基于Copula模型的最大和最小值期权定价论文

基于Copula模型的最大和最小值期权定价

曹 朵¹， 卢俊香^1，2， 张转转¹

（1.西安工程大学理学院，西安 710048； 2.西安理工大学经济与管理学院，西安 710048）

摘 要： 为了克服传统Black-Scholes 定价模型中标的资产收益率需要服从正态分布以及在多维资产期权定价中对复杂微分方程的求解和冗长公式等难题，利用非参数核密度方法和Copula函数对最大和最小值期权进行定价.应用非参数核密度方法确定标的资产的边缘密度函数和分布函数，选择了对数据拟合效果最好的Gumbel函数连接边际分布并构造联合分布函数. 通过Matlab 对基于Copula函数的两资产最大和最小值期权的非参数定价模型进行积分运算. 最后得出两资产的最大和最小值期权价格.

关键词： 最大值期权；最小值期权；Copula函数；非参数方法；定价

随着金融业的快速发展，各种各样的金融衍生品的出现促进了场外OTC市场的发展，多资产期权在金融市场的作用也越来越突出. 因此，对多资产期权的定价便于实现投资者和金融机构套期保值或增值就显得更加重要.

在多资产期权的定价研究方面，Black和Scholes就假设资产收益率服从多维正态分布给出了几何布朗运动模型^［1］. Rubinstein以构造方形二叉金字塔的方法，提出对欧式和美式彩虹期权估值的离散时间方法^［2］.Luciano等人首次把Copula工具应用在多资产期权定价方面，得出了多资产期权价格和Copula函数之间存在的积分变换关系较大的简化了期权定价的研究^［3］. Boyle 等人对标的资产两资产的极大极小值期权的定价有了较深入的研究^［4］. Rosenberg将非参数方法应用在多资产期权定价之中^［5］. Stulz得出最大值和最小值期权在标的资产收益率需要服从正态分布的情况之下得出它们的定价公式. 但大量实证研究显示，标的资产收益率序列大多具有尖峰厚尾、波动和异方差性并不服从正态分布.

本文首先介绍了Copula的相关理论，在风险中性概率测度和无套利假设条件下用非参数核密度估计多资产期权的标的资产的边缘分布，选择了对数据拟合效果最好的Gumbel函数连接边际分布并构造联合分布函数，通过Matlab 对基于Copula 函数的两资产最大和最小值期权的非参数定价模型进行积分运算，最后得出两资产的最大和最小值期权价格.

1 Copula理论的简介

1.1 Copula函数的概念及Sklar定理

1.1.1 二维Copula函数的定义 任意一个二维Copula函数C，都满足以下4个性质：

这里就不得不提到高校对学生体能的培养。部分高校重视科研和理论教育，忽略对学生进行体能教育，有些高校甚至取消了体育课和相应的身体活动课。这样带来的后果就十分严重，学生只有智力技能的增长，身体机能却每况愈下。更有学生半夜打游戏，昼夜颠倒，作息混乱，缺乏身体锻炼，导致身体素质越来越差。

1.2.2 联合Copula函数和对偶Copula函数 与生存Copula的定义类似，可以定义联合Copula函数C^*函数和对偶Copula函数C͂，表示如下：

2）对任意u，v ∈［0，1］，有C(u,0)=C(0,v)=0 .

2018年3月21日，《深化党和国家机构改革方案》全文对外公布。此前，方案中涉及国务院机构改革的内容已由全国人大审议通过，《中共中央关于深化党和国家机构改革的决定》也已公布。

3）C是递增函数，即对任意u₁,u₂,v₁,v₂∈[0,1]且u₁≤u₂，v₁≤v₂，则

其中：g(·)为衍生合约的一元支付函数，f(·)为刻画各标的资产最终现金支付的多元函数，S_i(T)为第i 个标的资产的价格，T 为到期日^［9］.

1.1.2 Sklar 定理^［7］ 令F 为具有边缘分布F₁和F₂ 的一元分布函数，那么存在一个Copula 函数C 满足：F(x,y)=C( )F₁(x),F₂(x) . 若F₁和F₂ 连续，则C唯一确定. 反之，若F₁和F₂ 为一元分布函数，C是相应的Copula函数，那么函数F 是具有边缘分布F₁和F₂的联合分布.

1.2 几种常用Copula函数

1.2.1 生存Copula 对两个随机变量的联合生存函数定义如下：

对于两资产最小值看涨期权，假定Z=f(S₁,S₂)=min(S₁,S₂)，该种期权的价格可以表示为：

刚才训李老黑的那人说，不想死的话你就闪一边去，要不是我们，你今天早被那个家伙强奸了，这还不够吗，你还想咋的，一毛不拔啊？

根据联合分布函数的性质得出

上述规则(以下称“连线式密码”)已广为运用。本文研究上述三条规则中的一条或多条加以改变对密码安全程度的优化情况。本文先研究一条规则改变的情况下安全性的变化情况。

也就是说，在编织打造限制领导干部权力之制度笼子时，很有必要适当调整或者说变换一下我们关注问题的重点或视角，即由以往过分依赖向执政党领导人负责的“纪检委”和向政府领导人负责的反贪局或审计部门转变到更加重视由人民直接授权的“人大”及独立向“人大”负责的监察机关。为了发挥“民众”的杠杆作用，还必须广开言路，实行真正意义上的新闻自由，允许甚至欢迎媒体对领导干部的职务行为发布批评性言论。经验证明，社会监督和舆论监督不仅具有低成本、高效率的鲜明特点，而且对于监督党政官员的职务行为大有裨益，就是对于监督人民代表及“人大”工作也不无好处。

其中：v，z是边缘分布函数.

1）C：［0，1］²→［0，1］，即Copula函数为二维的概率分布函数，其边际分布函数是限制在［0，1］之间的均匀分布函数.

1.2.3 Gussian Copula函数 C^Ga(u,v)=φ_ρxy( φ^-1(v),φ^-1(z)) . 其中φ_ρxy是二维正态分布函数，ρ_xy 为线性系数，φ 为标准正态分布函数. 则根据二维正态分布的定义由Nelsen给出，有

其中：v=φ(s),z=φ(t) .

1.2.4 t-Copula函数

其中，被称为生存Copula.

1.2.5 阿基米德Copula φ(·):[0,1]→[0,∞]为严格单调递减、连续的凸函数，且满足φ(1)=0，则

7）以民间传说或吉祥嘉言命名，如卧龙街。《潍县志稿》载，刘以贵在修三官庙碑中谓宋太祖路过此桥时，曾卧息其上，登基后，封该桥为“卧龙桥”。后来新修东西大街卧龙街以此传说得名。

称为由φ(·)生成的Archimedean Copula，称φ(·)为该Copula的生成函数. 上式中φ^[-1]定义为

因为阿基米德Copula 形式简单，具有良好的性质并且有很多Copula 函数均属于Archimedean Copula 函数族，所以被更广泛应用. 因此这类Copula能使积分计算简化.

表1给出一些经典的二元阿基米德Copula函数及其参数的取值范围.

表1 二元阿基米德Copula
Tab.1 Binary Archimedes Copula

2 最大值最小值期权

欧式多元未定权益的到期现金流的支付可以表示为

4）C是边际分布满足：对任意u，v ∈［0，1］，有C(u,1)=u 且C(1,v)=v .

以多元未定权益为例，最大值看涨期权的现金支付收益函数g(·)为^［10］：

其中，K 为合约的执行价格，当g(·)为n 个标的资产价格的最大（或最小）时，可以表示为：

这种多资产期权就是最大值和最小值看涨期权^［11］.

从具体的现金支付收益函数g(·)和f(·)的表达式来看，可以得到4种该类期权，分别为两资产最大值看涨期权，两资产最小值看涨期权，两资产最大值看跌期权和两资产最小值看跌期权^［12］. 这4种期权的到期现金支付收益函数如下.

3 模型的构造

3.1 收益率边缘分布的构造

在统计问题中，总体的概率分布密度需要样本去估计，常用的估计方法有参数方法和非参数方法^［13］. 参数方法是假设总体分布服从某种特定分布，而非参数方法则不需要事先做出假设.

定义 1^［14］设X₁,X₂,…,X_n 是来自总体X 的样本，x₁,x₂,…,x_n 表示样本观测值. 令

其中f̂_n(x)称为样本的经验密度函数，所对应的函数图是频率直方图，可以把它作为总体密度函数的一个非参数估计. h_i(i=1,2,…,k)为每个区间的长度，称为窗宽.

定义 2^［15］设X₁,X₂,…,X_n 是取自一维连续总体的样本，在任意点x 处的总体密度函数f(x)的核密度估计定义为

其中K(·)是核函数.

3.2 基于Copula函数的最大值和最小值期权定价

定理（Nelson（1999））^［16］：假设市场测度下的随机变量X_T，Y_T的累积分布函数分别为F_X(X_T)和F_Y(Y_T)，如果风险中性测度下的随机变量是关于(X_T，Y_T)的严格单调递增函数，则风险中性测度下和市场测度下的有相同的Copula 函数，风险中性累积分布函数为和. 其中，和为风险中性累积边际分布函数，C 是市场测度下的Copula函数.

由公式（16）和（17）可知，Copula方法可以比较灵活的用于对该种期权进行定价中. 假定=Pr[S₁(Tv)＞u]和=Pr[S₂(T)＞u]，根据Copula的定义，可以得到一个Copula函数C，满足：

S(T)-K,0 ，其中S(T)表示标的资产在到期日T 时的价格. 则看涨期权的价格CALL(S,t,K,T)可以看作是衍生证券在风险中性概率测度Q 下未来期权的无风险折现：

=1-Q_u=P( )S(T)＞K 是风险中性测度下的生存分布函数，也就是基础资产的价格大于执行价格的概率.Breeden和Litenberger（1978）对上式进行变换，求出了看涨期权的生存概率和看涨期权的价格之间的关系式：

其中F(K)表示S 中的风险中性分布函数^［18］.

为解决上述技术难点，分别建立永磁直驱柔性构架有限元瞬态响应分析模型及整车动力学模型，并提出架悬直驱结构与驱动轴间动态间隙的干涉评判指标，以此作为间隙大小设定的依据。

由此可见，分布函数和单资产期权之间存在着积分关系. 式（15）可以扩展到多资产期权，而对于两资产最大值和两资产最小值期权同样可以采用类似Breeden和Litenberger（1978）的方法，但需要获得联合分布函数，而这个联合分布函数可以由Copula来连接获得^［19］.

高技术产业创新速度门槛值为4.597，换算成原始值后为99.15%。产业创新速度低于99.15%的数据有37个，高于99.15%的有108个。产业创新速度较低的地区，其产业创新速度的弹性系数为0.285;而产业创新速度较高的地区，其产业创新速度的弹性系数为0.340。

由于=，因此（16）式可以表示成为：

公共食堂、供给制、公社基本核算单位等基本问题，是人民公社内部两个平均主义的具体体现。因此，为了解决两个平均主义，毛泽东指导全党把公共食堂、供给制、公社基本核算单位等问题作为调查研究的重点，既抓住了纲，又抓住了目，因而取得了显著成就。

风险中性估值原理^［17］：假设欧式看涨期权T 为到期日，K 为执行价格，其收益函数表示为max( )

所以（17）式可以写成

类似两资产最大值看涨期权可以得到：

两资产最大值看跌期权可以得到：

两资产最小值看跌期权可以得到

4 实证研究

4.1 标的资产和数据的选取及统计量分析

本文选取天房发展（600322）、中信证券（600030）这2只股票的资产收益为研究对象，对最大值和最小值期权定价. 所有股票数据来源于网易财经数据库（http：//quotes.money.163.com/stock），样本数据日期为2014年1月2日至2018年12月24日. 剔除节假日后，每组样本数据为1216个. 对收盘价数据进行差分处理，即

其中P_t 表示t 时刻股票收盘价格；R_t 表示股票t时刻收益率. 对数据进行对数处理后，最后收益率样本数据容量为1215个. 对数据进行简单的统计特性分析并进行正态性检验. 用Matlab 对中信证券（CITIC）、天房发展（TRDCL）收益率数据进行处理，如图1、图2、表2.

格式特征是指电子邮件中除开标题与正文的部分，格式特征由称呼语、敬语、署名和书写日期等组成。在研究中将格式特征划分为内模式与外模式两种特征，其中内模式指的是电子邮件中的称呼语、作者署名以及书写日期等除开正文之外的部分。而外模式指的是电子邮件中各段落出现的换行数，以及正文中出现的空格数。基于上述特点将格式特征划分为表2所示的5种。

图1 中信证券收益率简单统计量
Fig.1 Simple statistics of the rate of return on CITIC

图2 天房发展的收益率简单统计量
Fig.2 Simple statistics of the rate of return on TRDCL

表2 中信证券、天房发展的统计量值
Tab.2 Statistical values of CITIC and TRDCL

表2给出了一些简单的统计量值，Jarque-Bera统计量主要用来检验评价随机变量服从未知均值和方差的正态分布的假设是否成立，该检验基于随机变量的样本偏度和峰度. 在正态分布下样本偏度接近于0，样本峰度接近于3. 然而观测上述结果发现，中信证券和天房发展收益率的偏度分别为-0.012 5和-0.344 0，存在明显左偏，不符合正态分布假设；而峰度分别为7.642 3和6.050 7，均具有明显的尖峰现象，也不服从正态分布假设，因此采用非参数核密度估计边缘密度和分布函数.

4.2 边际密度函数和分布函数的确定

要用核密度方法确定标的资产的边缘密度函数和分布函数，首先确定窗宽和核平滑函数^［20-23］. Silverman提出了一种计算窗宽的最优方法（Silverman bandwidth方法），此方法被广泛地应用到计量经济学的非参数数核估计中. 其窗宽的计算公式为

其中std指的样本标准差；iqr指样本序列的内四分位数，这些都通过Matlab来求解. Matlab处理如表3和表4.

表3 中信证券、天房发展的分位数
Tab.3 The quantile of CITIC and TRDCL

在这里不妨选取Gussian核函数：

表4 中信证券和天房发展股票的标准差和窗宽值
Tab.4 Standard deviation and window width of CITIC and TRDCL

其中：f_X(x)和f_Y(y)分别表示两个边缘密度函数；h_X和h_Y 表示窗宽；x 和y 分别是两个密度函数的自变量；X_i和Y_i是风险中性概率分布模拟产生的样本点，在研究中分别指的是对中信证券和天房发展的收益率.

可以获得中信证券和天房发展收益率的核密度函数：

中信证券

天房发展

（190）绿片苔 Aneura pinguis（L.）Dumort.赵文浪等（2002）；杨志平（2006）；余夏君等（2018）

对上式积分可以得到风险中性分布函数：

中信证券

天房发展

用Matlab画出边缘分布函数如图3和图4所示.

研究了一种基于固定式相机对动态目标的三维重建，使用了动态目标提取和目标跟踪算法[3]提取目标图像区域，并采用GMS特征匹配算法[4]进行图像特征匹配，将传统的三维重建拓展应用到更多的摄像情形，无需如Kinect等专业立体视觉成像设备，使用固定式的摄像设备就能对动态目标物体进行三维重构.对固定式图像采集设备采集到的图像信息增强可视化的同时，也为动态目标重建提供一种新的解决方法。

4.3 选择适当的Copula函数

美国次贷危机引起的金融风暴使学者们对函数高斯相依结构作为金融衍生品基础的假设更加怀疑，近期也出现很多对高斯相依结构提出质疑的文章. 本文对相依结构的确定方法主要基于相依结构的中Copula函数的选择和Copula 参数估计，利用实际数据得到最优的相依结构. 基于上面的数据，利用极大似然法和平方欧式距离对Gaussian、Clayton、Gumbe、Frank和t-Copula 5个具体的Copula函数，结果如表5.

图3 中信证券收益率的边缘分布
Fig.3 Edge distribution of the rate of return on CITIC

图4 天房发展收益率的边缘分布
Fig.4 Marginal distribution of the rate of return on TRDCL

根据d²（平方欧式距离），d²越小表明拟合效果越好. 因此，本文选择Gumbel 来对两资产最大值和两资产最小值期权定价，其参数α=1.373 1，计算Copula密度函数和分布函数值.然后，绘制出图5 Gumbel的密度函数和图6分布函数.

当王敬凯等返回山上来到纸条所示地点时，情况发生了变化：距所示地点不远的地方正在修路，附近的几块大石头都被挖走修路了。

图5 Gumbel函数的密度函数
Fig.5 Gensity function of gumbel function

表5 Copula的拟合结果
Tab.5 Fitting results of Copula

图6 Gumbel函数的分布函数
Fig.6 Distribution function of gumbel function

4.4 非参数定价模型下最大值和最小最值期权的价格

将中信证券、天房发展股票收益率变量分别表示为S₁和S₂，时间段为2014 年1 月2 日至2018 年12 月24 日，共1216 d，转化为年，则为1216/（5×365）. 首先来研究两资产最小值看涨期权的价格.

假设执行价格为K=0.01，5年定期存款无风险利率r=4.29%. 则有

用Matlab软件进行积分运算，最终得到两资产最小值看涨期权的价格Call(S,t,K,T)=0.004 5 .

在同样的假设下，分别求出两资产最大值看涨期权的价格、两资产最大值看跌期权的价格和两资产最小值看跌期权的价格：两资产最小值看涨期权的价格为Call(S,t,K,T)=0.004 5；两资产最大值看涨期权的价格为=0.006 4；两资产最大值看跌期权的价格为- ---Put(S₁,S₂,t,K,T)=0.003 5；两资产最小值看跌期权的价格为Put(S₁,S₂,t,K,T)=0.002 1.

5 总结

本文从理论上证实了结合非参数核密度估计方法，选择最优的Copula函数对最大值和最小值期权定价进行了研究. 通过非参数核密度方法获取标的资产的边缘密度函数和分布函数并利用Matlab对基于Copula函数的两资产最大和最小值期权的非参数定价模型进行积分运算，最后得出两资产的最大和最小值期权价格. 这种方法克服了传统的偏微分方程难以求出解析解的缺点. 若能得到最大值和最小值期权的市场数据并与模型计算得出的期权价格进行比较，则文章定价模型的研究会具有更大的现实意义.

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Maximum and Minimum Option Pricing Based on Copula Model

CAO Duo¹， LU Junxiang^1，2， ZHANG Zhuanzhuan¹
（1.School of Science，Xi’an Polytechnic University，Xi’an 710048，China；2.School of Economics and Management，Xi’an University of Technology，Xi’an 710048，China）

Abstract ：In order to overcome the problems that the rate of return of the assets priced by the traditional Black-Scholes model needs to obey the normal distribution and the solution of the complex differential equation and the long formula in the multi-dimensional asset option pricing，etc，in this paper，the nonparametric kernel density method and Copula function are used to price the maximum and minimum options.Firstly，the edge density function and distribution function of the underlying asset are determined by using the nonparametric kernel density method.And the Gumbel function，which has the best fitting effect to the data，is selected to connect the marginal distribution and construct the joint distribution function. Then，through Matlab，the two assets based on Copula function are the most important. The nonparametric pricing model of large and minimum options is used for integral operation.Finally，the maximum and minimum option prices of the two assets are obtained.

Key words ：maximum options；minimum options；Copula function；non-parametric method；pricing

中图分类号： F 830

文献标识码： A

文章编号： 1004-3918（2019）09-1519-08

收稿日期： 2019-04-15

基金项目： 国家自然科学基金项目（11601410）；陕西省自然科学基础研究项（2017JM1007）；中国博士后科学基金（179130）

作者简介： 曹 朵（1991-），女，硕士研究生，主要研究方向为随机分析与金融

通信作者： 卢俊香（1980-），女，副教授，博士，主要研究方向为金融与统计、Copula理论及其在金融时间序列上的应用

（编辑 孟兰琳）

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