关于新旧教材中“数学归纳法”编写的比较研究，本文主要内容关键词为：归纳法论文,新旧论文,教材论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
合情推理和演绎推理是两种基本的逻辑推理，而数学归纳法充分体现了合情推理与演绎推理的基本思想。由于它对帮助学生体会证明的功能和特点，养成言之有理、论证有据的思维习惯具有非常重要的作用，所以不论是全日制普通高级中学教科书《数学》（以下简称旧教材），还是普通高中课程标准实验教科书《数学(A)》（以下简称新教材）都把它列为学生必须选修的重要内容之一。由于新旧教材在处理数学归纳法这一内容时出发点不同，因而方法也不同，为帮助教师更好地分析教材、理解教材和创造性地使用教材，促使教师的课堂教学较好地体现课程理念和达成课程目标，本文将对其进行如下比较分析。
一、教材内容安排的比较分析
旧教材把数学归纳法作为“极限”中的一个小节，新教材则把它作为“推理与证明”中的一个小节。尽管由于数学归纳法中蕴涵有无限的思想，但它是一种数学证明方法，与极限几乎毫无关系，所以新教材在“推理与证明”中首先让学生学习“合情推理与演绎证明”，然后让学生学习“直接证明与间接证明”，最后才让学生学习“数学归纳法”。这种安排注重了知识的逻辑关系，体现了数学归纳法是一种数学证明方法的基本属性。因此，在数学归纳法内容的安排上，新教材比旧教材处理得更恰当，更符合知识的特点和《课标》中“注重联系，提高对数学整体认识”的教学建议。
二、教材编写特点的比较分析
由于数学归纳法是数学家对与正整数有关的数学问题求解方法的研究，并由一代又一代数学家经过长期的实践、探索之后总结提炼出来的一种特殊的数学方法，所以《课标》要求“数学方法教学应该返璞归真，注重方法的提炼过程，使学生获取的方法成为在教师引导下的‘再创造’过程，提高学生的探索能力、创造能力和创新意识。”那么，教材是否真正达成了《课标》的这一要求呢？下面笔者就这个问题做简要剖析。
1.新教材的编写特点
新教材首先以“数列
，其中
（n=1，2，3…）”的通项公式的推导为问题情境，引导学生对通项公式获得的过程进行分析，发现这种用不完全归纳法所得的结论不一定正确，从而提出本节课将要研究的问题“寻求一种证明与正整数有关的数学命题的方法”。问题的提出自然、合情合理，学生学习的任务清楚、目标明确。在这个过程中，既关注了学生已有知识经验，又注重了知识的前后联系，符合学生的认知特点；问题情境的创设注意了知识背景，体现了《课标》中“数学教学设计要讲背景”的课程理念。然后教材从学生解决问题的常规思维习惯出发，提出了一种逐个验证的自然想法，引导学生对这种方法进行分析与讨论，发现它存在缺陷。在此基础上，进一步引导和启发学生发现解决猜想是否正确的关键是“如何将这种无限的推理过程转化为有限的推理”，使得“寻求一种方法：通过有限步骤的推理，证明取所有正整数都成立”想法的出现顺理成章，为后面的研究明确了方向。这种编写方式符合学生的认知特点和规律。在这个过程中，既培养了学生的分析问题和解决问题的能力，又注重了有限与无限、转化等数学思想方法的渗透，学生的数学地研究问题的能力得到潜移默化的培养。最后，教材从生活实例出发，引导学生对“多米诺骨牌游戏”进行分析，寻求其中蕴涵的规律，并采用类比的方法将其规律运用于数学问题的求解过程中，从而抽象概括出数学归纳法。这种处理方式关注了学生的生活经验，符合教学的直观性原则，降低了学生思维的难度，学生易于直观理解数学归纳法的实质。
2.旧教材的编写特点
教材首先展示等差数列通项公式的推导过程。我们知道，“等差数列的通项公式及其推导方法”的内容，教材是放在第一册（上）的，也就是说，这个知识是学生的已有知识经验。学生在学习这个知识时，教材一方面只求学生会用不完全归纳法推导公式，承认公式是正确的并会运用即可；另一方面对这种推导方法是否就是公式的一种证明方法？如果不是，公式的正确性又应该如何证明？教材采取了一种回避的态度。而数列的通项公式是一个与正整数有关的问题，数学归纳法就是证明这种与正整数有关的命题的正确性的一种特殊方法。由此可见，教材首先向学生展示等差数列的通项公式及其推导过程的意图：一是要求教师在教学时要关注学生的已有知识经验，注重知识的前后联系，完善学生的知识结构，提高学生对数学的整体认识；二是结合数列
通项公式的讨论，让学生明确以往经常使用的不完全归纳法只能帮助我们从具体事例中发现一般规律，由它所得的结论不一定正确，其正确性必须用其他方法加以证明。它只是一种推理方法，而不是一种证明方法。使得问题“那么，怎样判断用归纳方法得到的某些与正整数有关的数学命题的真假呢？”的提出自然，合情合理。此外，如果我们仔细分析很容易发现，数学归纳法的原理就蕴涵在等差数列通公式的推导过程之中。因此，教材这样处理还有另一个意图，也是最为重要的意图，那就是要求教师在教学时要引导学生对等差数列通公式的推导过程进行分析与研究，从中提炼并总结出数学归纳法。而教材的这一意图往往被教师们忽略，常常另辟蹊径，结果是得不偿失。最后采用旁白的方式呈现多米诺骨牌现象。从教材中旁白的表述方式可以看出，教材安排旁白的意图是要求教师在教学时，应首先让学生认识数学归纳法，然后再引导学生联系“多米诺骨牌”的玩法来认识数学归纳法，直观地理解数学归纳法原理的本质，从而理解为什么一个与正整数有关的命题只要用数学归纳法证明之后必定是正确的道理。
总之，教材的这种编写方式既关注学生的已有知识经验，又注重知识产生的背景，即从学生已有知识经验出发，逐步提炼总结出方法，让学生经历方法的形成与获取过程，同时也正确地处理了数学与生活的关系。
3.两种数学观的比较分析
根据以上分析不难看出，尽管两种教材都关注“数学与生活的联系”，但视角不同。新教材从“多米诺骨牌”的玩法中寻求规律，将其规律类比应用于数学问题的求解过程中，给出数学归纳法；而旧教材则是先从数学问题入手，从求解过程中提炼出数学归纳法，最后用“多米诺骨牌现象”对其进行解释。两种不同的视角却反映了两种不同的数学观，即新教材把数学归纳法看成是来源于生活，而旧教材则把它看成是来源于数学本身的。也正是由于这两种不同的数学观造就了两种不同的教材编写方式，而教材的编写方式往往影响着教师的教学方式和方法，学生在不同的教学方式和方法下就会形成不同的数学观。《课标》要求数学教学应让学生形成正确的数学观，那么，数学归纳法到底是来源于生活还来源于数学本身呢？对于这个问题我们必须弄清楚。追寻数学归纳法产生经历的大致过程，可以发现数学归纳法是数学家们通过对数学问题求解方法的研究，并且经过了相当长的时间才逐步提炼总结出来的一种特殊的数学方法。也就是说，它不是数学家们通过对某个（或某些）生活问题的研究而发现它们具有某种自然规律，再将它运用于数学问题解答之后形成的一种数学方法。即数学归纳法产生于数学本身，而不是来源于生活，不是生活中的规律在数学学科中的应用。由此可见，新教材的编写方式犯了“数学观”的错误，换句话说，新教材不能使学生形成正确的数学观。而旧教材则相反，它不仅正确地处理好了数学与生活的关系，而且能使学生形成正确的数学观。
事实上，数学归纳法的基础是皮亚诺公理。换句话说，数学归纳法是定理而不是公理。而高中学生未学习皮亚诺公理，所以他们不能证明其正确性。高中阶段只能让学生把它作为公理来认识，然而其自明性又不明显。应该采用何种方式才能让学生真正理解数学归纳法原理的实质呢？我想，“多米诺骨牌现象”是我们数学教育与教学的前辈们为解决这个问题而经过了长期的思索与寻求最终发现的，用它解释数学归纳法的原理具有很强的直观性，学生易于接受和理解其本质，从而被广大的数学教育与教学工作者接受，并沿用至今。由此可见，“多米诺骨牌现象”的作用是对数学归纳法的原理进行解释，而不是数学归纳法获取之源。
4.对教材处理的建议
我们知道，教育教学理念和思想是随着时代的发展而变化与创新的，而教材往往是教育教学理念和思想的载体。因此，我们必须注意，新的教育教学理念和思想绝不是凭空编造出来的，而是过去教育教学理念和思想的继承、发展和创新，作为新理念和思想的载体教材也应是一种继承、发展和创新。因此，新课程背景下教材应根据《课标》的要求，以及《课标》对教材的编写建议来编写，要体现新课程的理念和思想，同时还要注意处理好继承、发展和创新的关系。然而，就目前的各种课标教材来说，几乎都是全新的。也就是说，继承与发展的少，创新的多。就以数学归纳法这个内容来说，新教材完全否定了旧教材的编写方式，以一种全新的方式编写，然而却犯了“数学观”的错误，因而教材必须修订。当然，这里不是说旧教材就一点都不能变。事实上，尽管旧教材的编写意图体现了在关注学生的已有知识经验的同时，又注重知识产生的背景，在学生已有知识经验的基础上，逐步提炼总结出方法，可使学生经历方法的形成与获取过程，同时也正确地处理了数学与生活的关系，并能让学生形成正确的数学观。但是，教材的意图在这种呆板的编写方式中具有很强的隐蔽性，对教师各方面的能力要求较高，通常情况下，教师很难吃透教材并弄清其意图，教师的教学往往是重结果轻过程，结果是教材意图难以实现，因而新课程背景下使用这种教材是不合适的，需要改编。我想，新教材之所以采用一种全新的方式进行编写，这也可能是其中的一个重要原因吧。那么，新课程背景下，教材到底应该如何编写数学归纳法这个内容呢？我认为应该注意三点：一是教材应反映正确的数学观，内容要具有科学性；二是符合《课标》要求，正确体现课程的理念和思想；三是处理好继承、发展和创新的关系。下面笔者提供一种编写思路供教材编写者以后进行教材修订时做参考，同时也作为本文的结束。
首先展示等差数列通项公式的推导过程，并以思考题的方式让学生思考“在这个推导过程中用了什么数学方法？用这种方法所得的结论一定正确吗？”其次以数列
说明归纳推理只能帮助我们从具体事例中发现一般规律，而仅根据一系列有限的特殊事例归纳出的一般结论只能叫猜想，猜想是否正确则需要证明，以此揭示本节课的课题“那么，究竟应该如何证明这种与自然数有关的问题的正确性呢？”然后让学生思考：“为什么用归纳推理所得的结论可能正确，也可能不正确呢？”促使学生比较两个问题的推导过程，引导学生通过对等差数列的推导过程的分析与研究提炼出数学归纳法最后再用“多米诺骨牌现象”解释数学归纳法的原理，让学生理解数学归纳法的本质。