摘 要：已知数列{an},a1=a,an+1=pan+q(p≠1,q≠0是常数)，求数列{an}的通项公式an,是高中常见的递推数列问题。这类数列通常可转化为an+1+λ=p（an+λ），或消去常数转化为二阶递推式an+2-an+1=q（an+1-an），或归纳猜想证明，本文依据几个例题做了分析。
关键词：递推数列 转化 探讨
例1.已知数列{an}中，a1=1,an+1=2an+1（n≥1），求{an}的通项公式。
解析：
解法一（待定系数法）：转化为an+1+λ=p（an+λ）型递推数列。
∵an+1=2an+1（n≥1），∴an+1+1=2（an+1）（n≥1）；又a1+1=2，故数列{an+1}是首项为２、公比为２的等比数列。∴an+1=2n，即an=2n-1。
解法二（差分法形成差数列）：转化为an+2-an+1=p（an+1-an）型递推数列。
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∵an+1=2an+1(n≥1) ① ∴an+2=2an+1+1 ②
②－①得an+2-an+1=2（an+1-an）(n≥1)，故{an+1-an}是首项为a2-a1=2、公比为２的等比数列，即an+1-an=2×2n-1=2n，再用累加法得an=2n-1。
解法三：用迭代法。
an=2an-1+1=2（2an-2+1）+1=22an-2+2+1=…2n-1a1+2n-2+2n-3+…2+1=2n-1。
解法四：归纳猜想证明法。
a1=1，an+1=2an+1（n≥1）,
a2=3，a3=7，a4=15，…猜想：an=2n-1。用数学归纳法证明（证明略）。
这类递推数列解决后, 其他类型的递推可以转化并解决。
类型一：an+1=qan+dn(p、d为非零常数，q≠1，d≠1)。
这类数列可变换成= · ＋ ，令bn= ，则转化为bn+1=pbn+q`型。
例2.设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an+2n（n∈N＊）。求数列{an}的通项公式。
解析：∵an+1=3an+2n，两边同除以2n+1，得＝ · + 。令bn= ，则有bn+1= ·bn+ 。于是，得bn+1+1= （bn+1），∴数列{bn+1}是以首项为 +1= 、公比为 的等比数列，故bn+1= ·（ ）n-1，即bn= ·（ ）n-1-1，从而an=7·3n-2- ·2n+1。
类型二：an+1= （c、d为非零常数）,
若取倒数,得= · + 。令bn= ，从而转化为bn+1=pbn+q`型。
例3.已知数列{an}中满足a1=1，an+1= ，求数列的通项an。
解：∵数列{an}中，a1=1，an+1= ，
∴= ＋3，即- ＝3；
∴数列{ }是以 =1、公差为3的等差数列。
∴ =1+（n-1）×3，即 ＝3n-2；
∴an= （n∈N＋）。
类型三：an+1=canp（an>0，c>0，p>0，p≠1）。
这类数列可取对数得lgan+1=plgan+lgc，从而转化为bn+1=pbn+q`数列。
例4.已知数列{an}中满足a1=1，an+1=10an5，求数列{an}的通项an。
解：∵a1=1，an+1=10an5，lgan+1=5lgan+1，∴lgan+1+ =5（lgan+ ）。
∴（lgan+ ）是以 为首项、5为公比的等比数列。
lgan+ = ×5n-1an=10 。
类型四: an+2=pan+1+qan可转化为a`n+1=p`a`n+q`。
论文作者:雷永东
论文发表刊物:《素质教育》2015年8月总第182期供稿
论文发表时间:2015/7/17
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