基于双层规划的反恐应急设施选址模型及算法
项 寅
(苏州科技大学商学院，江苏 苏州 215009)
摘 要： 恐怖袭击常以人流密集地区的平民作为袭击目标，并存在突发性和随机性等特点，极易造成严重的袭击后果。通过反恐应急设施的合理布局可以缩短救援人员和物资的到达时间，从而减轻袭击后果。首先，对反恐应急设施选址问题进行描述，并将其构造为一类离散双层规划模型。其中，上层规划是关于政府选址的0-1规划问题，下层规划则是关于恐怖分子袭击目标选择的0-1规划问题。其次，结合模型和问题的特征设计算法，利用分支定界算法实现上层选址变量的隐枚举，同时通过下层问题的求解来确定上下界并判断是否满足分枝或剪枝的条件。最后，结合南疆地区的交通拓扑网络进行算例分析，结果证明有效的选址方案可以大大降低袭击损失。
关键词： 双层规划；恐怖袭击；应急设施选址；分支定界
1 引言
恐怖活动是指非国家的行动者为获取一定的经济、政治或宗教目的，利用威胁、恐吓或强迫等手段来实施的违法暴力事件[1]。当前，中国面临的恐怖主义威胁同样严峻。以“东突”为首的恐怖组织在中国西部边境地区频频制造恐怖活动，严重影响当地的和平、稳定与发展。
特别的，恐怖活动常以人流密集地区的平民作为袭击目标，进而极易导致严重的袭击后果。例如：2001年9月11日，恐怖分子劫持民航飞机撞向世贸中心和五角大楼，导致2996人死亡，造成经济损失2000亿美元；2009年7月5日，中国乌鲁木齐市发生由恐怖组织策划的打砸抢事件，导致197人死亡，1900人受伤，造成经济损失6895万人民币。
因此，恐怖袭击一旦发生，如何提高应急救援能力并降低袭击损失，成为了当前反恐研究的重要课题。许多学者针对反恐应急设施选址问题展开研究，并通过应急设施的合理布局来缩短应急人员和物资的到达时间，进而迅速遏制袭击后果的恶化。
21世纪之前，应急设施选址研究多应用于地震、飓风、洪水、火灾等自然灾害发生后的快速救援和有效控制，相关研究主要在静态的p -median模型[2-3]、p -centre模型[4-5]、集覆盖模型[6-7]、选址-分配模型[8]，以及选址-路径模型[9]的基础之上，逐步拓展到多目标[10-11]、多物资类别[12-13]、随机模糊[14-15]或动态[16]等情形，进而更好地拟合现实情境。由于自然灾害的发生概率并不受选址策略的影响，因此传统的应急设施选址问题只涉及政府一类决策主体，因而上述模型大多被构建为以系统损失最小化为目标的单层规划模型。相关求解算法也相对成熟，包括分支定界结合拉氏松弛的算法[3]、列生成算法[2]、各类启发式算法[5,10]和元启发算法[11,13,14,16]。
ATB培养基：蛋白胨1.0 g，葡萄糖1.0 g，酵母浸 出 物 0.5 g，MgSO4·7H2O 0.2 g，MnSO4·4H2O 0.005 g，番茄汁25 mL，蒸馏水75 mL。
21世纪之后，反恐应急设施选址成为一类新的研究问题。不同于自然灾害，恐怖分子具有理性行为人的特点，其袭击策略会随政府选址策略的变动而做出反应。因此，传统的p -median模型、p -centre模型、集覆盖模型以及衍生的各类模型就不能用来反映政府和恐怖分子间的博弈和竞争关系。鉴于此，Berman等[17-18]分别考虑了选址信息公开和隐蔽这两种情形，并利用博弈论方法将上述情形下的反恐应急设施选址问题分别构造为斯坦克伯格博弈选址模型和纳什博弈选址模型。随后，国内学者韩传峰等[19]和柴瑞瑞等[20]进一步提出了选址信息公开时，存在生化恐怖袭击和连续恐怖袭击情形的斯坦克伯格博弈选址模型。
20世纪80年代初冬前使用绿麦隆防除看麦娘，春季使用二甲四氯防除巢菜等阔叶杂草，但年度间、田块间防治效果差异大。针对这一问题，逐步改进采用绿麦隆与尿素、细土混配浅层施药技术，提高绿麦隆对杂草的防除效果。
然而，上述研究存在一些不足：一方面，为方便求解，现有博弈选址模型的构造思路均是通过复杂化目标函数的方法来最大程度地减少约束条件，虽然模型的整体结构较为简单，但是很难在此基础上应用或改进已有关于求解组合优化问题的一些精确解算法，相反只能针对简单的拓扑网络进行离散顶点的穷举计算，或利用元启发算法求得近似解。例如，文献[18]和文献[20]仅仅针对3个顶点和4个顶点组成的拓扑网络进行数值分析，而文献[19]的遗传算法又很难保证精确性。另一方面，为方便计算，现有研究均把设施数量作为约束条件，忽略了不同地区设施建造成本的差异性以及反恐预算经费对于选址数量的约束。
当i =1和j ∈{1,2,3}时包含的约束为：
是青辰，转身从天葬院的墙上摘下了一只滑翔翼。那滑翔翼前窄后宽，像一只巨大的三角风筝。他双手握着翼面下方的支撑架，快速地助跑几步，然后猛地蹬离地面，从山巅滑下。
2 模型构建
2.1 基本分析
反恐应急设施选址问题涉及政府和恐怖分子两类决策主体。其中，政府是设施选址的决策者，恐怖分子则在给定的设施布局下选择最优的袭击目标。因此，反恐应急设施选址要解决的基本问题是：给定一个离散的交通网络，恐怖分子通过观察应急设施的位置来做出最优反应，并以最大化袭击损失为目标来选择网络中的某个顶点进行袭击，政府则需要在给定的预算经费下，选择网络中的若干顶点建立应急设施，进而使恐怖分子最优袭击策略下的损失最小。
上述问题涉及两个方面的决策问题，即政府的选址问题和恐怖分子的袭击目标选择问题。其决策顺序为：首先，政府在经费约束下选择网络中的若干顶点建造应急设施；随后，恐怖分子观察到设施布局后，以最大化袭击损失为效用准则，选择网络中的某一个顶点袭击。
显然，在决策过程中，政府的选址方案通过缩短袭击后最近设施的救援时间来减少袭击损失，因此设施的选址布局会影响恐怖分子袭击顶点的选择；相反，恐怖分子可实施的各类袭击策略也会反过来成为政府选址时的考虑因素。因此，反恐应急设施选址问题是一个典型的双层规划问题。如图1所示，政府处于领导地位，其决策属于上层规划，通过设施的选位来最小化最优袭击策略下的最大损失；恐怖分子处于从属地位，其决策属于下层规划，需结合设施的布局，选择最优袭击目标来最大化袭击损失。
图1 反恐应急设施选址双层规划模型
2.2 问题描述
一般地，反恐应急设施选址问题描述为：在给定的某区域交通拓扑网络G (N ,A )中，代表各城市的顶点集用N ={i :i ∈N }表示，顶点总数记为n ；代表城市间公路路段的有向边集用A ={(i ,j ):(i ,j )∈A }表示。设d ij 为顶点i 和j 间的最短路距离，并假设救援物资始终沿最短路径运输；设w i 为顶点i 发生袭击后的救援物资需求量；设c i 为顶点i 处的设施建造成本。
在给定的拓扑网络中，政府为先行者，首先在有限经费B 下选择网络中若干顶点建造应急设施，在此假设每个设施的容量无限大，则政府的0-1决策变量可用x j 表示，x j =1表示在顶点j 建造应急设施，否则为0；恐怖分子为跟随者，观察到政府选址方案后选择某一个顶点发动袭击，在此假设袭击一定成功，且救援物资一定从距离袭击点最近的设施输出，则恐怖分子的0-1决策变量用z i 表示，z i =1表示袭击顶点i ，否则为0；y ij 则表示袭击发生后的救援指派方案，它在本模型中作为一类辅助决策变量，并用于救援距离表达式的构建，y ij =1表示受袭点i 的需求物资由设施j 提供，否则为0。因此，反恐应急设施选址所需解决的问题是：政府对设施的选址点进行决策，使得恐怖分子最优袭击策略下的损失最小。
显然，式(12)限定可行指派方案只能在y 11,y 12,y 13中选择，式(13)进一步压缩到y 12,y 13，式(14)则排除了y 13并得到唯一指派方案y 12，这显然是设施点2,3中距离袭击点1最近的指派。同理，一一测试x 和z 取其他值的情形后，仍可证明引理1的结论成立。
Loss
(1)
约束(9) 根据指标i ,j 的不同取值展开后的不等式约束包括：
2.3 模型构建
结合问题描述中政府和恐怖分子之间的主从对策关系，将反恐应急设施选址问题构建为如下双层规划模型：
(2)
(3)
x j ={0,1}, ∀j ∈N
(4)
其中，y ,z 为下层规划的解
(5)
(6)
(7)
y ij ≤x j , ∀i ∈N ,j ∈N
(8)
(9)
z i ={0,1}, ∀i ∈N
(10)
y ij ={0,1}, ∀i ∈N ,j ∈N
(11)
模型中，式(2)-(4)是关于政府选址的上层规划，式(5)-(11)是关于恐怖分子袭击目标选择的下层规划。上层规划所决策的x 会以参数形式出现于下层规划，并影响下层变量y ,z 的决策。当下层规划决策出y ,z 后，上层规划的目标函数值也就确定，并可作为上层变量x 评价和更新的依据。因此，对于任意一个上层变量x ，都有唯一的Loss 与之对应，并表示针对该选址策略时，恐怖分子最优反应下的袭击损失。由于x 是离散变量，可行解的数量是有限的，因此通过以上模型的求解必能得到一个最优的选址策略，即x *∈argminx Loss 。
目标函数(2)表示政府最小化恐怖分子最优袭击策略下的损失Loss ；约束(3)为选址的资金预算约束；约束(4)为选址变量的0-1约束；目标函数(5)表示恐怖分子最大化袭击损失；约束(6)表示恐怖分子只能袭击一个顶点；约束(7)的作用机制为：当z i =0时，禁止设施向未受袭击的顶点进行救援指派，即
而当z i =1时，要求至少有一个设施被指派到受袭击顶点，即
约束(8)表示救援物资必须从已有的应急设施中输出；约束(9)为经典的Church &Cohon 最近救援指派约束[21]，它保证了救援物资一定从离开受袭击点最近的应急设施输出，并已在许多经典选址问题中得到应用[21-22]。约束(10)-(11)则为袭击变量和指派变量的0-1约束。
由于指派变量y 属于政府的决策变量，因此常规建模思路是把约束(7)-(9)移至上层规划，并将y 作为上层规划的决策变量。然而，按以上思路建模后，由于y 以参数形式出现在下层规划，因此只能代表一类具体的指派方案。那么，目标函数(5)中的
也就不能再用来灵活地刻画已有选址点和任意袭击点间可行的指派距离，而是成为了一个固定的距离值，且不会随袭击变量z 的变化而做出调整。显然，这将导致袭击变量z 的错误决策，并使下层规划求解发生偏差。例如，当网络顶点总数为n =3时，将上层某选址方案
和指派方案
代入下层规划后，下层目标函数中的救援距离就始终为
因此当袭击变量z 表示袭击顶点1以外的节点时，救援距离就被错算了。
相反，将约束(7)-(9)放在下层规划，并将y 作为下层决策变量后，虽然直观上觉得变量y 和z 可分别通过增加救援距离和顶点权重w i 的途径来最大化袭击损失Loss ，因此y 成为了恐怖分子的决策变量，并可能决策出最远的指派方案。然而，通过深入分析发现：约束(7)-(9)的巧妙构造不但能避免该情形的发生，还保证了指派变量y 必与给定的袭击变量z 唯一对应，并始终代表从现有设施到袭击顶点的最近指派方案。类似的建模方法可参考设施保护问题的相关文献[23]。
约束(8) 根据指标i ,j 的不同取值所展开后的不等式约束包括：
证明：首先，约束(7)包含n 个等式约束，由于只能袭击一个节点，因此z 确定后，仅有1个等式约束的右边项为1，此时可行指派方案从n 2个缩减为n 个，均为指向袭击节点的指派方案。其次，约束(8)包含n 2个不等式约束，假设设施数为3，则约束(8)进一步将n 个可行解缩减至3个，且均表示从现有设施指向袭击点的指派方案。最后，最近指派约束(9)保证了最终的指派方案一定为3个可行方案中救援距离最短的一个。因此，以上引理可得证。
以图2为例，固定选址变量为x 1=0,x 2=x 3=1，并计算当袭击变量为z 1=1,z 2=z 3=0时，满足约束(7)-(9)的指派方案。
本文研制的是一种无机泡沫吸波材料，是利用碎玻璃或火山灰等为主要原材料，在其中添加电磁损耗物质，熔融发泡而成的一种隐身材料，如图7所示。
图2 一个简单的图例说明
结合图2，约束(7)根据指标i 的不同取值所展开后的等式约束包括：
(12)
引理1. 下层规划(5)-(11)中，约束(7)-(9)保证了在上层选址变量x 参数化时，无论袭击变量z 取何值，有且仅有唯一的救援指派变量y 与之对应，且一定为已有选址点到袭击点的最近指派方案。
(13)
式(1)中，Loss 表示袭击总损失，它由各顶点的袭击损失Loss i 加总而成。显然，当且仅当z i =1，即顶点i 发生袭击时，Loss i 才等于救援过程中因物资运输距离延误造成的损失
与因物资筹集时间延误造成的损失β (ln(w i )-γ )·w i 之和，否则Loss i =0。其中，α 表示运输过程中单位物资单位距离延误的损失系数；表示救援距离；β 表示物资筹集过程中单位物资单位时间延误造成的损失；ln(w i )表示物资筹备的时间，它是关于物资需求量w i 的凹函数，满足
并用于反映救援物资筹集过程中的“规模效应”；γ 表示政府对单位物资的管理能力，它与应急物资筹集延误时间呈反比。
因此，本文旨在打破上述瓶颈，考虑存在经费预算约束的情形，将反恐应急设施选址问题构造为一类离散型双层规划模型，并设计有效的精确解算法，以期扩大现有反恐应急设施选址研究所应用的拓扑网络规模，并为今后考虑随机、动态、时变网络中的反恐设施选址相关研究提供一类基础的整数规划模型。
(14)
当i =2和j ∈{1,2,3}时包含的约束为：
(15)
当i =3和j ∈{1,2,3}时包含的约束为：
(16)
参考文献[19]，在此将袭击损失的表达式定义为如下函数：
证毕！
抽象扩展结构水平（extended abstract level）：通过对数据分析、推理，提出具有普遍意义的猜想或推论．譬如，能认识到数据分析结果的合理性判断与人们的实践需求紧密相关，或者能提出类似的观点．
因此，由引理1可知，Loss 的大小事实上仅由袭击变量z 决定，因为在约束(7)-(9)的作用下，当袭击顶点确定后，唯一的指派变量y 及最近救援距离也相继确定，若此时还想通过调节y 来增加Loss ，则y 必会违反其中的某个约束，并成为非可行解。这一性质为下层规划的快速求解提供了便利。
3 下层规划求解
显然，模型(2)-(11)的上层规划结构简单而下层规划相对复杂，尤其是目标函数(5)中的非线性乘积项z i y ij ，增加了下层规划的求解难度。常规处理思路可以是增加一个新的0-1变量u ij =z i y ij ，并通过添加约束z i +y ij -u ij ≤1,∀i ,j ∈N 和约束z i +y ij ≥2u ij ,∀i ,j ∈N 的方法进行线性化处理，但其缺点是增加了决策变量和约束的数量，进而降低了计算的时间效率。
然而，由引理1可知，上层选址变量x 参数化后，每给定一个袭击变量z ，就有唯一的最近指派方案y 与之对应。因此，可充分利用这一性质，通过袭击节点的穷举来实现下层规划的简便计算。具体思路为：在给定选址方案x 下，对n 种可行的袭击方案z 进行穷举，依次根据约束(7)-(9)以确定每类袭击情况下的最近救援指派方案y ，随后将指派和袭击方案一起代入目标函数(5)计算袭击损失。最后选择袭击损失最大时所对应的袭击节点作为下层规划的最优解。相关伪代码如下：
为方便计算，算法1中的变量z 用自然数编码，
以表示袭击的顶点序号，而
则用0-1编码，例如
中各元素只能取0或1。算法1中的向量U ,y ,ad 分别用来记录各顶点的袭击损失、最优指派方案、各可行指派方案对应的救援距离。
主程序中的第3行-第5行表示将最短距离矩阵d 中的元素逐行地赋给向量dis ，这样dis =[d 11…d 1n ,d 21…d 2n ,…,d n1 …d nn ]正好与y 中每个元素一一对应。第5行-第14行为每个袭击点i
Star SU星速公司由拥有90周年历史的美国老牌刀具领导企业Star Cutter公司和意大利老牌SAMP S.p.A集团下的Samputensili公司合资组成，是世界上最大的齿轮刀具、机床生产公司之一。2015年星速中国正式成立，将世界领先的齿轮加工技术带来中国，结合中国市场的需求，依托全球兄弟公司资源，为中国客户提供更齐全的刀具、机床产品以及高效的定制化齿轮加工全套解决方案。
（3）综合污染指数和有机污染指数评价表明，洞庭湖及其入湖口表层沉积物整体上呈轻度污染，南洞庭湖污染比东、西洞庭湖及入湖口严重，各个入湖口中以湘江入湖口污染最高。
的穷举过程。其中，第5行依次枚举的i 表示袭击节点序号，其实质是在遍历满足约束(6)时的各类袭击情形。第8行-第10行体现了约束(7)-(8)的作用，表示找到所有可行指派方案，并将其救援距离保存在向量ad 中，这是因为第8行的for循环和第9行的逻辑判断保证了最短距离矩阵d 的第i 行第j 列元素就是已有选址点j 到当前袭击点i 的距离。第11行-第12行体现了约束(9)的作用，在可行指派方案中选择距离最近的指派方案，并得到最优的指派方案y 。第13行表示将现有袭击节点i 和最优指派方案y 代入目标函数(5)以计算袭击损失。其中，y T 为向量y 的转置，dis ·y T 则为最短救援距离。第15行为返回目标函数和最优袭击节点。
显然，算法1通过n 次迭代就可得到最优解，且每次迭代中的操作仅涉及四则运算、取最大值、位置查询和赋值等简单命令，因此其计算时间复杂度不会随着网络节点规模n 的增加而呈指数函数形式增长，并可在较短时间内实现下层规划的求解。
4 分支定界算法
关于双层规划，Bard[24]已经证明其为NP-难题。因其特殊的主从递阶结构，双层规划的求解相对复杂。目前的求解算法多集中于下层问题为连续型规划的形式，并通过下层规划的对偶或KKT条件来转化为单层规划进行求解[25-26]，而关于上下层均为离散规划形式的算法研究则涉及不多。
根据本文模型(2)-(11)可发现：上层规划为简单的单资源约束离散规划问题，当给定上层选址变量x 后，下层规划可通过算法1快速求解，且其目标函数Loss 又正好可以反过来作为选址变量x 评价和更新的依据。因此，本文设计分支定界算法以实现上层选址变量的隐枚举：首先，构造一棵搜索树，每个结点代表一类可行的选址策略。随后，设计相应的搜索规则对结点进行遍历，当到达某结点后，将当前选址策略代入下层规划并通过算法1计算此时的袭击损失Loss ，同时结合预算约束一起作为是否剪枝的判断依据，并通过剪枝来缩减结点的搜索规模。
1.5 统计学处理 采用SPSS 19.0软件进行统计学分析。计量资料以表示，计数资料用n(%)表示。采用t检验或χ2检验比较两组患者治疗前后的基本资料及随访终点指标。治疗前与治疗后指标的比较采用t检验；两组患者不同时间节点间的体质量及血清渗透压变化趋势采用重复测量方差分析。两组患者的住院时间进行Wilcoxon秩和检验。采用Kaplan-Meier法进行生存分析。检验水准(α)为0.05。
4.1 搜索树和搜索策略
结合选址问题的特性，采用设施逆向删除的思想构造关于选址策略x 的搜索树，首先，根结点代表所有顶点都建造应急设施的情况，其后，从根结点开始逐层地进行分枝，当搜索到第i 层的某个结点时，分别考虑网络中顶点i 的设施被删除或被保留者这两种情况，以此进行分枝并得到两个新的子结点。这样的方法一直重复直到网络中最后一个顶点的删除或保留情形被考虑到为止。
结合图2中的拓扑网络给出搜索树的示例，其完整的搜索树结构如图3所示。其中，搜索树的每一个结点均代表一类选址策略[x 1,x 2,x 3]，x i =1(∀i ∈{1,2,3})表示在顶点i 建造设施，否则为0。首先，设置根结点处的选址策略为[1,1,1]，即在每个顶点都建造设施，随后，在搜索树第1层中，针对顶点i =1分别考虑x 1=1和x 1=0两种情况，并将根结点分为两个子节点[1,1,1]和[0,1,1]，同理，在第2层中，继续针对网络中的顶点i =2分别考虑x 2=1和x 2=0两种情况，并得到第2层的各结点[1,1,1], [1,0,1], [0,1,1], [0,0,1]，以此类推。
一一边溪(“边溪”，《全宋诗》作“溪边”)石，堆成几别离。青蒲驶樯本，黄苇掠船墀。话别从今日，云来是几时。藏心栗黄蟹，归买配香炊。(后集卷一二芦门)
图3 搜索树构造示意图
显然，上述搜索树涵盖了3个顶点网络中所有可行的8种选址策略。但不足之处在于每个结点与其左子结点完全相同，例如第2层中的[111]与其在第三层中的左子结点[111]重复，这就使得搜索树结点规模比可行的选址策略几乎增加了一倍。因此，为减少不必要的重复计算，可利用深度优先策略，按先右后左的顺序依次搜索各结点。同时，构造一个集合用于储存已搜索过策略，并在每个新结点处判断当前策略是否属于该集合，若属于，则跳过计算并直接分支。
实践中，为减少内存消耗，搜索树并非在计算前一次性构造完毕，而是随着结点的遍历逐层添加和删减选址策略，并通过“栈”来实现其先进后出的特点。
4.2 上界和下界
每个结点都存在一个下界LB ，其值等于当前结点对应选址策略下的袭击损失Loss 。根据搜索树按照设施逆向删除而构造的思路，下界意味着当前结点所有后继结点所代表选址策略下的袭击损失都大于或等于LB 。以图3所示搜索树第1层中的[0,1,1]为例，它表示在顶点2和顶点3建立应急设施，此时的袭击损失即作为该结点的下界，并记为
由于该结点所有后继结点[0,1,1],[0,0,1],[0,1,0],[0,0,0]均表示在其基础上继续删除设施或至多维持不变，因此它们所代表选址策略下的袭击损失都必定大于等于
上界UB 是一个全局值，它等于已搜索过的可行选址策略中的最小袭击损失。通常，初始上界设为无穷大，随着遍历的进行，UB 会不断地动态更新，逐渐变小并越来越接近最优值。
4.3 分枝和剪枝
结合表3中的计算结果进行分析，进而得到如下结论：
为了尽快还债，自买车之日起，他一日三餐都啃馒头，吃泡面，长期营养不良，加之过度劳累，他患上了贫血病。2009年4月的一天，他昏倒在了办公室里。终于，在劳动节前，他还清了5万元的外债，还略有节余。
首先，当LB ≥UB 时，即当前结点的LB 大于全局的UB 时，需进行剪枝。这是因为LB ≥UB 意味着当前结点及其所有后继结点所对应的袭击损失均已经大于等于目前的全局最小袭击损失，因此继续分支并搜索后继结点没有意义，固而应剪枝。
其次，当LB <UB 且
时，剪枝并得到一个可行解。这是因为：一方面，当前选址策略已经满足资金预算约束，是一个可行解；另一方面，根据设施逆向删除法构造的搜索树来看，继续分枝后的选址策略均劣于当前选址策略，因此需剪枝。
4.4 算法步骤
算法中会涉及到一些符号命名：例如i 表示当前的搜索树层数，其作用和“指针”相同；LB 和UB 分别表示当前搜索结点的下界和全局上界；向量test (i )记录第i 层的当前搜索结点代表的选址策略，例如test (i )=[1,1,1,0]表示仅在顶点1,2,3建造设施；矩阵F 记录所有计算过的选址策略；向量opt 记录最优的选址策略；矩阵List 的作用与“栈”相同，List 的第i 行向量记为List (i )，用于记录当前第i 层需要计算的两个节点，即test (i -1)的两个子结点；tran 是一个过渡向量，在生成List (i )时发挥作用。
分支定界的过程为：在搜索树中，首先判断根结点处的选址策略是否满足预算经费约束，若是，则直接得到最优选址策略；否则，利用深度优先、先右后左的顺序进行搜索，搜索过程用List (i )记录上一层搜索结点test (i -1)所包含的两个子结点，并先取右边的子结点作为当前层的搜索结点test (i )。若test (i )是矩阵F 的子集，则继续分支，否则将其代入下层规划并利用算法1计算LB ，若LB <UB 并满足预算约束，则更新上界和最优选址策略；若LB <UB 但不满足预算约束，则继续分支；若LB ≥UB ，剪枝并回溯。如此循环，直到指针返回根节点，即i =0时，算法停止。相关伪代码如下：
伪代码中，第1行为根结点判断，如果根结点处的选址方案满足预算约束，停止算法并得到最优解。第2行为生成List (i )，并用于存放test (i -1)两个子结点表示的选址策略。结合图3中的搜索树来说明：当层数i =1时，test (0)=[1,1,1],trans =[0,1,1],List (1)=[1,1,1|0,1,1]表示根节点下两个子结点对应的选址策略，并作为第1层需要搜索的策略。第3行-第12行为整个搜索树的遍历过程。其中，第4行表示搜索当前层需要计算的新结点，并存入test (i )，同时更新List (i )。第5行判断当前搜索结点的选址策略是否已经计算过，若是，继续分支并进入i +1层。第6行表示计算当前搜索结点的下界，并保存已搜索过的策略。第7行-第8行为上下界判断：当LB <UB 且预算约束满足时，更新上界和最优策略；当LB <UB 但预算约束不满足时，继续分支并进入i +1层；虽然未写出LB ≥UB 时的代码，但是由于它代表两个if条件判断以外的情形，因此会直接跳过条件判断并转入第9行。第9行-第12行为回溯过程：若当前层i 的选址策略已计算完毕，即List (i )各元素全为0，则令i =i -1并返回上一层的父结点，若已返回到了根结点(i =0)，则代表搜索树遍历完毕，此时算法停止并返回最优解。
5 算例分析
5.1 算例描述
在此，以当前恐怖袭击最严重的南疆地区为例进行算例分析。图4a给出了南疆16个县市的区位分布，图4b则是将这些县市抽象为顶点，将公路路段抽象为边后所得到的交通拓扑网络图，共由16个节点和22条路段组成。其中，顶点i 受袭击后的物资需求w i 用该地区的人口总量来近似；顶点i 建造应急设施的费用则根据新疆地区的土地成本计算而得，相关数据见表1，数据来源为《新疆统计年鉴2017》；此外，任意路段(i ,j )的长度l ij 见表2，数据来源为《中国公路交通地图册》。
图4 新疆喀什地区市县分布及交通网络图
表1 各顶点 i 的受袭物资需求 w i (件)和设施建造成本 c i (万元)
表2 各公路路段( i , j )的长度 l ij (公里)
5.2 算例求解
利用分支定界算法求解上述算例。首先定义模型中的参数α =1,β =0.5,γ =1，结合表2并利用Floyd 算法计算任意两顶点间的最短距离矩阵d ，随后依次计算不同预算经费B 下的最优选址策略、袭击策略、袭击损失和计算时间。在装有Inter Core i7 2.9GHz处理器、8GB RAM的联想笔记本电脑上，利用Matlab2014a编译算法，计算结果如表3所示。
在分支定界算法中，只有满足一定前提条件时才对结点进行分支，否则进行剪枝。分支即进一步遍历该结点所包含的子节点，剪枝则进行回溯并用于减少搜索规模。由于每个结点只有分支或剪枝两类情形，因此仅对剪枝的条件进行说明，若不满足该条件，则执行分支。
首先，不同预算经费下B 的最优选址策略和袭击策略各不相同。例如：当B =500时，由于在所有建造费用小于500万的节点中，节点10(巴楚)具有较大的权重，且位于北部城市密集区的中心位置，因
表3 不同预算经费 B 下的最优解和算法性能指标
此是最佳设施建造点；此时恐怖分子则袭击权重最大的节点4(莎车)。当B =1000时，一个设施建在节点4(莎车)，并保护了最大权重城市，另一个设施则建在节点11(柯坪)，并与节点4产生协同作用，分别平衡了西南和东北地区的风险；此时恐怖分子袭击西北部偏远的大权重城市喀什。当B =2000时，选址点为节点5(叶城)、节点8(岳普湖)、节点11(柯坪)，实现整体风险的平衡；恐怖分子最优袭击点为东南部偏远的节点16(和田)。当B =2000时，由于费用的增加，在B =2000时的基础上将节点16(和田)也作为选址点；此时恐怖分子被迫袭击东北部偏远城市阿克苏。当B ≥2500后，选址策略总体上仍然遵从均匀分布、风险平衡的特点，且随着预算的增加，其建造节点的权重也逐渐增加。
其次，随着预算费用的增加，设施数量不断增加，相应的袭击损失不断减少，但是袭击损失的减少程度不断减低，说明两者间存在“边际效用递减”规律。因此，政府可通过增加反恐预算经费的方法来规避袭击风险，但需对经费的投入进行合理决策。
七部委《意见》对做好水利改革发展金融服务，提出了许多具有实践意义的意见和建议，作为与水利部签约银行之一，要自觉学习并在实践中加以应用。通过加大培训力度，保证分支机构准确理解《意见》内容，加强与本地区水利机构合作联系，落实推动合作协议内容，提高金融服务水利能力。加大宣传力度和范围，使七部委《意见》深入人心，形成内外、上下推动水利实现跨越式发展的动力。
最后，随着预算费用的增加，计算时间不断减少。这是由于通过设施逆向删减法所构造的搜索树的特殊结构而造成的：预算非常小时，设施数量很少，因此往往需要搜索到叶节点才能找到可行解并更新上界，剪枝发生在搜索树下部的几率较大，剪枝规模相对较小；相反，预算较高时，设施数量较多，剪枝发生在搜索树上部的机会就相对更大，剪枝规模更大。
6 结语
当前，恐怖主义威胁日趋严峻。为提高恐怖袭击应急救援能力，本文针对反恐应急设施选址布局问题展开研究，根据政府和恐怖分子间的主从对策关系构造双层规划模型，针对模型特点设计分支定界算法，并结合南疆地区的交通网络进行实例分析。
在实例分析中，本文不仅计算和获取了各决策情境下的应急设施最优选址布局方案，并为政府反恐科学决策提供支持；还通过各情境的对比而发现了反恐经费和袭击损失之间的“边际效用递减规律”，进而建议政府对反恐经费进行合理预算，以避免资源浪费现象或防御盲点的出现。
DAS汽封与布莱登汽封同属硬齿汽封，仅就汽封齿形式而言，这两种汽封与传统梳齿汽封结构完全相同。这两种汽封都是通过结构改进，保护汽封齿运行中不被磨损。为达到同一个目地，采用不同的途径。使用情况显示DAS汽封经运行，保护齿将会在较短时间内磨至与其他梳齿一样高，保护齿作用将受影响。
为简化模型和便于求解，本文模型仍存在一些局限。第一，本模型假设恐怖分子具有强大的计算能力并可针对设施布局做出最优反应，因此较适用于恐怖分子理性程度较高的情形。第二，结合我国政府在西部反恐中的大量人力与物资投入，本模型提出了应急设施存储物资容量充足的前提假设，而该假设却与一些中东及北非贫穷国家的物资匮乏情况相违背，进而限制了其在全球范围应用的普适性。第三，由于袭击后果较难度量，本模型仅仅结合城市人口数量进行近似，且忽略了现实中袭击效果的随机性和不确定性，固而会对模型的应用效果产生一定影响。
因此，未来研究可致力于突破上述局限，在本文所提出的基础模型之上拓展改进，进一步考虑恐怖分子为“有限理性”，应急设施容量有限，或袭击后果存在随机或不确定性的情形。
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A Bi -level Programming Model for Locating Terror Response Facilities
XIANG Yin
(School of Business, University of Science and Technology of Suzhou, Suzhou 215009, China)
Abstract ： Since September 11 and a series of terrorist attacks, terror has become a major threat in the world. In order to mitigate the effect of terrorist attacks, the government can pre-position enough relief resource and rescue equipments in some terror response facilities, which is helpful for improving the efficiency of emergency management.
A terror response facility location problem is considered which can be treated as a Stackelberg game between two rational decision-makers, namely, the government and the terrorist. The government is a leader, with limited budget, which first chooses some nodes in the network for building facilities, while the terrorist is a follower who chooses a node as attack target after observing the government’s action. As the terrorist can always make the best response to the government, the main decision problem in this paper is how to locate some terror response facilities within a given budget such that the worst attack effect can be mitigated.
Different from current researches associate with location of terror response facility, this is the first paper that presents an integer programming model with further consideration of a budget constraint. Compared with those theoretical location models that associate with this problem, our integer model is not only more suitable for applying and designing existing combinatorial optimization algorithms, but also provides a basic model for future extensions such as stochastic and dynamic scenarios.
In this paper, a bi-level programming model is presented to characterize the interaction between the two decision-makers. The upper level problem is associated to the facility location problem of the government, and the lower level problem refers to the target choosing problem of the terrorist. All of the decision variables in both level problems are binary.
In order to solve the bi-level programming model, a hybrid algorithm is proposed for the exact solution, where a branch and bound algorithm that used in the upper level problem enumerate the location strategies implicitly, and the another quick search algorithm is designed for solving the lower level problem once a location strategy is fixed.
Our model is finally applied in a case study of 16 cities in south Xinjiang province. The numerical results show that: (i) the optimal location strategy and attack strategy under different budget are totally different, (ii) with the budget added, the government can build more facilities, and the attack effect reduces, (iii) the computing time become longer when the budget increases.
2.1 病原菌分布情况 送痰培养共186份，168份检测结果为阳性，阳性率为90.32%(168/186)。62份血培养的培养结果示，21份为阳性，阳性检出率为33.90%(21/62)。结合临床症状、组织学检查等确诊VAP患儿有56例，VAP发生率为90.32%(56/62)。共检出病原菌194株，其中，革兰氏阴性菌185株(95.36%)，革兰氏阳性菌6株(3.09%)，真菌3株(1.55%)。痰培养细菌株及药敏试验结果见表1。
Key words ： bi-level programming; terrorist attack; facility location; branch and bound
文章编号： 1003-207( 2019) 07-0147-11
DOI: 10.16381/ j.cnki.issn1003-207x.2019.07.014
中图分类号： O225; F224.32
文献标识码： A
收稿日期： 2017-10-10； 修订日期： 2018-04-09
基金项目： 国家自然科学基金资助项目(71571114)
通讯作者简介： 项寅(1987-)，男(汉族)，江苏苏州人，苏州科技大学商学院讲师，博士，研究方向：应急管理、物流与供应链管理、网络规划、组合优化、智能算法，E-mail: xiang19872728@126. com.
标签：双层规划论文; 恐怖袭击论文; 应急设施选址论文; 分支定界论文; 苏州科技大学商学院论文;