论数学的真理困境——从实在论的角度看，本文主要内容关键词为：实在论论文,角度看论文,困境论文,真理论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
贝纳塞拉夫于1973年发表《数学真理》一文，讨论了数学的两种基本哲学思考必然相互冲突的问题：一种思考强调数学解释需要一种齐一的语义学理论，另一种思考则认为数学解释需要一种合理的认识论；由于二者互不相容，选择其中一种必然以放弃另一种为代价，从而形成数学真理的困境。
解决这一困境已经成为当代数学哲学工作者不可回避的课题。30多年来，它始终是实在论和反实在论论争的中心，是双方维护自身、批驳对方理论的双刃剑。对这一困境的深入思考，为“数学真理”这一传统问题的研究注入了新的活力，尤其是后哥德尔主义、后奎因主义的哲学家都提出了各自不同的修正理论。然而他们各自仍遭到了无法回避的诘难，他们的回应也只是数学真理困境在更深层次上的体现，而未能从根本上真正有所突破。因此，深入剖析贝纳塞拉夫数学真理困境出现的根源并寻找解决的方案，是十分必要的。
一、贝纳塞拉夫数学真理困境的本质
贝纳塞拉夫在《数学真理》一文中指出，对于“什么是数学真理”这一问题的回答，完全依赖于对数学真理的不同解释。这些解释出于两种截然不同的思考：一种是想要有一种同一的语义学理论，关于数学命题的语义学与关于语言中其余部分的语义学并行不悖；另一种是想要使数学真理的解释与一种合理的认识论紧密吻合。几乎所有关于数学真理概念的解释，都可被看作是奉行这两种思考中的某一种而舍弃了另一种。（Benacerraf,p.661）比如实在论的基本观点是认为数学与自然科学一样不依赖于人脑的意识而客观存在，强调数学命题的语义解释应该与其他科学语言的语义解释具有同一的语义学意义。这种以类似的方法处理数学与非数学命题的真理解释，所付出的代价是使如何能获取数学知识这个问题成为不可理解的。反实在论则坚持数学真理必须具有合理的认识论意义，这样做所付出的代价是不能将这些条件与真正的真值条件联结起来。目前关于数学真理的诸多解释要么是实在论的，要么是反实在论的，从而形成了关于数学知识的两类完全不同的理论体系。然而，由于实在论与反实在论的解释是不相容的，所以对数学真理的解释只能选择其中一种而放弃另一种。这一两难境地被人们称为“贝纳塞拉夫数学真理困境”。
贝纳塞拉夫通过对关于数学真理和数学知识的解释的考察，找到了出现困境的症结所在。他指出：“倒不是因为缺乏一种看上去令人满意的关于数学真理的解释，或者因为缺乏一种看上去令人满意的关于数学知识的解释，而是因为缺乏令人满意地将两者结合起来的任何解释。”（同上，p.663）这就是说，应该存在一种将数学真理与数学知识合理地统一起来的理论，支持关于数学真理和数学知识的全面统一的哲学观点。在此基础上，他为合理的数学解释列出了两个基本条件：(1)要求一种关于真理的全面的理论，依据这种理论，可以认定数学知识的解释确实是数学真理的解释。这种解释应当蕴含数学命题的真值条件，并且这些条件显然是这些数学命题的真理的条件。也就是说，要求关于数学真理的任何理论应当与一般的真理理论相符合，被称为“真理”的诸语句的属性确实是真理。(2)应当预设人们具有数学知识，并且这样的知识正是数学上真正形式化的、具有某种先验性的知识。因此，一个关于数学真理的解释要成为可接受的，就必须与具有数学知识的可能性相一致。（Benacerraf,pp.666—667）他强调在哲学上任何关于真理、指称、意义和认识的满意解释，都必须囊括所有这些概念，并且确保这些概念所适用的所有命题是正确的。那种仅适用于一般宏观物理对象的特定经验性命题、而不能成功说明理论性更强的对象的解释，是不能令人满意的。这不仅因为它不完备，而且还因为它很可能不正确地忽略了不同领域中知识的相互依赖性。含有量词的两个句子所具有的真值条件应该以相似、相关的方式，反映出量词在其中所发挥的作用。对于口头表达、用以论证、理论化和数学化语言的真理理论来说，应该为相似的语句提供相似的真理条件。只有找到这样一种合理的解释，才有可能真正地揭示数学的本质，才能更好地解释数学的语言，为数学的研究提供可靠的指导。
然而，此种借助于知识的因果理论的措施是值得怀疑的。因为将数学视为与其他经验科学一样，试图通过探究认识主体与知识客体之间的因果关系来说明数学真理性的做法会曲解数学的存在。由于数学对象所固有的抽象性，任何人都无权将适用于偶然的经验知识的认识标准强加于数学。某些哲学家甚至将数学与物理学完全对立起来，指出数学是抽象的，并不揭示偶然的经验真理；只要将它作为数学而不是物理学，困境就会自动消失。这类观点由于过分强调数学的抽象性而把问题回归到关于数学本体论的讨论上，但这本身正是实在论与反实在论争论的起点，因此这种对真理困境的直接回应无异于一种恶性循环。可见，贝纳塞拉夫遭到的质疑的关键在于他对数学真理所提供的解释标准，而不是真理困境本身。迄今为止，对贝纳塞拉夫真理困境的研究，始终是数学哲学中不可回避的课题。
二、反实在论对真理困境的回应
当代反实在论者对数学真理困境的直接回应是否认任何真理的存在。在他们看来，数学理论是人脑构造的产物，不指涉任何抽象的实在。这种观点为虚构主义的创始人菲尔德（Hartry Field）所倡导，他认为人们应放弃对数学本体的信念，建构全新的唯名论的语言替代数学在经验科学中的作用。然而，虚构主义仍有必要为数学知识提供一种能够为人接受的语义解释，为数学在物理等自然科学中的成功应用提供科学的说明。它必须说明：(1)数学作为一种唯名论的理论，即数学在不为真的情况下，如何能够应用于其自身不包含数学对象的理论；(2)科学理论能够被唯名论的术语所表达，即最好的科学理论可以摈弃对数学实体的指称。
事实上，菲尔德虽然否认存在数学的真理，但没有忽略数学理论的特殊性。他认为数学理论必须遵循保守性原则（称一个数学理论S是保守的，如果对于任何纯粹的唯名论断言A，这种断言的任意形式N，只有当A是N的逻辑推论的时候，A是N＋S的逻辑推论），这种保守性与真理性对于数学的可应用性具有相当的地位，即：
应用数学系统S从一个唯名论系统N中得出结论，其关键在于证明N中某一陈述在N＋S中陈述的抽象对应物。“我们可以将N中的一个或多个陈述‘上升’到它们的抽象对应物，然后用S从这些抽象对应物证明出N中其他陈述的一个抽象对应物，最后‘回降’到N中的那个陈述。”（Field,pp.20—21）在经验科学的确立过程中，数学具有一种榨汁机的功能：数学方法、逻辑理论以及包含它们的假设不能产生事实信息的果汁，但可以产生比预期输入多得多的另一类汁液。这种保守性原则可以说明数学在经验科学中的成功应用。菲尔德的另一项任务是说明在没有数学语言的情况下如何表征经验科学的定律。例如他可以用唯名论的语言来表征牛顿万有引力定理，即以希尔伯特的几何公理化为模型将牛顿万有引力定律进行公理化，其中可量化的对象是时空中的点和区域，然后证明一种表征定理，这种表征定理能够把关于时空区域和这些区域性质的断言与关于时空坐标的集合和这些集合之间函数关系的断言联系起来，从而允许人们从这些唯名论的定律上升到它们的抽象对应物，经过对抽象对应物的推理再回到可接受的唯名论的结论上来。表征定理将表明能够用一种数学理论的断言表征另一种数学理论的断言，二者是等价的。因而，可以在一种数学理论中对有关的数学断言进行推理，然后再用表征理论回到它们的非数学的对应物。依照这种方法，菲尔德认为可以将全部物理学唯名论化。
这种策略虽然在一定程度上缓解了反实在论在数学真理语义解释上面临的压力，却仍存在前后矛盾。首先，菲尔德所提出的保守性原则的概念含糊不清，因为他没有指明逻辑结论的概念是语义学上的还是句法上的。如果是前者，那么他将无法同时坚持他关于数学可应用性的“榨汁机”断言。称S对N在语义学上具有保守性，当且仅当对任意的纯粹的唯名论断言A，如果A[*]在N[*]＋S＋‘
M（x）’的所有模型中都是真的，则A在N的所有模型中也是真的。这种保守性不能保证A与S之间的内在关联，从而不能解释数学在纯唯名论语言中的应用。如果是后者，即称S对N是演绎地具有保守性，当且仅当对任意的纯粹的唯名论断言A，如果A[*]是N[*]＋S＋M（x）’的所有模型的一个定理，则A是N的所有模型中的定理，那么假如N是足够强大的包括算术断言的唯名论对应物的理论，那么S将不会对N具有保守性。此外，不管菲尔德选择哪种保守性原则，都与一致性具有密切的关联，这使得保守性原则同样不能免除一致性所面临的不完备性定理的质疑。
其次，菲尔德的唯名论化的万有引力理论是二阶的，因为它不仅允许对时空点进行量化，而且也允许对这种时空点的任意区域进行量化，这无异于接受了抽象集合的存在性，而这种接受显然是与反实在论者的出发点相背离的。
但是，菲尔德并未因此放弃对实在论的质疑，甚至通过对实在论提出更深入、更尖刻的认识论挑战，来回避其自身面临的语义学难题。在他看来，应该在数学家信念与数学真理之间提供一个充足的现实关联。由于这种关联建立于两个不同的事实系统之间，因而应该为数学可靠性论断提供一种科学的解释，但事实上这种解释是不存在的。对于物理学家来说，可以通过从事一项关于粒子的试验来解释对电子信念的可靠性。其科学解释建立在仪器如何测量电子的作用，仪器如何将结果反映到物理学家的眼中，感官刺激如何转变为物理学家关于电子的信念，以及这些信念如何形成并决定接受还是否定有关电子的语句等一系列因果关联上。而数学对象没有参与因果次序，数学断言的真值依赖于包含抽象数学实体的事实，这些抽象数学实体是外在于时空的。抽象数学实体与物理宇宙的极端分离，使数学可靠性论断的任何科学解释都成为不可能。然而菲尔德并没有明确说明何为科学的解释。他对物理可靠性论断提供的解释并没有保护科学使其免除怀疑论的批驳，这种解释由于对物理学的依赖而形成了循环论证。因此菲尔德对实在论的挑战是失败的。
三、数学实在论突破困境的尝试
数学真理困境提出之后，传统柏拉图主义者试图通过以下方式解决这一难题：要么断言人们拥有一种数学直觉的能力，它可以提供某种进入数学王国的认识论途径；要么断言人们能够得到数学王国的知识，尽管事实上没有进入它的认识论途径。然而这些观点对数学知识的解释存在含混的成分，显然不是令人满意的答案。于是一些实在论者开始寻找新的出路，试图通过赋予数学本质新的意义，为数学知识提供能够为人接受的认识论途径，为数学的可靠性论断提供一种直接的解释。
1.自然主义实在论
作为后奎因主义的代表人物之一，玛戴（Penelope Maddy）试图将柏拉图主义自然化，以使人们能够获得进入数学对象的认识论途径。她写道：“我试图抛弃传统的柏拉图主义者对数学对象的描述……，而将数学对象引入我们知道并且能够借助熟悉的认知能力接触到的世界。”（Maddy,p.48）在她看来，所有的数学对象都可以划归为集合，而集合是处于时空之中、可被感知的，ZF公理系统可以从可感知的集合中导出。如果能感知到数学对象，就无需担心获得这种对象的知识是不可能的。因而，反实在论的挑战将会自动消失。
玛戴的自然主义实在论主要有两个基本观点，即物理化的柏拉图主义和混合的柏拉图主义。物理化的柏拉图主义认为所有集合都是在时空中存在的；混合的柏拉图主义则认为某些集合是存在于时空中的（即非纯集合，如物理对象的集合、物理对象的集合的集合等），而其他集合是外在于时空的（即纯集合，如从空集通过像幂集运算一样的集合创造运算建立起来的反复的层级中的集合）。她试图在二者之间保持中立。然而这种自然主义的进路并未能帮助传统的柏拉图主义摆脱困境。这是因为：第一，物理化的柏拉图主义认为不存在纯集合，所有的集合都是存在于时空中、可被感知的，这与集合的抽象性不符。第二，混合的柏拉图主义没有为传统柏拉图主义提供自然化的进步。贝纳塞拉夫向传统柏拉图主义发起挑战的关键在于人们不可能知道非时空的对象是什么样的，他会进而追问混合柏拉图主义者如何知道纯集合与非纯集合是否是同类。既然在混合柏拉图主义看来纯集合是外在于时空的，人们就只能对非纯集合具有合理的认识论路径，从而不可能知道纯集合与非纯集合是否属于同类（即如何知道二者遵循相同的规律，或者二者的层级是同构的），因此混合柏拉图主义与传统柏拉图主义的推论一样无法被证实。如果玛戴的自然主义要想避免贝纳塞拉夫的认识论难题，她必须能够断言被感觉的对象就是集合论的对象，否则她将与传统的柏拉图主义处于相同的境地。她需要说明在认识主体与认识客体没有因果关联的情况下，如何能够知道集合理论的对象是什么样的。第三，玛戴为抽象性赋予了新的内涵，指出所有集合是可感知的、在非传统意义上是抽象的，然而在这种自然化的柏拉图主义中这两点不可能同时满足。因此玛戴必须要么放弃抽象性，要么放弃可感知性：前者会使她面对贝纳塞拉夫困境的语义难题，后者会使她面临贝纳塞拉夫困境的认识论难题。可见，通过将抽象性与可感知性联姻在贝纳塞拉夫困境中寻找出路的策略是失败的，因为这两种性质不会简单地协调一致。
2.结构主义实在论
作为实在论的坚定拥护者，夏皮罗（Stewart Shapiro）提出了把结构作为一种独特共相的柏拉图式（Ante Rem）的结构主义，指出数学的本质不是实体本身，而是不同数学实体之间的结构关系。数学对象就是自由存在的数学结构中的位置，如数字2就是在自然数结构中的一个位置，它在1之后，3之前。以特有的一致性公理（如果在二阶语言中是一致的公式，那么就存在一个满足的结构）为基础，他用类似于集合论的公理化方法将结构理论进行公理化处理。因此，只要能为数学本体提供更明确的实在依据，说明人们如何认识现实世界中的结构，就可以合理解释认识数学真理的可能性。
他提供了三种认识数学结构的方式：(1)模式：通过对认识某种结构在现实系统中的表征来获得这种结构的认识。(2)映射：通过映射可感知的模式获得更大结构的知识，比如理解欧拉公式e[iπ]＝－1的真理性时，人们往往会将它与人脑思维过程的心象同构。已知复变函数的基本公式为e[iθ]＝cosθ＋isinθ，根据复数e[iθ]在高斯平面上的矢量表示法，可以在人脑中形成复数的几何图像。当θ由0变到π时，复数平面上的动点也就沿单位圆周落到实轴上坐标为－1的地方。(3)定义：通过某些结构的语言描述而得到关于这些结构的知识。因此，“语言为我们提供了认识数学结构的大门。”（Shapiro,pp.45—71）通过在认识主体与认识客体之间建立同构的关系，来确保数学真理的可认知性。然而这些认识途径都是有问题的。首先，第一种认知方式与夏皮罗提出的结构主义的定义相悖。因为这种结构主义的本质是柏拉图式的，其基本主张是结构的共相先验地独立于任何现实系统的表征而存在，而第一种认知模式则认为通过对认识某种结构在现实系统中的表征来获得这种结构的认识，这显然属于一种亚里士多德式物理化的。（In Re）结构主义思想，与夏皮罗的初衷相背离。其次，第二种认知方式与哥德尔不完备性定理相矛盾。第二种认知模式可以提供那种尽管在现实中不可能、然而在物理上可能被表征的结构的知识，但这不能确证存在与那些在物理上不可能被表征的数学理论相对应的结构。如果通过认识结构的现实系统来获得对结构的知识，而事实上在对物理对象的假设中一致性没有隐含任何存在，那么就没有理由认为一致性能隐含任何数学结构的存在。夏皮罗的一致性是一种原始的、直觉的概念，不是划归为某种形式上的东西；它可以指明哪种数学结构是可以讨论的，却不能确定哪种公理系统是一致的，因而他对集合论一致性的预设会使他重新面临哥德尔不完备性定理的责难。最后，第三种认知模式的基础与同一性定义之间存在矛盾。同一性在夏皮罗的结构主义理论体系中起着举足轻重的作用，因为数学真理的可认知性是通过认识主体与认识客体之间建立同构关系来保证的。在他看来，不同结构中的位置相同是在一种约定意义上的相同，如自然数结构中的“1”与实数结构中的“1”不是真正的相同，而是在约定意义上的相同。这种约定具有严格的依据，即对于系统M和N，如果存在一个更高系统R，M和N都与R的完全子系统同构，则称M和N具有相同的结构。然而，事实上存在某些数学结构，其中不同的对象具有相同的关系属性，如在复数论中，－1有两个平方根：i和－i，i和－i具有相同的关系属性，因此i＝－i，显然这是矛盾的。为了能进一步区分自同构系统和数学中如复数系的许多非刚性结构，必须重新引入非关系属性，而这样等于又回到了传统柏拉图主义的原点。
可以说，自然主义和结构主义的实在论对真理困境的回应都是失败的，因其未能从根本上改变传统柏拉图主义的窘态。究其原因，第一，它们各自为数学的本质赋予的全新解释实际上都是要将一种经验科学的认识标准强加于数学，试图在数学家与数学对象之间建立一种直接的感知上的因果关联。然而，这种做法忽视了数学与一般经验科学的区别，未能同时合理地说明数学的抽象本性与数学在自然科学中的不可或缺性。第二，它们都建立在二阶逻辑的基础之上。虽然波鲁斯（George Boolos）已经从技术角度验证了二阶逻辑的可公理化问题，但是否能够将二阶逻辑作为数学的基础仍悬而未决，就连波鲁斯本人也不能轻易地断言二阶逻辑是完备、自洽的。这样看来，此种直接解释不能提供数学的可靠性论断。
四、语境实在论是突破数学困境的最新进路
1.数学的可靠性论断需要一种外在解释
数学在整个科学语言中的不可或缺性与它在自然科学中的成功应用决定了它与自然科学的一致性与整体性。因此，对数学可靠性论断应该寻求一种与其他自然科学可靠性论断相一致的解释，但这并不是要将经验性的认识标准简单地强加于数学，而是要用一种统一的解释标准合理说明包括数学在内的所有科学的可靠性论断，这种统一的解释应关注科学共同体及其所使用的研究方法对知识产生的作用。林纳玻（θystein Linnebo）将这种解释称为外在解释：这种解释不仅关注数学知识本身，更重要的是以数学家、数学家的研究方法以及他们的断言为研究对象，通过对这些研究方法和断言的描述与分析，阐明它们如何能够促使数学家发现这些断言的真假。（Linnebo,p.563）这种解释在假设物与待解释物之间保证了足够大的距离；虽然预设了特定的论断和方法是可靠的，但它所试图解释的是为什么这些论断是可靠的，是什么使得这些产生论断的方法能够决定这种论断的真值。这种外在解释能够提供一种关于认识论的核心概念如证据、可靠性和证实如何符合认识主体与其自然环境的科学说明。因此，它正是数学可靠性论断所需要的科学解释。然而，实在论者随之会面临更为严峻的挑战：如何能够获得这种外在解释？
2.语境实在论能够提供合理的外在解释
事实上，合理的外在解释是可以在语境实在论中获得的。语境实在论坚持数学的本质是语境化的，主张认识主体、认识对象以及认识标准都存在于语境化的过程之中，人们是通过认识不同的语境来获得数学知识的。在本体论上，语境实在论只承认关系属性或倾向性属性的存在，承认概率的实在性，承认实体、关系与属性之间的整体性。数学实体及其属性总是在一定的关系中体现出来，这里存在着两层关系：一层是实体之间的内在关系属性，另一层是实体固有属性表现的外在关系条件。前者具有潜存性，后者为潜存性向现实性的转变创造了有利条件。在认识论上，语境实在论坚持一种模型的隐喻论观点，认为数学知识不是命题的集合，而是包含有模仿世界的内在机理的模型集合；数学知识描述的可能世界与真实世界之间的关系不是传统的符合关系，而是在一定的语境中以相似为基础的一致性关系。在方法论上，语境实在论使用语义学的分析方法，用语义真理观取代传统的紧缩真理理论，以说明科学共同体的研究方法以及已有的数学理论如何对该科学共同体在所处语境中的约定（新获得的数学知识）产生作用，从而能够成功地解释数学知识的可靠性。（参见成素梅、郭贵春）
具体来看，语义真理论强调“数学语句S是真的”不是一个纯数学陈述，而是指S具有一种它所满足的真值条件，而且它与偶然事实相关，S是根据这一偶然事实而具有它恰巧具有的真值条件。语句的真值一般是依赖于两个要素：其一依赖于非语义事实，即实在就是满足它的真值条件；其二依赖于元语义事实，即这个语句具有它偶然具有的真值。事实上，即使在数学中不能改变实在就是满足相关真值条件这一非语义事实，仍可以改变与数学语句的真值条件相关的元语义事实，来研究它会对人类接受这些语句为真产生怎样的作用。语义真理论只要求“真”具有某种意义，并不要求事实严格地决定真值谓词，在不同的语境中使用事实上为真的S时，S也可能为假，这是有意义的。数学语句S可能具有的真值与它真正具有的不同，那是因为S具有不同的真值条件，比如如果语句“1＋1＝2”不是真的，这可能是由于数字“2”在特定的语境中被用来表示数字3。这说明了数学家接受语句对于这些语句（语义地）为真的依赖，然而实在论者的真正任务是要说明数学家的信念对这些信念为（语义）真的依赖，因为后者是前者的充分条件。如果能够说明数学家只相信为真的数学命题的原因，那么就可以说明他们只接受为真的数学语句的倾向。事实上，将这种依赖延伸到信念是可能的，不妨考虑一个关于必然命题信念的例子，假定某人早上看到了金星将它命名为“启明星”，晚上他又见到了金星，但不知道就是早上见到的那个，于是又将它命名为“暮星”。但是，后来经过轨道计算他开始相信启明星和暮星是同一行星，因而建立了一种信念。尽管这种信念的内容可能具有必然的真值条件，但是这一信念自身作为一种心理状态所具有的内容是偶然的。术语“启明星”和“暮星”的指称是建立在此人与特定时空变体之间的因果接触，因为这些变体属于一种行星，它们的术语是相互指称的。假如这些变体属于不同的天体，那么这些术语将指称不同的对象，因此在元语义学意义上，这些变体属于同一行星的事实与这个人偶然具有的语义内容的信念是相关的。这个人如何知道同一行星的事实并且作为一种结果变为信念就不再神秘了。事实上，假如这个人接触的这些时空变体不属于同一行星，他将不会建立这种信念，这足以说明他的信念如何对应于这些信念的真。由于所有与数学信念的真理理论相关的事实都是元语义的，这恰恰可以成功地说明数学家的信念如何对应于这些信念的真值。这显然是语境实在论对数学可靠性论断作出的合理解释，由于这种解释是通过分析数学家的信念对数学为真的依赖过程来说明数学可靠性的，因而是一种合理的外在解释。
然而，语境实在论关于指称和同一的相对性理论必然会导致在说明一种理论时预设了具有先验性理论的存在，这种理论的结构是内嵌于具有先验性理论的。例如除非自然数2和实数2都与一个更大范围的理论所具有的归类结构相关，否则二者是否相等是不能确定的；进一步地，在新理论中的2是否分别等于自然数2和实数2仍然是不能确定的。有人可能会因此质疑语境实在论为数学所提供的这种外在解释存在着某种循环，即元语义的存在总处于一种向前语境的递归之中。然而这种循环是无害的，因为首先，语境实在论在本体论上强调数学的客体之间结构关系的整体性。这种整体性可以保证数学命题的可判定性，即数学知识在不同语境中能够得到不同的语义解释，只要获得相应的意义就可以得到相应的判定标准，在这个层次上，任何命题都是可判定的。对于存在不可判定性命题（CH连续统假设）的解释应该是暂时不能判定，并非意味着将来也不能判定：如果命题在未来新的语境下具有了新的语义，解释就能够被判定。其次，语境实在论在认识论上主张模型隐喻论观点，认为人们可以通过对这些模型的认识而获得数学知识。数学理论的逼真性是由模型系统与真实系统之间的相似程度决定的。而对这种相似程度的判定来源于科学共同体的约定，这种约定包括科学家的精神气质、研究方法以及科学信念，它们又都来源于前语境中的模型。模型与数学本体之间的关系可以通过一种函数关系来反映，暂且称之为逼真性：当逼真性的值＝1时说明现象或模型是客观真理的真实反映，可以被认为是具有先验性理论的模型。从这层意义上讲，对数学真理的认识是一种不断向本真逼近的过程。
正是由于语境实在论能够为数学可靠性论断提供合理的外在解释，因而能使数学语言与一般的自然科学语言以同样的方式为人类所理解和接受。这正是语境实在论突破数学真理困境的关键之所在，也是正面回应数学真理困境的合理途径。另一方面，语境实在论秉承柏拉图主义的传统，它对数学实体的本体承诺能够确保它为数学提供实在的语义解释，保证被认识对象真值条件的存在，为数学在其他自然科学中的成功应用提供充足的证据，以使数学语言与一般的自然科学语言具有同样的语境实在诠释。因此，通过为数学语言寻找一种实在的、包含“纯粹”和“混合”的语境解释，语境实在论能够使数学直接被应用于科学的语境之中，解决困扰实在论者关于数学真理可认知性的解释难题，为数学真理提供更为合理的说明。