比较CAPM与LDAM在投资组合管理的应用
侯为波，李帅鹏
（淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北235000）
摘 要： 当今全球经济中一个最引人注目的问题就是投资组合管理问题。资本资产定价模型（CAPM）是在金融行业中使用广泛的模型，我们采用线性对角近似模型（LDAM）与其形成对比，分别应用于相同样本的投资组合管理中，得到线性对角近似模型更适合投资组合管理的应用，从而进一步优化投资组合管理应用。
关键词： 资本资产定价模型；线性对角近似模型；投资组合管理
一、引言
自全球金融危机以来，投资管理科学再度成为热门话题。全球金融市场的巨大冲击，引发了从业者对风险管理及其金融资产预期收益进行探索。相对于每一笔投资而言，投资者所承担的风险越高，就意味着获得的收益越高。早在20世纪50年代初，H.M.Markowit就提出了风险度量模型①，开辟了在平均值和方差的意义下分析投资组合。随后人们引入了最简单的均值-方差模型，被称为标准型资本资产定价模型（CAPM），是指在剔除那些对市场行为只有很小或没有影响的因素，在单一的因素下建立资本资产定价模型。相对而言，线性对角近似模型（LDAM）可以在比较精确的问题中，利用方差的线性模型，构建相应的矩阵，使投资组合问题得到简化。
国外学者Fried（1969）首次尝试将资产组合理论选择模型拓展到银行资产管理中，在模型中它表示了存款水平是一个随机变量②；Fama、Elton和Gruber（1975）运用资本资产定价模型研究了消费者对特定消费品和服务的偏好独立于未来事件③；Hansen和 Jagannathan（1991）基于均值方差模型④，建立了一种多时期投资消费均衡模型。
目前在国内的研究多存在于金融行业，郭璐（2005）通过对资本资产理论的分析⑤，得出资本资产定价模型在中国证券市场的重要性。卢善奎（2012）在深入研究了单指数模型后，认为最优投资组合的收益远高于整个市场的收益⑥。尹昱乔（2016）在多因子的模型下对比分析了最适合国内市场的模型⑦，得出六因子可以更好的解释收益率。
3.1 传统的数字PCR是进行绝对核酸量化的方法，它基于在有限稀释的条件下将各个分析物分子分配成许多重复反应的绝对核酸定量方法，在大多数反应中产生1个或0个分子。终点PCR后，模板的起始浓度通过泊松分布统计分析确定阳性（含有扩增的靶标）和阴性（未扩增的靶标检测的反应）。数字 PCR比qPCR具有许多潜在的优势。近来，该技术已经商业化，将反应分为纳米级大小的液滴。数千个液滴的快速微流体分析每个样品使ddPCR适用于常规使用，并大大提高了系统的实际动态范围（对每个液滴的多个目标分子进行泊松校正）[20]。
2.4 超声评估与US-G FNAC统计学指标比较 US-G FNAC的准确度和灵敏度高于普通超声，假阴性率低于普通超声，差异均有统计学意义(P<0.05)。特异度和假阳性率两者差异无统计学意义(P>0.05)，见表3。
二、CAPM与LDAM的基础理论
（一）CAPM的概念与公式
资本资产定价模型是基于风险资产期望收益均衡基础上的预测模型，它的关键是假设所有投资者根据Markowit原则最大化组合效用。换句话说，每个投资者都会用一系列的期望收益和协方差矩阵来绘制所有风险资产的有效边界，从而通过绘制出有效边界的资源配置线确定一个有效风险组合P。所以每个投资者均可投资集中持有证券并通过Markowit最优化过程来确定持有比例。因此，我们引入资本资产定价模型的公式如下：
因此，得到下列公式：
如果期望收益-β关系对任何单独资产都成立，那么它对资产的任意组合都一定成立。假设资产组合P中股票k的权重为wk，k值为1,2,…,n。对每只股票均引用式（1）的资本资产定价模型，并乘以它们各自在资产组合中所占的比重，每只股票可以得到以下等式：
一是基于均值-方差为基础的CAPM模型在日常定价体系中应用非常广泛，但结合投资组合理论应用时效果不佳，调整后的拟合程度仅达到了0.43，所以不建议CAPM模型应用于投资组合管理；
虽然所取数据来自不同行业，但以免其相互影响，所以做多重共线性检验如表2。
这里的
是资产组合的期望收
是资产组合的贝塔值。从而，这一结果对于资产组合本身也是有效的：
当今主流的输出语言主要是英语，文化支撑，以及不同国家语言之间的交流，还有更难的语言。从目前中国的出口贸易书籍，香港，澳门，台湾及东南亚的主要输出对象的话语部分，对美国和欧洲的产量却很少。语言不通，输出到西方国家，也有很多的翻译工作的书籍。然而，由于翻译的费用，这本书获得了出口贸易的影响。书籍翻译中文的外交汉学家少和翻译的成本比较高。这些已经成为海外中国图书翻译出版的一大瓶颈。他们并没有考虑打破翻译质量。所以时间一长，出版商渐渐失去了热情在出口中国图书到海外这方面。
（二）LDAM的概念与公式
①VascoVendrame;CherifGuermat;JonTucker.Aconditionalregime switching CAPM[J].International Review of Financial Analysis,2018(56):01-11.
其中系数ai和bi表示线性回归线的实数，ci是随机变量占的对于线性回归的残差。因此
我们将做一个简化的假设
并使用符号：
这个期望收益-β关系就是资本资产定价模型最为普遍的一种表达方式。
由表1可知，永辉超市的极小值统计量是-15.76，在六家公司中最小。也就是说，永辉超市相邻两个交易日的收盘价差价较小，相对而言，联想控股的极大值统计量是25.41在六家公司中最大，从而联想控股的股票波动幅度在相邻交易日较大。在均值方面，国泰君安以-0.376最小，联想控股以0.3172最大，因此联想控股的月收益率要比国泰君安高。在标准差方面，中国平安以5.361最大，伊利股份以1.273最小，说明中国平安的股票波动率远大于伊利股份。在偏度方面，联想控股数值最大且大于0，对称程度显示右偏，数据主要位于均值的右边，而中国平安数值最小且小于0，对称程度显示左偏，均值左边的数据多于右边。在峰度方面，峰度度量聚敛程度，联想控股、永辉超市、伊利股份等峰度值大于0，其数值分布较集中；相反的，中国平安的峰度值小于0，其数值分布较分散。
由上式推导得到：
其中我们用Vc表示n×n对角矩阵，其元素为残差ci的方差；在线性回归式（2）中，我们可以用更紧凑的形式表示：
这里值得注意的是该模型的等效协方差矩阵V不是对角的。如果
是非奇异的
的分量也不是相同的，从式（3）中我们得到的结果和结果的形式上是相同的。然而，我们必须指出的是，存在一个矩阵
的逆矩阵，该方程在式（3）中被定义，它允许将
作为对角矩阵(Vc)-1的扰动来计算。
这个公式显然可以简化V-1的计算，但当n很大时，它不是一个完整的解析解。根据Sharpe提出的“对角线模型”的构造，我们可以得到一种可能的简化，为了做到这一点，我们将在n个投资集合中增加另一个（n+1）投资，通过下式：
由此得到模型为：
三、样本选取与数据检验
（一）样本选取
为了分析CAPM与LDAM实际运用情况，本文选取贵州茅台、中国平安、国泰君安、联想控股、伊利股份、永辉超市这六家上市公司作为研究对象，六家公司分别来自不同行业，以避免同行业之间的相互影响。因为六家公司作为上市公司发展相对来说比较平稳，各项数据完善，所以文中采用月数据来研究。研究期间选取为2010年9月6日到2017年12月8日共87个月。月收益率使用对数收益率来计算，计算公式为：
对数取值较小，为了方便研究，将其结果扩大100倍。
式中:CT是BFS的温度系数,Cε是BFS的应变系数,vB,T0,ε0是在参考温度T0、参考应变ε0下的初始Brillouin频移。
（二）数据分析与检验
收集六家公司在研究期间的月度数据，使用SPSS分析每只股票波动变化，结果如表1。
其中a和b是n列向量，它们的元素是ai和bi，各自地，r是通常意义上的期望收益向量。值得注意的是，在原始模型中我们需要测量和选用
个数据，而先进行线性回归式（2）需要3n+2个数据，再给定n个投资组合的可容许投资组合的一个区域受非负约束：
表1 数据分析结果⑧
四、CAPM与LDAM模型的应用分析
本节使用计算公式算出六家公司和上证指数的月对数收益率，进而得出在研究期间的超额收益率。 我把 SZZS 作为自变量，GZMT、ZGPA、GTJA、LXKG、YLGF、YHCS作为因变量，分别用两个模型计算公式，用SPSS对其所得数据各自做线性回归。
将上式每一行进行加总即得出所有资产组合的资本资产定价模型，
表2采用多重共线性检验来探究六家公司数据的相关程度，由表可知，六家VIF指标均不大于10，因此不存在较强的相关性。
由表3显然可以看出，CAPM模型的R-squared为0.439216，其拟合程度不足0.5， 调整后的R-squared为0.430864，拟合程度离0.7很远，所以CAPM模型在投资组合管理的应用中没能达到可用的效果，不适合采用。
由表4显然可以看出，LDAM模型的R-squared为0.970062，其拟合程度达到0.9，拟合效果很好，调整后的R-squared为0.969864，拟合程度接近1，所以LDAM模型在投资组合管理的应用中效果很好。
表2 多重共线性检验
w1E(r1)=w1rf+w1β1[E(rM)-rf]+w2E(r2)=w2rf+w2β2[E(rM)-rf]+…=…+wnE(rn)=wnrn+wnβn[E(rM)-rf]
二是线性对角近似模型（LDAM）从投资组合管理的实际应用来看，调整后的拟合程度为0.96，应用效果非常好，即使文中使用了相当多的数据，LDAM模型的结果依然真实，因此，在进行大量数据计算时，该模型可以使问题得到简化。
表3 CAPM回归分析结果
表4 LDAM回归分析结果
注释：
隆两优1377施肥上采取“前攻、中控、后补”的原则，即：重施基肥，早追分蘖肥，后期看苗巧施穗肥。重施基肥：45%含量的三元素水稻复混配方肥525公斤/公顷；早追分蘖肥：追施尿素75公斤/公顷，在移栽后5～7天追施，促使秧苗早生快发，降低无效分蘖；巧施穗肥，在幼穗分化初期施用，施三元素配方复混肥60公斤/公顷，根据叶色、苗情适当少施或不施氮(N)肥，后期防止N肥过多增加病虫害发生，影响结实率和产量。大田水浆管理实行浅水移栽，寸水返青，薄水分蘖，分蘖苗数达计划苗数的80%，开始放水烤田，多次轻烤，控制无效分蘖，抽穗扬花期灌浅水，后期干湿交替到成熟，切记断水过早。
Sharpe（1962）提出了一种近似的方法来构造一个对角线模型，代价是增加一个投资数量和约束数量。这种方法具有很强的实用价值。还可以得到一些由约束线性问题定义的进一步简化模型。在精确的问题中，当n个投资中的一个方差是其他n-1个投资的方差的线性组合时，相应的矩阵V是奇异的，在这个简化的对角模型中，问题的奇异性只出现在特定的线性组合中。引入线性对角近似模型，我们将对表示第i次投资收益的随机变量R与随机变量I进行线性回归。Ri表示一个适当选择的市场指数的回报。因此：
②Bao Doan;Nicol as Papageorgion.Portfolio management with targeted constant market volatility[J].Insurance:Mathematics and Economics,2018(83):134-147.
周大新：母亲最初把我们带到人世，是在床上；经过一生艰难曲折的奋斗，最终还是要回到人生原点——床上。所不同的是，我们来时有母亲的照料，当我们准备走时，不一定有亲人照料，即使有亲人，有的也远不如母亲。
③ShimaNikkhon;K.Taghizadeh;S.Hajiyakhchali.Designingaportfolio managent maturity model[J].Procedia-Social and Behavioral Sciences,2016,(226):318-325.
④Ng;ManWo.Revisiting a class of liner fleet deploymentmodels [J]. European Journal of Operational Research,2017,257(03):773-776.
⑤郭路.资本资产定价模型理论研究[D].河南:河南大学,2005:11-76.
实践民俗学在各个国家的发生都有着不同的社会文化和学术发展的背景。在中国，它发生于近二、三十年来中国民俗学转型性发展的过程之中，与所研究的中国本土民俗文化传统和日常交流实践传统不可分割，所以不能简单说中国的实践民俗学理论与实践是受到国外影响的结果。譬如，我们加强了对中国基层社会中特有的庙会文化传统的研究，开拓了对当代民俗即生活方式转变的民俗志书写和研究等，这些都说明了中国民俗学所具有的主体性和与各国民俗学进行对话的资格。[注]参见毛晓帅《中国民俗学转型发展与表演理论的对话关系》，《民俗研究》2018年第4期。
⑥卢善奎.单指数模型的最优风险投资组合研究[J].南京工程学院学报(自然科学版),2012,(01):01-10.
对于稳态运行的AHP，吸收器吸收从蒸发器而来的气态被吸收剂，并伴随着放热，故吸收器的温度Ta大于蒸发器的温度Te；由于发生器和冷凝器分别进行沸腾和冷凝过程，因此可知发生器的温度大于冷凝器的温度。同时结合前文所说溶液泵进出口侧压力的区别，可知AHP的温度分布为Tg＞（Tc，Ta）＞Te。同样分析可知，对于稳态运行的AHT，其温度分布为Ta＞（Tg，Te）＞Tc。正如图2中所示，AHP需要外界输入高温热源，AHT的热量输出端在吸收器。
⑦尹昱乔.中国A股市场资产定价模型实证研究[D].辽宁:东北财经大学,2016:26-132.
⑧王利杰.投资组合理论与资本资产定价模型[D].北京:北京理工大学,2015:03-16.
通过对算法进行分析可以发现，K-means聚类算法的时间复杂度是O( )nKt，其中n是样本数，K是聚类数，t是迭代次数( )K≤t,t≤n，具有可伸缩性和高效率。对于产生类内紧密、类间疏离的聚类结果，具有较好聚类效果。
1.4统计学方法:采用SPSS12.0进行分析,计数资料采用百分比,采用t检验,以P<0.05为差异有统计学意义。
11月4日，富隆酒业邀约美国著名酿酒师、曾经是“美国酒王”作品一号缔造者Paul Hobbs亲临广州的沐辰学院，为一众葡萄酒爱好者带来了一场精彩的风土大师班。此番Paul Hobbs先生携带了同名酒庄旗下两款葡萄酒以及他在阿根廷投资的，被誉为阿根廷酒王的Cobos酒庄的三款旗舰酒款与学员一同分享美洲葡萄酒的独特魅力。
Compare the Application of CAPM and LDAM in Portfolio Management
Hou Weibo,Li Shuaipeng
(School of Mathematical Sciences,Huaibei Normal University,235000,Huaibei,Anhui,China)
Abstract: In today's global economy is one of the most striking problems in portfolio management,the capital asset pricing model(CAPM)is widely used in the financial industry model,we adopt linear approximate diagonal model(LDAM)and its contrast,respectively applied to the same samples of portfolio management,is a diagonal approximation model is more suitable for the application of portfolio management,so as to further optimize the investment portfolio management applications.
Key words: Capital asset pricing model;Linear diagonal approximation model;Portfolio management
中图分类号： F224.7
文献标识码： A
收稿日期： 2019-04-11
基金项目： 安徽省高校自然科学基金项目（KJ2018A0384）资助
作者简介： 侯为波（1964— ），男，汉族，安徽省芜湖市，淮北师范大学，教授，博士，研究方向：随机过程，金融工程。
通讯作者 。李帅鹏（1996— ），男，汉族，安徽省阜阳市，2017级在读硕士研究生，淮北师范大学数学科学学院，概率论与数理统计专业，研究方向：金融数学。