摘 要：次序统计量作为一类重要的统计量在很多领域中都有关泛的应用。本文在前人研究的基础上总结了有关次序统计量若干重要的例题，主要包括：特殊形式的多个次序统计量联合密度函数的求法；均匀分布样本极差的密度函数的求法；有关次序统计量独立性的证明。希望对读者学习研究次序统计量起到微薄的帮助。
关键词：次序统计量 雅可比行列式 次序统计量独立性
一、引言
次序统计量是一类很重要的统计量，被广泛地应用在统计推断、可靠性理论、应用概率等很多领域。其优点在于次序统计量有一些性质不依赖母体分布，且计算量较小，这样可以根据相关的理论快速得到目标统计量的分布情况。现有的理论研究已经非常充分，如，文章[3]中，作者描述了均均分布及指数分布的相关统计量性质；文章[4]中，作者就几个常见分布次序统计量的随机比较进行了详细地说明。文章[5]中，作者详细描述了均匀分布的次序统计量的性质；本文旨在前人的基础上对次序统计量几个常见但没有被系统总结的例题做一详细说明。
二、次序统计量的基本知识
定义1：设x1,x2…,xn是取自总体x的样本，x(i)称为该样本的第i个次序统计量，它的取值是将样本观测值由小到大排列后得到的第i个观测值。（x(1),x(2)…，x(n)）称为该样本的次序统计量。其中，x(1)是该样本的最小次序统计量，x(n)是该样本的最大次序统计量。R=x(n)-x(1)称为样本极差。
引理1：设总体x的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，x1,x2…，xn为样本，则第k个次序统计量x(k)的密度函数为：
f（x(k)）=[F（x）]k-1[1-F（k）]n-kf（x）
引理2：（x(1),x(2)…，x(n)）是总体样本的次序统计量，f（x(k)）是第k个次序统计量（x(k)）的密度函数，则次序统计量xk的联合密度函数为：
f（x(1),x(2)…，x(n)）=n! f（x(k)）
引理3：设总体x的密度函数为f（x），分布函数为F（x），x1，x2，…，xn为样本，则次序统计量（x(i)，x(j)）(i<j)的联合密度函数为：
f（x(i)，x(j)）= [F（y）]i-1[F（y）-F（z）]j-i-1[1-F（z）]n-jf（y）f（z）,y≤z，
其中，为方便书写，令y=x(i)，z=x(j)。
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三、几个关于次序统计量的典型例题
例：设x1,x2…，xn是来自X的样本，其密度函数为f（x）= xa-1I（0＜x＜θ），（x(1),x(2)…，x(n)）是其次序统计量，记y1= ，y2= ，…，yn-1= ，yn=x(n)。
证明：Y1,Y2…，Yn相互独立，并求它们各自的分布。
分析：在概率论中，证明独立性最常用的方法是验证联合密度函数是否等于各边缘密度函数的乘积，若等于则随机变量相互独立，反之，不独立。本题的入手点即是求联合密度函数，并观察其是否可以分离变量，即是否可以写成各边缘密度函数的乘积。
证明：为方便书写，记ui=x(i)，由引理2可知：f（x(1),x(2)…，x(n))=f(u1,u2…，un）=n! f（x(1)）=n! ( ui）a-1做转换，令：
的雅可比行列式的绝对值||J||=y2y32y43…ynn-1。
所以：
f（y1，y2，…，yn）=||J||f（u1，u2，…，un）=y2y32y43…ynn-1n! ( ui）a-1
=y2y32y43…ynn-1n! (y1，y2，…，yn)a-1（y２，y3，…，yn）a-1…yna-1
=n! y1a-1·y22a-1·y33a-1…ynna-1
=（ y1a-1）·（ y22a-1）…（ ynna-1）
=f（y1）f（y2）…f(yn)
由上式可看出，Y1,Y2…，Yn的联合密度函数f（Y1,Y2…，Yn）可分离变量，其中f（yk)＝ ykka-1。
证毕。
四、结论
次序统计量的计算涉及很多方面，无论是在统计推断的理论中还是实际应用中，都有很广泛的用途。本文主要就次序统计量所涉及的典型例题做了详细的说明，主要包括：特殊形式的多个次序统计量联合密度函数的求法；均匀分布样本极差的密度函数的求法；有关次序统计量独立性的证明。希望对读者日后的学习起到微薄的作用。
参考文献
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[2]George Casella/Roger L.Berger 张忠占 傅莺莺 译 统计推断[M].机械工业出版社，2010，1。
[3]王如君 均匀分布和指数分布相关统计量的性质[D].河南：河南师范大学统计系，2016。
[4]方龙祥 几个常见分布次序统计量的随机比较[D].上海：复旦大学统计学系，2014。
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论文作者:刘与嘉
论文发表刊物:《教育学》2019年12月总第198期
论文发表时间:2019/11/5
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