变化是“形式”，不变的是“质量”--2014年天津中学入学考试试卷第25题分析及其教学启示_数学论文

变化的是“形”，未变的是“质”——2014年天津中考卷第25题的评析及教学启示，本文主要内容关键词为：的是论文,考卷论文,天津论文,未变论文,启示论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      让学生学会思维，举一反三，透过“形”悟到“质”，这是数学教育的归宿点之一.细品2014年天津中考卷第25题（压轴题），笔者深有感触.

      一、试题呈现

      题目 如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E、点F、点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P.

      

      （1）若点M的坐标为（1，-1）.

      ①当F的坐标为（1，1）时，求点P的坐标；

      ②当F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式.

      （2）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0.过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m.

      说明：近几年来，天津中考压轴题都是以二次函数知识为背景进行命题，体现基础和能力并举的指导思想，同时兼顾技巧方面的考查，对学生的综合能力和思维的灵活性都提出了较高的要求.而今年的中考压轴题是围绕一次函数知识来设计的，是一个由定点（常数）到动点（变量）的“形”的放开，由浅入深，但“质”（待定系数法）始终作为一条主线，同往年相比淡化了技巧的考查，试题难度有所下降，减轻了考生过重的焦虑负担，从得分上看，区分度是优于历年的.

      二、试题评析

      分析：第（1）问中的第①小题求的是两条直线的交点坐标，需用待定系数法求得每条直线对应的一次函数式后，组成方程组求解即可.这一问考查了学生应掌握基本的知识点和基本的运算技能，同时又是下一问解法的铺垫；将第（1）问中的②与①进行比较，会发现点F由直线x=1上的定点变为直线x=1上的动点，相应的点P也由定点转化为一个动点.点F的纵坐标由常数到变量，这个变量可用一个参数来表示，正是由于参数的“搭桥”，对思维起到了“润滑”作用.类比迁移上问的解法即可求出y关于x的函数式.这一问放开的是点F的位置（点F的纵坐标），而思路上升了一个层次：引参法.用字母表示点F的纵坐标的变化值是一个“符号意识”的体现.建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式.这是中等学生的薄弱点，对中等学生掀起了一个小的思维波澜.

      第（2）问在第（1）问中②的基础上，又放开点M的位置（点M的纵坐标），点M由直线x=1上的定点变成直线x=1上的动点.如.图2，由于PQ是点P到直线x=1的垂线段，OQ是点Q到点O的线段，这两条线段都与点P的坐标“息息相关”，故此需求两直线的交点坐标，然后根据勾股定理建立方程求解.

      

      解：（1）①设直线OF的解析式为y=kx，因为点F（1，1）在直线OF上，所以1=k×1，k=1，所以直线OF的解析式为y=x.由点M（1，-1）和点F（1，1），得FM=2.因为点E和点F关于点M对称，所以EM=FM=2，点E到x轴的距离为3.因为点E在x轴的下方，所以E（1，-3）.设直线EA的解析式为y=mx+n，将A（2，0），E（1，-3）分别代入y=mx+n，得2m+n=0，m+n=-3，解得m=3，n=-6，所以y=3x-6.由

解得x=3，y=3，所以点P（3，3）.

      ②设点F（1，t），则FM=t+1.因为点E和点F关于点M对称，所以EM=FM=t+1，点E到x轴的距离为t+1+1=t+2.因为点E在x轴的下方，所以E（1，-t-2）.设直线OF的解析式为y=kx，所以t=k×1，k=t，y=tx.设直线EA的解析式为y=mx+n，将A（2，0），E（1，-t-2）分别代入y=mx+n，得2m+n=0，m+n=-t-2，解得m=t+2，n=-2t-4，所以y=（t+2）x-2t-4.

      

      （2）因为点E和点F关于点M对称，点F（1，t），M（1，m），所以EM=FM=t-m，点E到x轴的距离为t-m-m=t-2m.因为点E在x轴的下方，所以E（1，-t+2m）.由（1）中的②，知直线OF的解析式为y=tx.

      设直线EA的解析式为y=mx+n，将A（2，0），E（1，-t+2m）分别代入y=mx+n，得2m+n=0，m+n=-t+2m，解得m=t-2m，n=-2t+4m，所以y=（t-2m）x-2t+4m.

      

      三、教学启示

      2014年天津的中考压轴题难度较往年下降了一些，体现了“减负提质”的要求，但具有很强的区分度，体现了试题的选拔功能.这将成为今后日常教学的一个导航，中考复习的一个风向标.

      1.夯实基础，重视通法、通则

      中考题中的绝大部分试题源于教材，是教材中题目的引申、变形或组合.中考题的形式和知识背景千变万化，但其中蕴含的数学思想方法往往是相通的.因此，在日常教学和复习过程中应强调通法和通则的把握，同时处理好“通法”和技巧的关系，在学习中不应刻意地追求特殊方法、技巧，因为这些东西只有在特定的条件下才能应用.考虑到教材的编排遵循“螺旋上升”的原则，知识点较分散，所以在首轮复习中，我们必须“串读”教材，把相关内容进行分类、归整，形成完善的知识链.对成绩好的学生，应引导他们进行单元内知识点的整合的同时寻求各单元的交叉点、中间地带，把握它们之间的异同点.对学习困难的学生应指导他们完成教材中的题目，并要求他们注意解题方法的归纳和整理.

      2.注重变式，积淀本质

      应抓住数学知识的主干部分与通性通法，在此基础上开展一题多解、多题一解的训练，寻求不同解题途径与思维方式，培养思维的广阔性、深刻性、灵活性和敏捷性.要科学地设计探究性试题和开放性试题，激发学生的求知欲，培养学生爱问、敢问、善问的学习习惯，多给学生提问和思考的机会.使不同的人在数学上得到不同的发展.

      试题先由点F（1，1）起步，然后变为直线x=1上的动点，即点F的纵坐标是一个变量，最后对称点M（1，-1）由定点也“演绎”成直线x=1上的一个动点，即点M的纵坐标是一个变量，问题逐步深入，但遵循着由特殊到一般的思想，而其解法有一根主线“待定系数法”贯穿始终，这就是问题积淀的“质”，解法中融入的数学思想（数形结合思想和类比思想）是基本的.（1）①为基本题，试题背景是学生熟知的，体现的内容是初中生应掌握的通法、通则，入口宽，基础好的学生能拿到满分，同时又是下一问的铺垫；（1）②是一个中档题，分析、解决问题的方法较灵活，“参量法”的自觉应用，润滑了思维，搭建了思维的“桥梁”，这一问还体现了数学学法（类比迁移法）的应用；（2）题较上问又多了一个参量的“干扰”，但求交点还是类比迁移（待定系数法），同时较上问还多了两条“动”线段的“附着”，其间坐标的几何意义得到充分的“施展”，数形结合思想得到彰显，最后解参量方程.

      如何让中考压轴题能激发起大多数学生的参与意识，遇题沉着，善于思考，敢于拼搏，从而培养起学生的耐挫能力，正是笔者撰写该文的出发点和归宿点，期望得到更多同仁的切磋和指点！

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