例谈建模思想在小学数学教学中的渗透，本文主要内容关键词为：建模论文,小学数学论文,思想论文,教学中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
所谓数学模型是对于现实世界的某一特定研究对象，为了某个目的，在做了一些必要的简化和假设之后，运用适当的数学工具，并通过数学语言表达出来的一个数学结构。那么，如何在日常数学教学中渗透建模思想呢？
一、铺垫教学中预设“模型启发”
在小学数学教学中，适当的铺垫是不可少的。教师们也常常从“最近发展区”理论出发，寻找新旧知识的联接点和生长点进行铺垫。但是有的教师却把铺垫教学局限于知识技能的获取，为学生搭建的是暗示性、狭隘性、过渡性的“桥”，以便让学生轻松便捷地获得知识。这种模式化的铺垫教学难以让学生经历知识的探索过程，束缚了学生的思维，抑制了学生的创造性。而用数学模型的思想指导铺垫教学，能确保数学问题的探究空间，还学生探索数学问题的权利，让学生经历充分的探索过程，获取丰富、积极的体验，促进学生的可持续发展。
例如，在教学“异分母分数加减法”时，一位教师设计了如下的教学铺垫：
师（出示）：0.83元—5角；1.7元+8角；
师：这两道算式可以直接计算吗？该怎么办？
生：算式中两个数的单位不同，不能直接计算，可以把各数统一成以“元”为单位的小数后再计算。
师：在小数计算中，为什么要把小数点对齐？
（通过提问，从而再现、强化只有计数单位相同才能直接相加减的数学方法。）
师：再出示1/5+1/2与3/4-1/2这两道算式。
师：相加减的各数计数单位相同吗？该怎么办？
生：把它们转化成相同的计数单位后再计算。（结果有的学生把它们转化成小数进行计算；有的把它们转化成同分母分数进行计算；还有的把算式看成1/5元+1/2元、3/4元-1/2元，再转化成以“分”为单位的整数加减法……）
在上述案例中，这位教师并不是很关注计算的具体操作程序，而是“授之以渔”，让学生回忆、再现“相同计算单位才能相加减”这一概括性、普遍性的数学计算方法。学生在“计数单位相同才能直接相加减”这一数学模型启发下，各显其招，主动参与对异分母分数相加减的“再创造”活动，课堂变得异常活跃。这种以唤醒、启发数学模型为指向的铺垫教学既指明了方向，又做到隐而不明，使数学问题富有挑战性。这样，学生就能用个性化的思维方式思考问题，实现了“不同的学生学习不同的数学”，提升了学生的数学建构水平。
二、新知探索中融入“模型建构”
数学家华罗庚在总结他的学习经历时指出，对书本中的某些原理、定律、公式，我们在学习的时候不仅应该记住它的结论、懂得它的道理，而且还应该设想一下人家是怎样想出来的，怎样一步一步提炼出来的。只有经历这样的探索过程，数学的思想、方法才能沉积、凝聚，从而使知识具有更大的智慧价值。因此，我们在新课教学时要善于引导学生对自己的学习过程、学习材料、学习发现进行归纳提升，力求建构出一个大家都能理解的数学模型。
例如，在教学“植树问题”时，一位教师设计了如下的教学片断：
师：回忆一下，刚才我们遇到两端都要种的植树问题，是通过怎样的办法最后成功解决的？
生1：提出猜想，再验证。
生2：难的问题解决不了，可以先举简单的例子，然后发现规律，最后再用规律解决问题。
师：也就是说，当我们遇到一个不能直接解决的难题时，可以从简单的例子入手来发现规律，然后再来解决，这是学习数学的一种有效方法。
师：出示刚才收集的数据（如表1）：
表1
全长／m间隔长度／m间隔数棵数
10 5
23
20 5
45
5
5
12
30 5
67
师：现在请你们仔细观察刚才我们填写的表格，有什么发现？
生3：全长÷间隔长度=间隔数。
生4：间隔数+1=间隔点数。
生5：间隔点数=植树棵数。
师：从简单的例子当中，同学们发现了：间隔数+1=棵数（板书）。在你们研究的数据当中，有间隔数+1不等于棵数的例子吗？
生：没有。
师：那么，在怎样的情况下才会有这样的规律呢？
生：在两端都种的情况下。
师：两端要种（板书）。
师：如果是种50m，两端都种，还有这样的规律吗？100m呢？1000m呢？
生纷纷回答：还是有这样的规律。
师：看来，这样的规律是普遍存在于两端都种的植树问题当中的。
在上述教学过程中，教师从个别的、简单的几个例子出发，逐步过渡到复杂的、更一般的情景中，使学生自主完成了解题策略的构建。在这个过程中，学生发现了植树问题（两端都种）的模型，即棵数=间隔数+1。这样，不仅发展了学生的策略性知识，同时也让学生的思维经历了一波三折的过程，加深了对解题方法的理解。
又如，在教学“分数与除法关系”一课时，一位教师经历了如下的教学片断：
师：刚才对于一些除法试题的计算，我们不仅能够正确地用小数表示它们的商，而且也能用分数来表示除法算式的结果，通过对这些除法算式的观察，你们又有哪些发现和体会呢？
1÷2=1/2,3÷4=3/4,1÷4=1/4,1÷5=1/5,2÷5=2/5,3÷8=3/8。
生1：除法算式中的被除数就相当于分子，除数就相当于分母，除号就相当于分数线。
师：是这个意思吗？（大部分学生表示赞同。）
师：如果我们用字母a和b来分别表示被除数和除数，那么刚才的发现我们还可以怎样来表示呢？
师：为什么要强调b不等于0？
生3：分数中分母也不能等于0。
师：看来你们已经学会了怎么样用分数表示某一个除法算式的商，并且知道了除法算式中的一些性质和定律在分数中仍旧是相通的。
上述整个学习过程正是一个以抽象概括方式建立数学模型的过程：具体问题—数学问题—符号模型。可见，在新知探索中融入“模型建构”的实质是让学生经历分析与归纳、抽象与概括的数学思维过程。
三、习题训练中孕伏“模型提炼”
研究表明，数学训练可以分为三个层次。第一层次是“知识堆积”与“解题术”，它看得见、摸得着，易操作、复制，但功能性弱，应用面小；第二层次是思维方法和解题方法，程序性弱，不易复制，但功能性强，应用面宽；第三层次是数学思想与数学观念，它虽然抽象，程序性更弱，但功能性更强。因此，作为数学教师在教学中要科学地有层次地设计练习，使习题训练真正起到提炼数学思想方法的效果。
例如，在教学“圆的周长与面积”这一单元时，遇到如下的一道题目：
如图1，正方形的面积是6
，圆的面积是多少平方厘米？
图1
对此，一位教师设计了如下的教学片断：
师：你们能发现圆与正方形之间的联系吗？
生：我观察到正方形的边长就是圆的半径，如果正方形的边长用a来表示，那么a的平方等于6，也就是r的平方等于6。
师：那么，怎样算出圆的面积呢？
生：先求出圆的半径6÷2=3(cm)，再计算
。
师：到底对不对呢？（学生讨论、交流）
生：不对！r的平方表示两个r相乘，并不是两个r相加，所以不能这样做。
师：有没有其他办法求出此圆的面积呢？
生：根据圆的面积公式，可不求出r，直接把r的平方代入公式，即
。
师：多么富有创意的想法！能否把它提高到一种规律性认识呢？
生：以正方形其中的一个顶点为圆心，以正方形的边长为半径的圆的面积=正方形的面积×3.14。
师：这位同学的概括性语言真准确、简练！真了不起！
在这道习题的讲解中，教师并不仅仅满足于得出答案，而是进一步深度挖掘，让学生找出圆与正方形的内在联系，即提炼出此问题的数学模型。在这个过程中，一部分学生表现出非凡的归纳与提炼能力。
又如，在解决“周长是24cm的长方形，面积是多少？”这道习题时，一位老师设计了如下的教学片断：
（先让学生尝试着做一做，组织交流；教师鼓励学生说出不同的答案。待两位同学发言后，下面仍有不少的学生跃跃欲试，准备发言。）
师：看样子同学们还有话要说，是不是还有不同答案？
生：是。
师：提出题目的一个答案并不难，请同学们好好想一想，我们能不能按照一定的顺序写出所有的答案？（生思考，再小组交流。有的小组考虑将12分成两个数的和进行表述；有的小组列出表格解决问题）
师：大家一起观察表格中的长和宽，再比较它们的面积，你发现了什么？（学生观察、交流）
生：面积相等的长方形，长和宽差距越大，周长就越长。
生：长和宽差距越小，周长就越短。
师：说得真好！如果周长不是24cm，这个结论还成立吗？各小组分别试一试。
生：这个结论还是成立。
师：面积相等的长方形，长和宽均为整厘米数，它们的周长又会有什么样的规律呢？各小组再试着来研究一下。（学生还是得出：面积相等的长方形，长和宽差距越大，周长就越长；长和宽差距越小，周长就越短。）
这位教师透过问题本身，看到了问题背后所隐含着的更为深刻的思维引导价值，合理地对问题进行了深度挖掘，举一反三，有意识地对学生思维进行有序性、深刻性、批判性地指导和渗透。在这个过程中，学生对自己所提炼出来的数学模型越来越有信心。可见，在习题训练中重视数学模型的提炼，真的可以起到事半功倍的教学效果。