中美义务教育数学课程标准中统计与概率场的比较研究_数学论文

中美义务教育数学课程标准“统计与概率”领域的比较研究，本文主要内容关键词为：中美论文,义务教育论文,概率论文,课程标准论文,领域论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      一、研究背景

      20世纪60年代以来，世界上许多国家都进行了基础教育数学课程改革，“统计与概率”内容一直是人们关注的一个焦点，其基础知识已成为未来公民的必备常识.

      20世纪50年代起，美国就一直强调统计与概率的教学.全美数学教师协会（NCTM）1959年提出的《中、小学数学教育改革总精神报告》就把概率入门与统计应用纳入到12年级的选修课[1].20世纪80年代，全美数学教师协会（NCTM）《美国学校数学课程与评价标准》不仅将统计与概率内容纳入到义务教育课程标准，甚至将其延伸至幼儿园，提倡统计与概率的早期教育[2].2010年6月美国首次颁布全国统一的数学课程标准《共同核心数学课程标准》（Common Core State Standards for Mathematics，以下简称CCSSM）[3]，目前除得克萨斯（Texas）、阿拉斯加（Alaska）、弗吉尼亚（Virginia）、内布拉斯加（Nebraska）和明尼苏达（Minnesota）外的45州都采用了该标准[4].该标准中规定了K-12年级的统计与概率内容，旨在循序渐进地渗透统计观念和随机观念.

      在中国，“统计与概率”内容在基础教育数学课程中几进几出.首先在高中出现，而后受到前苏联教育思想的影响一度取消.1978年起，历次数学教学大纲都要求在初中学习统计初步[5].2001年，中国基础教育进入新一轮课程改革阶段，国家教育部颁布了《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》，将“统计与概率”作为义务教育阶段数学课程的4个学习领域之一，并对其内容进行了详细说明.2011年，最新修订的《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011）》）对“统计与概率”进行了较大调整，仅从内容标准要求的条目数来看（见表1），3个学段共减少13条，降低了该领域的难度，并在3个学段学习内容的层次性上做了一定完善，注重数据分析观念的培养和与现实生活的联系.

      选用中国教育部2011年最新修订《课标（2011）》与美国2010年颁布的《共同核心数学课程标准》作为比较文本，就两国课标“统计与概率”内容进行比较研究，以期借鉴和吸收国外经验，为中国课程改革提供有益参考.

      

      二、中美义务教育数学课程标准“统计与概率”领域的共性

      （一）注重统计观念的早期培养

      中美两国均注重统计观念的早期培养.美国从幼儿园阶段，中国从小学一年级就要求学生学习有关数据分类的基本内容.美国CCSSM在幼儿园阶段要求学生能够“对物体分类，数出每类物体的个数”.中国《课标（2011）》也在第一学段提出“能根据给定的标准或自己选定的标准，对事物或数据进行分类，感受分类与分类标准的关系”等要求.皮亚杰的认知理论认为，儿童在前运演阶段的第一水平（2-4岁）就可以“识别有相同外延的两类东西，但还不明白小类的关系”，在前运演阶段的第二水平（5-6岁）已经可以“稳定地区分个体和类”[6].在幼儿园和义务教育初期渗透统计思想符合儿童的认知发展规律，有利于为学生日后数据分析观念的形成与发展奠定基础.

      （二）注重让学生经历统计过程

      让学生“养成通过数据来分析问题的习惯”，“发展统计观念”是中小学统计教育的主要价值[7-8].英国的Peter Holmes（1980）提出统计观念表现在5个方面：（1）数据的收集；（2）数据的记录与表示；（3）数据的提炼；（4）数据与概率的关系；（5）对数据进行解释并作出推断[9].中国《课标（2011）》在总体目标中明确让学生“经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程”，美国CCSSM也体现了对经历统计过程的重视，旨在帮助学生形成完整的统计观念.

      （三）注重信息技术与课程的整合

      信息技术的快速发展为统计与概率的学习搭建了平台，为学生的探究活动提供了有力帮助.中国《课标（2011）》认为“现代信息技术其真正价值在于实现原有的教学手段难以达到，甚至达不到的效果.例如，从数据库中获取数据，绘制合适的统计图表；利用计算机的随机模拟结果，引导学生更好地理解随机事件”.美国CCSSM认为：“擅长数学的学生，无论在哪个年级都应该能够辨别外部的数学资源，如网页中的数据，并利用它们提出或者解决问题.他们可以使用技术工具探索并加深他们对概念的理解.”美国CCSSM在统计概率的要求中还针对信息技术的使用提供了具体的教学案例.两国课标都充分肯定信息技术在统计与概率学习中的价值和作用，并倡导教师在教学中合理、有效地使用信息技术.

      三、中美义务教育数学课程标准“统计与概率”领域的差异

      （一）两国统计领域课程内容的展开主线

      中美两国义务教育数学课标在概率方面的展开主线基本一致，主要以对事件发生不确定性的感受与刻画展开.但两国统计领域的展开主线不尽相同（见图1，其中：第一、二学段指中国1-6年级，美国K-5年级；第三学段指中国7-9年级，美国6-8年级）.

      

      由图1可知，美国CCSSM的统计内容以“知识结构”为主线，按照“分类——数据收集与表示——数据分布与表示——样本推测总体——双变量的相关性”依次展开.这种展开方式体现出统计知识间的逻辑关系，具有较强的系统性，易于学生理清知识脉络.

      相比之下，中国的统计内容以“知识结构”作为第二主线，而以“统计实施过程”作为第一主线.《课标（2011）》将发展学生的数据分析观念作为义务教育阶段统计学习的核心，重点不在于让学生学习过多的统计概念，而在于让学生亲身经历统计的实施过程.中国课标对各学段的统计要求均以“数据的收集——整理——描述——分析——推断——交流”这一主线展开，循环上升.史宁中认为：中小学统计学课程、教学设计的核心目标之一是培养学生“通过数据来分析问题”，“相应的课程设计、教学设计的总体框架体现从收集数据到分析推断的全过程，并以这个过程为主线，抓住要点，循序渐进”[7].以统计实施过程为主线安排课程内容，有利于使教师、学生构建起一个完整的统计过程图景.

      （二）两国课程内容的学段安排

      “统计和概率”是中国义务教育数学课程的四大内容领域之一，中国课标从第一学段起就开始使用“统计与概率”命名该领域的学习内容，并在第一学段要求“数据分类、收集”等内容，从第二学段起要求“数据的分布及表示（平均数）”和“随机现象发生的可能性”.但美国CCSSM在第一、二学段用“测量和数据”来命名该领域的学习内容，使用两个学段来学习“数据的分类、收集和表示”，直到第三学段才在课标中出现“统计和概率”的概念，开始学习“数据的分布和表示”以及“随机现象的可能性”.美国在统计概率领域的课程安排较中国整体滞后，CCSSM编写组解释这样的安排是为了让学生在K-5年级把握住数据的分类和测量两大主题，为6年级的统计和概率学习打下坚实基础，并将他们的所学应用到算术中去[10].但是这样的安排也受到部分美国数学教育界的质疑，全美数学教师协会（NCTM）认为“统计学习应从3-4年级开始，而不是CCSSM所建议的六年级才开始学习统计”[11].

      （三）课程内容的广度

      虽然美国CCSSM对“统计与概率”内容的学段安排整体晚于中国，但美国该领域的课程内容总体上多于中国，多出的内容主要集中在第三学段（见表2）.统计方面，美国CCSSM较中国多要求了“箱线图”、“四分位数”、“平均绝对偏差”、“双变量的相关关系（群组（cluster），极端值，正、负相关，线性相关，非线性相关）”、“线性相关的直线表示”、“交叉列联表”等，在初中阶段就实现了一维数据分析到二维数据分析的过渡，而中国双变量的相关性是高中阶段的内容.概率方面：两国要求的知识点差异不大，但美国课标的表述中使用了明确的概率统计术语，叙述更为具体、明确.例如，美国课标在第三学段出现了“复合事件（compound events）”、“样本空间（sample spaces）”等术语.在刻画用频率估计概率时，要求“建立概率模型来计算事件的概率，并和你观察的频率比较，若观察的频率与计算的概率差异较大，解释误差来源”，注重学生的理解.

      

      （四）对“测量”的理解

      中国课标将“测量”内容归入“图形与几何”领域，在第一学段和第二学段给出具体要求.第一学段给出“结合生活实际，经历用不同方式测量物体长度的过程”等6个内容；第二学段给出“能用量角器测指定角的度数”等8条要求，旨在让学生在小学阶段理解“量”的实际意义，知道统一测量单位的必要性，让学生在实践活动中掌握有关测量知识和方法，了解测量的必要性.

      而美国课标在1-5年级，将“测量与数据”作为一个独立的领域.测量是收集数据的重要方法，是整个统计实施过程的基础.将“测量”与“数据”结合，旨在让学生在实践中体验“测量——获得数据——表示数据”这一完整的过程，从而感受测量的应用价值，更好地促进统计观念的形成.

      比较而言，中国课标将“测量”归入“图形与几何”，更加注重测量过程的体验和测量方法的掌握，欠缺测量的应用.在学生掌握了相关测量知识和方法后，难免会产生“为什么要测量？”、“测量的结果有什么用？”等疑问.教师往往关注到“测量”在“图形与几何”领域和“数与代数”领域之间所起的连接作用，但对“测量”和“统计与概率”之间的联系关注不够.教师在具体的教学实践中，应加强这方面的联系，培养学生的应用意识.

      四、反思与建议

      通过比较可以看出，中美两国最新课标在统计与概率的处理上存在一定差异，整体看来这种差异表现在美国CCSSM更加注重统计、概率知识的系统性，而中国更加注重统计过程的经历.差异的产生与两国课标制定的指导思想有着密切联系.

      美国数学教育在经历了“新数运动（New Mathematics Movement）”、“回到基础（Back to Basic）”、“问题解决（Problem Solving）”、“课程焦点（Curriculum Focal Points）”等一系列改革后，《共同核心数学课程标准》着重强调“突出重点（focused）”、“注重连贯（coherent）”两个核心思想.为了体现“突出重点”，美国课标各年级的内容标准分3级给出：数学内容聚焦的重要领域；数学内容概览（overview）；具体的数学内容标准.三级标准由概括到详细，从聚焦的核心内容到具体的课程内容要求依次展开，重点突出，知识的层次结构分明.为了体现“注重连贯”，美国CCSSM打通学段，将K-12年级的“统计与概率”内容进行整体设计，这一处理方法不仅利于改善学段之间的衔接问题，也有利于知识结构的合理呈现.

      中国此次义务教育数学课程标准的修订，在“双基”的基础上增加了“基本思想”和“基本活动经验”，明确了“四基”的课程目标，更加强调数学学习的实践性和过程性.这一思想落实在“统计与概率”领域，则表现为强调让学生：“经历在实际问题中收集和处理数据，利用数据分析问题、获取信息的过程”，更加注重统计实施过程的经历与体验，突出学生的主体地位.

      中国《课标（2011）》吸收了很多先进的教育理念，顺应国际数学教育发展趋势，但还需要注意以下问题：

      （一）加强知识间的联系

      统计与概率的学习过程会涉及整数、分数、比值、测量、计算、推理、问题解决等多方面知识，它为学生提供了将“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”4大领域内容联系起来的机会，可以成为学生综合运用测量、比、分数、百分数等知识的平台.美国课标体现出对知识间联系的关注，例如美国CCSSM明确要求“用轴线图（line plot）表示以分数为单位的测量结果，利用图中信息解决涉及分数加减的问题”，在测量、数据收集与表示、分数之间建立起联系；又如美国课标八年级要求“使用线性方程，解决涉及双变量的情境中的问题，并解释斜率和截距”.在统计与直线之间建立起联系.加强知识间的关联性，有利于学生加深相关知识的理解，培养学生综合运用知识解决问题的能力.

      此外，数学课程设置时还应考虑数学与其他学科的联系.如，生物课标将“生物的生殖、发育与遗传”作为初中生物学习的十大主题之一，其中会涉及生物性状遗传的可能性问题，与概率有着密切的联系.在数学与生物课程设置时，就要考虑两部分内容安排的先后顺序，让数学的概率知识成为日后生物学习的基础，同时也让学生在生物学习中体会到数学的应用价值.

      （二）增加信息技术与课程整合的具体案例

      信息技术给统计与概率提供了新的教学平台.统计方面，传统教学中，教师往往直接给学生提供材料、数据，直接引导学生如何整理、呈现数据，忽视数据收集的过程.信息技术支持下，学生可以根据具体问题，通过Internet收集数据，在这一过程中思考“为了解决这个问题，我要收集哪些数据？”，“如何在Internet上检索到所需数据？”等问题，亲身经历统计实施的全过程，形成完整的统计观念.概率方面，一些应用软件如Excel、GeoGebra以及图形计算器等都可以模拟随机事件的发生情况.美国CCSSM在七年级明确给出了使用信息技术的案例“使用随机数器作为模拟工具，估计如果40%的捐献者都是A型血，那么4个人中至少有1个是A型血的概率是多少？”中国课标有待增加信息技术使用的案例，指导教师在实际教学中利用技术的优势，帮助学生形成完整的统计观念和随机观念.

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