辅助教学
较少应用计算机把图形作动态化的处理，使得教学过程更为形象直观，更有利于培养学生的空间观念。
二、小学空间与图形教学内容动态处理的含义、方法与价值
在浙教版小学《数学》第二学段的教材的编写过程中，我们对空间与图形教学内容的动态处理的含义、方法与价值作了探索与尝试。
1.空间与图形教学内容动态处理的含义与方法
(1)含义。几何内容动态处理的含义是：运用变化的观点，创设一个动态的情境，通过想象或计算机演示等手段，使静止的图形动起来，并在运动变化的过程中，揭示图形本身的特征或者图形与图形之间的本质联系。
(2)方法。大家知道，教材内容的呈现是静态的，传统媒体对教学内容的表现形式也是静态的。那么，如何对空间与图形的教学内容进行动态处理呢？作动态处理的方法是什么呢？笔者认为，在教材编写或者在教学中，几何内容动态处理方法的核心是应用静态手段创设出一个动态的情境。从理论上说，这种动态化情境的创设有以下三种途径：一是运用纯语言文字的表达，阐述一个图形将作怎样的运动变化，使学生在理解语言文字含义的基础上，通过想象实现图形的动态变化。在这里学生要通过文字联想相应的图形，再让图形运动变化。二是纯图形的表达，它常常是呈现系列的静态图形，在这些系列的静态图形中，蕴藏着运动变化的规律，学生通过想象，将这些静态的图形串在一起，实现动态变化。三是文字与图形相结合。无论是哪一种处理方法，哪一种呈现形式都应该可以通过计算机使静止的图形动态化。而第三种文字与图形相结合的方法无疑是最常用和最重要的方法。
案例1：我们在编写四年级“线段、射线和直线”这节教材时，首先让学生认识直的线与曲（弯）的线。教材作了以下阐述：“点的运动可以形成线。想一想，下面的每一条线可以由点怎样运动形成？用手比划。
在纸上移动笔尖，能画出各种各样的线，请你画一画。并把画出的线进行分类。”
这是一个动态情景，它运用了语言文字和图形相结合的方法进行阐述。学生可以通过想象使上面静态的图形动态化。教师如果可以运用计算机辅助教学，那么，就可以逐一呈现上面的图形，即计算机逐一演示一个点的运动形成一条线的过程。也就是在计算机的屏幕上先出现一个点，并提醒学生关注，然后让点运动形成一条线（如点的运动形成一条波浪线），但这条线最后不留在屏幕上，让学生观察后，再在纸上画出刚才这个点运动所形成的线。这样的教学过程，让学生经历了“观察（点的运动过程）——想象（形成线的表象）——应用（画出点运动后形成的线）”这样的过程，这个过程对培养学生的空间观念无疑有着积极的作用。
空间与图形教学内容的动态化处理，就是要在呈现教学内容时，用运动变化的观点，创设一个（或一系列）由静止的“定态”到按某种规律运动的动态情景，让学生通过观察、想象、分析、归纳、推理，能够由静想动，从动中窥定，在变中求不变，在“动与静”“变与不变”的探求过程中，认识和把握图形的本质属性、明确图形与图形之间的内在联系。
2.空间与图形教学内容动态处理的教学价值
把几何内容作动态处理所追求的核心价值就是要更好地发展学生的空间观念。具体地说，通过这样的一个动态的手段，让学生经历一个特殊的认识过程，有利于学生以下几个方面的发展。
(1)有利于学生建立良好的知识结构。
原来小学数学知识的编排与学习，主要是以静态的知识块来划分的。考虑知识块内容的联系比较多，考虑这些知识的发生（形成）过程，知识与知识之间的内在联系相对较少。而教学内容的动态处理，就要根据知识之间的内在联系，特别是知识发生的过程，来考虑知识学习的逻辑顺序。这一学习顺序由于内容作动态处理，将更有利于学生建立良好的知识结构。如在第二学段认识角时，常常要求学生理解“角可以看成一条射线绕着它的端点旋转而成。”这里显然是用到旋转的知识。而在刻画一个图形的旋转程度时，又常常要用角度来描述，如一个图形旋转90度等。如何处理“角”与“旋转”这两个知识点的逻辑关系？我们运用动态的处理方法，呈现顺序为：图形的旋转（一）——角的有关知识（包括角的意义，度量，分类等）——图形的旋转（二）。在图形的旋转（一）中，只教学“图形绕着哪一点旋转以及向着什么方向旋转”这两个内容。在图形的旋转（二）中，进一步教学图形旋转的度数。又如，有关圆的知识，通常是在六年级进行教学，内容有圆的认识、圆的周长、圆的面积。而圆的本质属性是到定点等于定长的点集（在同一平面内）。所以它实质上与两点之间的距离紧密相关。另外，如果没有圆的知识，一个点旋转所经过的路线就很难刻画。本质上说，如果没有点的旋转的研究，就无法进行线或其他平面图形旋转的教学。因此，从运动的观点看，圆的认识也应该放在“图形的旋转”学习之前。两点之间的距离又是我们学习上述几何知识的重要基础。它应该在圆的认识之前进行学习。可见，根据知识发生的过程以及它们之间的联系，学习顺序应该是：线段、射线和直线——两点之间的距离——圆的认识——图形的旋转（一）——角的认识、度量、分类——图形的旋转（二）。由动态观念下建立的知识前后体系，将有利于学生形成良好的知识结构。
(2)有利于学生更好地理解空间与图形的基本概念。
几何中的基本概念是基础中的基础。学习基本概念的过程常常能够使学生积累基本的数学活动经验。在空间与图形基本概念教学中，把内容作动态化处理的方法有二。一是呈现一组静态的图形，创设一个动态的情境。教学中，可以让学生先比较这组静态图形异同，然后让学生把这些静态图形联结在一起，形成一个动态的过程。在比较和动态把握的过程中，让学生更加清楚某一概念的内涵与外延。二是把一个静态的图形进行分解，分解成若干个基本图形构成，把一个图形的运动分解成若干个基本图形的运动，从而更好的明确概念的属性。上面无论哪一种处理方法都可以使基本概念的发生过程更加直观，概念本质属性更加凸现。
案例2：大家知道学生在学习图形的底与高时，对作在图形外面的高的理解是难点。我们对图形的底与高作了动态处理，呈现了系列的静态图形，如下面一组静态的三角形图所示。让学生想象，A点从左往右运动形成了不同的三角形，BC边上的高也随着变化，这样就比较自然地出现直角三角形的一条直角边是另一条直角边上的高，以及钝角三角形中BC边上的高在三角形的外部的情况。从左往右看高从内部到外部，从右往左看正好相反。在这样的动态过程中把握高的本质，从而理解概念的含义。平行四边形的高也类似。
案例3：学生在平移概念的学习时，需要让学生理解平移的本质属性，要让学生明确：一个平面图形的平移，本质上说是由组成这个图形的点与线的平移决定的。学生在判断一个图形向某一个方向平移了多少格时常常出错。我们运用动态的处理方法，从点到线再到图形的平移，设计了六个问题组成一个问题串，帮助学生理解概念，克服难点。
三角形ABC向右平移得到三角形DEF。做一做。
①A点平移经过哪一条线段到达D点？用手比划。
②A点向右平移了几格？B点，C点呢？
③线段AB向右平移了几格？线段AC，线段BC呢？
④∠BAC向右平移了几格？
⑤三角形ABC向右平移了几格？
⑥想一想，说一说，怎么求出一个图形移动了多少格？
这样的呈现方式，对于学生更好地理解平移这一基本概念将是有益的。
(3)有利于学生理解空间与图形中概念与概念之间的关系。
几何图形中的每一个概念都有着自己特有的属性，概念与概念之间也有着紧密的联系。认识概念之间的关系对于更好地认识图形的特征将起到积极的作用。运用动态处理方法，可以更为直观地阐述图形之间的关系，使学生可以更容易地掌握概念之间的本质联系。
案例4：我们在编写“两点之间的距离”这节教材时，对于线段中点的概念以及线段之间的关系有以下的阐述：
“线段AB上有一点C，它可以在线段AB上运动。当它运动到什么位置时，离A、B两点的距离相等？每一个小方格的边长表示1厘米。
如果D点把线段AB分成两条相等的线段，即AD=DB。那么，D点是线段AB的中点。
想一想，做一做。
①A、B两点到D点的距离相等吗？
②E点是线段DB的中点吗？为什么？
③在线段AB上找出两个点，使得它们与D点的距离相等。
④C点运动到什么位置时，有AB=AC×8?
⑤C点在哪一段上运动时，始终有AC＞CB?
⑥根据C点的运动情况，请你提出一个数学问题。”
希望学生能够在这样一个动态变化的过程中，认识中点，认识线段长度之间的各种关系。
案例5：在三角形以角为特征进行分类时，出现了下面的图。
从动态的角度观察这个图形：BC边不动，A点运动，当达到某一位置时，正好形成一个直角三角形。A点再向上运动都将形成锐角三角形，再向下运动都将形成钝角三角形，通过这样的过程，让学生认识到直角三角形、锐角三角形和钝角三角形这三种三角形的特征和它们之间的关系。
(4)有利于学生探索猜测空间与图形中图形的属性。
引导学生研究图形的属性时，常常需要学生经历“观察——猜想——验证”的过程。这个过程是一个探索的过程，要使得这个探索过程有效，学生能不能形成一个合理的猜想（猜测）十分关键。事实上，只有让学生形成合理的猜想，验证才有方向。运用变化的观点，创设一个动态的情境，让学生观察，将有利于学生猜测图形的属性，形成合理的猜想，为进一步验证奠定良好的基础。从而不但让学生掌握空间与图形的基础知识和基本技能，获得探索图形属性的基本活动经验，而且发展了学生的空间观念。
案例6：三角形内角和是空间与图形教学中的重要内容。许多教学设计都重视了运用多种方法验证“三角形内角和等于180度”这一结论，如何让学生形成猜想，先猜测估计出三角形内角和可能是180度，研究不多。我们尝试了创设动态的情境，让学生观察下面的图形，对学生形成猜想提供了很大的帮助。
下图中A点运动，可以形成许多三角形。观察这些三角形，你发现了什么？∠A，∠B和∠C的大小是怎样变化的？这三个角的和可能是多少度？
我们运用电脑进行动态演示A点的变化过程，很多学生首先注意到的是边长的变化。即当A点向上运动时，三角形的AB、AC这两条边不断变长，相反则变短。当引导学生观察∠A、∠B、∠C的大小时，多数学生能够发现：当A点向下运动时，∠A不断的变大，∠B和∠C都在不断的变小，接着让学生想象，当A点不断向下运动越来越接近BC边时，∠A就越来越大并接近180度，而∠B和∠C则越来越小并都接近0度。三个角的和就可能是180度。相反当A点向上运动时，∠A不断的变小，∠B和∠C不断的变大，同样让学生想象，当∠4点无限的向上运动时，∠A越来越趋向0度，而∠B和∠C都越来越趋向于90度，三个角度的和同样也可能是180度。通过上述过程，让学生体会到虽然三个角的大小都在变化，但有的在变大，有的在变小，三个角的和可能保持不变。体会到这变中的不变，从而形成猜想，进而展开验证。这一过程，培养了学生的观察、猜想的能力，发展了学生的空间观念，而这一切都得益于动态的情境。
在教学圆锥体的体积公式前，要学生形成猜想：“圆锥体的体积是与它等底等高的圆柱体体积的三分之一”是比较困难的。而如果不形成这个猜想，就不知道怎么验证。我们尝试了在验证圆锥的体积公式V=1/3Sh前，创设了一个运用动态的情境，为学生形成猜想奠定基础。如下图所示，从左往右逐一出示图1至图5，让学生比较、估计：与圆柱等底等高的几何体，它的体积大约是圆柱体体积的几分之几。让学生猜测估计，圆锥体的体积与圆柱体积之间的关系。值得注意的是，无论学生是否猜测出圆锥体的体积是等底等高的圆柱体体积的三分之一，也都有了运用水或沙进行度量的基础，都可以在测量的过程中得到圆锥的体积公式。这一过程显示出了动态处理几何内容的数学教学价值。
(5)有利于学生更好地熟练空间与图形中的基本技能。
我们知道，学生在学习空间与图形的内容时，需要熟练地掌握一些基本技能。其中，让学生能够比较熟练地应用概念、公式解决问题，是学生学习的重要技能。创设动态的情境，可以让学生在观察、分析过程中，构建问题，解决问题，这样对他们熟练技能将有较大的帮助。
案例7：下面网格中每个小方格的边长是1厘米，图7（下页）以每秒1厘米的速度向右平移，图8不动。
①当它平移到第3秒、5秒、8秒时，它与图8重叠部分的面积分别是多少？
②当它平移到第几秒时，它与图8的重叠部分的面积最大？最大面积是多少？
如果图8也开始平移。（图7运动的方向与速度不变）
③图8也以每秒1厘米的速度向右平移，它们同时开始运动，那么，它们有可能会有重叠部分吗？为什么？
④图8以每秒1厘米的速度向左平移，它们同时开始运动，当运动到第3秒时，它们的重叠部分面积是多少？
学生在解决上述问题的过程中，需要运用动态变化的观点，在想象中把握平行四边形的运动方向和速度，当运动到某一时刻时，进一步考虑两个平行四边形在运动变化过程中的位置关系。通过上面问题的解决，可以更进一步熟练平行四边形面积公式的应用技能。在这一过程中，通过观察、想象培养和发展了学生的空间观念。
在组合图形面积计算的练习中，也可以创设动态情境。如下图所示的正方形ABCD，与一个等腰直角三角形EFG(EF=EG)，放在同一直线上。现在，正方形以每秒2厘米的速度，向右沿直线平移，三角形不动。几秒钟后，正方形与三角形有重叠部分？当运动到第11秒时，重叠部分的面积是多少？13秒，14秒，15秒呢？
学生在解决这个问题的过程中，需要自己先构建出重叠部分图形的形状以及这些图形中边的长度，再求出这些图形的面积。这样的过程对熟练学生的基本技能，培养空间观念都是有益的。
三、空间与图形教学内容动态处理的不足
将空间与图形的教学内容作动态处理有着许多好的教育价值，但它也并非十全十美，存在着一些不足，主要有以下几个方面。
1.语言表达困难
动态处理空间与图形的教学内容的核心是要发展学生的空间观念。而要培养学生的空间观念有多种途径，其中之一就应该让学生多想，想象图形与图形之间的位置关系。因此，一个动态的情境，教材通常是用静止的图形来阐述一个动态的过程，这样先需要教师或学生用语言表达这个动态情境的含义，而这种语言表达比较困难，学习的难度上可能会增加。可见动态处理几何内容，需要大家形成两点共识：一是无论教师与学生（特别是学生）都需要对动态情境的含义进行表达，表达的过程实质是在刻画点、线、面、体的大小、它们的运动变化以及相对位置关系等等。这一过程对发展空间智慧、提升数学能力十分有利。二是在表达动态情境的含义时，常常会表达不够确切、不够精确，需要结合直观的演示才能比较清晰地刻画出图形动态变化的过程。也就是说，需要口头表达、书面语言以及计算机演示相结合，才能明确动态情境的含义。另外，要用书面语言比较清楚地说明动态的过程，教材会增加篇幅。
2.对计算机的依赖增加
如果说原来空间与图形的教学内容作静态处理时，对计算机的需求还不是很明显的话，那么，现在我们对几何内容作动态处理后，对计算机的需求就有了明显的增加。也就是说，是否运用计算机进行几何教学，将直接影响到数学教学质量。对计算机需求的增加，体现在两个方面：一是硬件的要求。需要配置电脑设备。最好当然是每一个教室都有可以进行计算机辅助教学的设备。但目前经济发展比较落后的地区只有极少部分学校能够做到。二是软件的要求。只有硬件显然是不够的，几何内容作动态处理后都需要有相应的软件来演示。这会为一线的教师在制作软件时增加工作量或增加软件制作技术上的困难，需要教材的编者、一线老师、有关信息技术的专业人员合作来完成一些软件开发。
3.对教师提出了更高的要求
由于教学内容的动态处理，学生在解决这些几何问题的过程中，必然有着自己特别的思维过程，学生可能遇到的困难是什么，教师应该如何引导等问题，都不是原来静态处理几何内容时的经验可以解决的。因此，需要教师不断地学习与提高，十分注重分析学生的数学思维过程。积累如何在动态过程中，引导学生观察研究几何图形属性的经验，提高自己的数学教学能力。