论数学问题难度的静态因素，本文主要内容关键词为：静态论文,难度论文,因素论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
问题难度是教学中经常谈论的问题，它是影响教学效果的重要变量.如果教学中恰当地把握问题难度既有利于培养学生的思维能力，又不会脱离学生的实际认知水平；如果考试中设计合适的试题难度，就能充分发挥考试的鉴别、选拔、检查和激励功能.因此弄清影响数学问题难度的因素，数学教学才更具有针对性和时效性.问题解决的过程，首先是对问题空间的搜索，提取问题的信息，通过编码，把它转化为相应的数学原型，数学原型组成的网状认知结构就是问题表征，再通过思维运算、推理，网状结构逐渐向问题目标收缩，最后捕捉到问题目标，解题才告终结.在教学中通过对这一过程的分析与研究发现，数学问题的难度是由三个维度：知识度、运算度和模糊度所决定，这也是问题本身所固有的影响问题难度的静态因素.本文就问题本身的这三个维度做一探讨.
一、数学问题的知识度与难度
知识度是指问题涉及的陈述性知识的质和量，“质”是指问题考察的知识深度，“量”是指问题提供的信息量，问题涉及的知识越深入、信息量越大，横向的认知宽度越广，问题的综合性越强，问题的难度就越大.知识度包括以下变量：
1.缺失性知识
某些深层次的数学概念，特殊的工具性知识，教学中如果没有明确的要求又很少使用，是学生知识结构中的缺失环节，对问题的解决会产生严重的制约作用，是问题难度的第一个因素.比如不了解比赛中的“单循环制”“淘汰赛”等，不了解经济问题中的“增长率”“纯利”“翻两番”等，这些都影响到对问题的解决.再如，图1所示小圆圈表示网络结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量是____.由于不少学生缺失“网络中的信息传输方式”这一知识，导致解答错误.
2.信息量
编码是问题解决的一个重要的初始环节，问题的信息量大，解题者在获取信息进行编码时，注意力往往只集中在那些典型的“重要”信息上，那些非典型的“不显著”信息容易被忽略，从而阻碍了对问题信息的完整编码；信息过量与学生心理注意空间“内存”不足的矛盾使得部分学生经常出现那种顾此失彼的低级错误.例如：设双曲线（x[2]/a[2]）-（y[2]/b[2]）=1（0＜b＜a）的半焦距为c，直线l过点（a，0）和（0，b），已知原点到l的距离为
c，则双曲线的离心率为____由于本题牵扯到双曲线及其方程、直线及其方程、点到直线的距离及其公式、离心率等诸多信息，学生在解答本题的过程中，易疏忽0＜b＜a这一不显著信息，而得出两个数值.
二、数学问题的运算度与难度
认知心理学认为，问题空间由问题的初始状态、中间状态和目标状态所构成，问题的解决过程是从初始状态出发，通过操作推出一系列的中间状态，即算子，建立起从初始状态到目标状态的通路，最后抵达目标状态.
运算度是指问题解决过程中的思维运算强度.它包括运算长度和运算制约度，由初始状态抵达目标状态的过程中要经过一系列的中间操作状态，中间状态越多，初始状态与目标状态的认知距离越远，运算长度就越长；思维运算的制约规则越难，运算的障碍就越多.思维运算的路径长、障碍多，问题的难度就大.运算度包括以下变量：
1.工作记忆负荷量
问题解决的过程总是伴随着逻辑推理等思维运算，解题者先要记住前一个运算结果，再进行下一步的推理运算，这种思维操作过程中的记忆就是工作记忆.问题任务越复杂，中间的子目标越多，推理的步骤就越烦，工作记忆的负担就越重.在一个长的思维流程中，由于人的工作记忆容量有限，解题者可能会忘记各子目标运算轨迹及其相互间的关系，使后断思维链脱节，不得不中止推理运算的过程.正确掌握公理、定理、原理、公式、法则、性质等数学知识，既是进行数学思维的基础，也是分析和解决数学问题，减少工作记忆负荷量的基础.但是，有的学生不大重视对这些数学基础的研究和应用，从而导致解题过程繁琐，甚至出现错误.例如，直线l过抛物线y[2]=a（x+1）（a＞0）的焦点，并且与x轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=____.如果从抛物线y[2]=a（x+1）（a＞0）的方程出发，先求出抛物线的焦点横坐标，并写出直线l的方程，然后将抛物线与直线l的方程联立，求出两个交点的纵坐标（用字母a表示），依此用字母a表示被截得的线段长，并由此线段长为4，求得a的值.固然可以求得正确的结果，但运算量太大了.事实上，过焦点与x轴（即抛物线的轴）垂直的直线l被抛物线截得的线段就是抛物线的通径，其长就是抛物线方程y[2]=a（x+1）（a＞0）中的系数a，而与抛物线的焦点坐标无关，依此判断a=4，无须经过计算便很快得到了正确的答案.两种解法的效果有着明显的差别，究其原因，就在于是否真正懂得抛物线的几何特征及数量特征与抛物线方程中各系数的关系，也就是能否真正懂得抛物线的概念.可见正确、深刻理解数学概念对减少工作记忆负荷量、正确、有效解题有很大的作用.
2.空间表象
空间表象是保留对象知觉特征的非语言形式，许多心理运作要对空间表象的信息进行思维加工.对三维表象的思维加工比二维表象难，因为三维表象比二维表象的短时记忆负荷量大，且二维表象可以借助画图进行物化，而三维表象有时很难物化，这就大大增加了人对三维表象的心理加工空间，犹如心算难于笔算，解题的难度提高了.因此诸多的立体几何问题在解决过程中，我们都是利用转换的思想方法将问题转换成平面几何问题去解决.例如求空间中的线线角、线面角、面面角都可以将其转换为平面中的角来解决.
3.解题规则
解题规则是指对问题解决的约束，数学中许多特殊的解题方法就是一种解题规则，如构造法、割补法、极端法、近似法等.有些问题经过多次试误找到一条有效的解题途径，它需要顿悟，因而解题的难度也就提高.
例1 已知正数a、b、c、p、q、r满足条件：a+p=b+q=c+r=k.
求证：（1）ap+bq+cr＜k[2]；
（2）aq+br+cp＜k[2].
分析 （1）由已知条件我们可以看出两数的和是一个常数，那么这两数的积就有一个最大值，所以利用基本不等式可得
（2）本题与上题结构极其相似，若仍采用基本不等式，发现此路不通，重新仔细观察题目的已知条件会发现，结论中的数量关系与第一问中的稍有不同，所证结论中的两个字母的积，不对应条件中两字母的和，那么问题的表征形式就要作相应的调节，把条件中的k看成一个正三角形的边长，构造正三角形，利用正三角形的面积关系证明.作边长为k的正三角ABC，在边BC、CA、AB上分别取点D、E、F，使BD=a、AF=b、CE=c，则DC=p、FB=q、EA=
即得结论不等式.为了获取对问题的适宜表征，教学中可以对同一题目进行多角度审视，根据表征方式的不同选择不同的解法，以锻炼学生的调节能力.
三、数学问题的模糊度与难度
模糊度是指问题描述的背景信息与数学原型知识关系的明确程度，问题的背景信息越模糊，问题与数学原型知识越间接，问题就越难表征，问题的难度就越大，所以模糊度衡量问题的表征难度.问题的表征过程，是在对问题空间搜索的基础上，有选择的获取有用的关键信息，这些信息与长时记忆中的某一认知图式匹配，问题的性质就被编入到某一认知范畴，并激活出相应的产生式系统，直至问题得到解决.但是，如果问题的背景模糊，信息隐蔽，解题者就难以获取全部的有用信息，信息的缺乏，使之无法找到与之匹配的认知图式，问题的认知范畴得不到正确定位，也就不能正确解决问题.模糊度包括以下变量：
1.问题情景的新颖性
新颖性和熟悉性是两个相对的概念，问题越新颖难度越高.因为对于一个熟悉的问题，解题者通过类比的策略，就可能在自己已有的认知结构中，找到一条有效的解题途径，而对于一个新颖的问题，解题者更有可能通过采取搜索的策略，在不断尝试错误后，有时还要通过顿悟，才能找到一条可行的解题途径.一是对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题；二是要读懂并理解在中学教学内容中没有遇到过的新知识，然后根据这个新的知识作进一步演算或推理，其目的是考查学生独立获取新知识的能力.推出创新性题目，考查考生潜能的命题思路在今年数学高考命题中得到了充分的体现.例如，2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（广东B卷）（15）：由图3有面积关系
，则由图4有体积关系
=____.试题要求考生通过类比或推广的方式得出一个正确的新命题.
2.问题性质的诱误性
一般而言，越熟悉的问题越容易解决.但是，对于一些表面情景相似而关键特征稍稍起了变化的问题，如果不加以有意识的监控，就可能会诱使解题者对问题的性质做出错误判断，用一成不变的不适当方法去解决问题.由于对相似问题的熟悉，受定势效应的影响，当某种特定的解题程序被自动激活时，解题者就不会再去考虑该程序是否适合当前遇到的新问题，产生“自动化”错误，此类问题对解题者的自我监控、自我反思等元认知能力有较高要求.
例2 若sinx=a-1，cosx=2a同时有意义，则a的取值范围是（ ）.
（A）-1/2≤a≤1/2
（B）0≤a≤2
（C）0≤a≤1/2
（D）a=2/5或a=0.
错解 由｜sinx｜≤1且｜cosx｜≤1解得0≤a≤1/2，故选C.上述解法忽视了隐含在两条件间的内在联系，没有考虑该程序是否适合当前遇到的问题.其实由sin[2]x+cos[2]x=1，可求得a=2/5或a=0，故答案应选D.
3.问题信息的隐蔽性
问题中的某些条件虽然客观存在，但没有直接的文字表达，让它隐藏于某些现象、过程、情景的描述之中，使解题者在获取信息时视而不见，造成信息遗漏，或不能将有用的信息全部提取出来，或者造成信息误解，对某些信息作错误地分析和理解.有的题目隐含条件很隐蔽，如果没有敏感的数学触觉，解题者在错误的或不完整的问题空间中搜索，就不可能对问题进行正确的表征，也不可能求得问题的正确解答.例如，O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
λ∈[0，+∞）.则P的轨迹一定通过△ABC的（
）.
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心.
解答本题首先要明确隐含的“四心”的意义；其
的起点为A并在角A的角平分线上，只有将这些隐含的信息挖掘出来，结合问题的图示才能正确解答.
4.问题目标的开放性
目标的开放性是指所求问题虽然有一个总的指向，但没有确切的目标，需要解题者自行设定目标对问题进行论证.目标开放题是一种结构不良的的常规问题，因为目标状态不明确，问题的空间无限大.解答目标开放题的关键是设定问题的合适目标，这需要创造性思维，而创造性思维被认为是问题解决的最高境界，因而具有较高的难度.例如，已知常数a＞0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i-2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得｜PE｜+｜PF｜为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.解题中目标状态的表征十分重要，因为求什么样的目标，就需要什么样的初始条件，反之，即使初始条件被挖掘，目标状态设定错误，也可能会得出错误的结论.本题解答可以假设存在两个定点E、F，使得｜PE｜+｜PF｜为定值，然后观察在探求的过程中是否存在相互矛盾的地方，若没有矛盾可顺利求解，若存在矛盾说明结论是不存在的，然后组织不存在的理由回答问题.