基于HPM的教师教学需求统计知识调查研究_数学论文

基于HPM的教师教学需要的统计知识调查研究，本文主要内容关键词为：调查研究论文,教师论文,知识论文,HPM论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      近年来，HPM与教师的专业发展问题引起了人们的广泛关注.已有研究表明，HPM能够有效提升教师教学需要的数学知识（Mathematics Knowledge for Teaching，简称MKT）[1-3].根据Ball及其团队的研究，MKT由两类知识构成，一类是学科知识（Subject Matter Knowledge，简称SMK），包括一般内容知识（Common Content Knowledge，简称CCK）、专门内容知识（Specialized Content Knowledge，简称SCK）和横向内容知识（Horion Content Knowledge，简称HCK）；另一类是学科教学知识（Pedagogical Content Knowledge，简称PCK），包括内容与学生的知识（Knowledge of Content and Student，简称KCS）、内容与教学的知识（Knowledge of Content and Teaching，简称KCT），以及内容与课程的知识（Knowledge of Content and Curriculum，简称KCC）.

      目前，数学史开始融入统计教学，[4]但很少有人对HPM与SKT的关系进行研究.本文选取MKT中的CCK、SCK、KCS和KCT作为SKT的主要成分，结合数学史融入统计概念教学的案例，考察在课堂教学中教师SKT的使用情况.

      一、研究方法

      1.研究对象

      某中等城市一所初中学校的两位数学教师参与了本项研究，其中Y老师长期从事高中数学教学，两年前到初中部任教；Q老师则一直从事初中数学教学.两位教师资历较长，但对数学史知识知之不多.他们在大学期间没有修过数学史课程，职后也没有经历过HPM培训.

      2.研究材料

      教学内容是八年级下学期“数据的代表”，两位老师的教学课时为6-7节.研究者深入挖掘了平均数、中位数和众数概念的历史，与两位教师合作，共同开发了相关概念的教学案例.[5]这些案例的设计采用以下方法：（1）直接采用历史上的数学问题和解法，如《九章算术》中的平分术问题、货币检查箱试验、城墙砖块层数等；（2）根据历史材料，编制数学问题，如估计数学测验的总分、质点中位数、鞋子的颜色等；（3）在现代情境下，选用体现历史发生思想的数学问题，如帽子平均数问题、身高和体重问题、公共汽车载客量问题、献爱心捐款活动、员工工资问题等.

      由于学生缺乏统计概念的历史背景知识，而且他们也拥有前人未知的一些知识，因此，本研究设计的教学案例更多地采用后两种方法，注重把历史现象转化为有意义的教学现象.

      3.研究过程

      教师SKT的识别是通过课前讨论、课堂观察和课后访谈的方式得到.考虑到研究者单方面对教师的教学行为作出解释是片面的，因此，在每节课后，研究者会挑选出基于数学史设计的教学案例的录像片段，与任课教师一起回顾和讨论，以减少研究者独立作出解释的局限性.

      二、结果与分析

      1.两位教师SKT的使用情况

      在课堂教学中，教师SKT的发生有四种情形.第一，从课堂教学片段或访谈中可以直接识别的教师知识，用灰色表示；第二，教师在教学中间接使用的知识，用深色区域表示；第三，教师在教学中没有要求使用的知识，用空白单元格表示；第四，教师和学生在互动过程中，会发生一些偶发事件，由于某种原因导致教师知识出现缺失，这种现象称为“错失机会”（Missed Opportunity），用字母M表示.[6]我们利用上述设计的教学案例，分析了两位教师SKT的使用情况，[5]见下页表1和表2.

      

      

      从表1和表2可以看出，数学史介入教学后，Y老师和Q老师都直接使用了SKT的四个主要成分，SCK是唯一一类需要从其他知识推断出来的知识，Y老师和Q老师间接使用SCK的教学案例分别为3个和5个.在估计数学测验的总分、身高和体重问题、员工工资问题这三个案例的教学中，两位教师采用隐性的方式把数学历史发生的思想融入到教学之中，SCK可以从教学活动中间接推断出来.在公共汽车载客量和献爱心捐款活动这两个案例的教学中，两位教师存在明显差异：Y老师直接讲述案例设计的历史背景知识，为这两个案例的学习奠定基础，SCK呈现明显的证据；而Q老师则把历史意蕴悄无声息地融入教学之中，SCK呈隐性形式，但可以从教学活动中体现出来.

      两位老师没有被识别的知识体现在SCK，其案例为城墙砖块层数和货币检查箱试验.[4]这是两个来自数学历史上的故事，前者用于引入众数概念，内容相对简单；后者探讨用样本平均数估计总体平均数，涉及的抽样方法学生在上学期已学过，这两个案例没有识别出教师相应的SCK，这类知识也可以看作是不需要的.

      两位老师的SKT存在不同程度的知识缺失，而且集中表现于PCK.Y老师的KCS和KCT分别出现3次和4次缺失，而Q老师的KCS和KCT分别出现2次和1次缺失.教师知识缺失可能有两个原因：（1）在统计教学中融入数学史，需要掌握一些融入的方法和技巧，这与平时的教学大为不同，教师在短时期内难以适应，因而导致了教师KCT的缺失；（2）数学史融入统计教学，丰富了课堂活动，激发了学生思维，而教师对学生的潜力估计不足，导致教师KCS的缺失.在调查中发现，两位教师知识缺失的差异可能与他们的教学经历有关.Y老师长期从事高中数学教学，重视对知识的理解，他的SMK更强一些，但对学生的学习情况关注不够；Q老师初中教学经验的丰富，使得她比较熟悉学生的特点，注重教学法的运用，她的PCK更有优势.从两位教师的知识缺失可以看出，在数学史融入教学的过程中，教师的PCK对HPM起到了非常重要的促进作用.

      2.教学案例分析

      根据教学案例的设计方法，下面选择三个案例对教师的SKT进行分析.

      教学案例1 《九章算术》中的平分术

      《九章算术》方田章第6题：今有三分之一，三分之二，四分之三.问：减多益少，各几何而平？

      设计说明 该题采用的方法称为平分术，即当各个分数参差不齐时，为使它们齐等，可减那个分数所多的部分，增益这个分数所少的部分.该案例可以让学生了解平均数的补偿性，领会“减多益少”的思想.

      教学实践 Y老师认为，学生可能会先求平均数，再把多于平均数的数补到少于平均数的数上（KCS），而该问题并不需要求出平均数，因此Y老师首先对“减多益少”进行了解释，再让学生去解决问题，从而得到与《九章算术》一致的方法（KCT）.以下是师生对话：

      教师：减多益少就是从大的数中减去一个数加到小的数上，使得三个数都相等（SCK）.这个题目如何做？

      

      Y老师指出，通过“减多益少”之后，这三个数的平均数为

（CCK）.在教学中，教师首先讲述了“减多益少”的方法，而错失了让学生在实践中探索这一重要思想的机会，把学生的思维禁锢在已有的模式里（KCT：M）.Q老师认为，学生理解题意的困难可能是“各几何而平”（KCS），其中的关键是“平”，即各减去多少才能达到平均数（CCK）.在Q老师的课堂上，学生大多采用通分求出平均数，再把比平均数大的数减去一个数补到小的数上.似乎学生的回答只有这种方法了，于是，教师引导学生不直接求平均数，而是通过观察、比较数据大小（KCT），探索得到“减多益少”的方法（SCK）.

      教学案例2 献爱心捐款活动

      在汶川大地震的捐款活动中，某校八年级（1）班第3小组11名同学的捐款数如下（单位：元）：1，1，2，2，3，4，1，5，8，10，80.这组数据的平均数能比较客观地反映全班同学捐款的“平均水平”吗？

      设计说明 在历史上，中位数几乎是作为平均数的替代品而出现的.埃其渥斯（Edgeworth）发现平均数对极端值的敏感性，而中位数比平均数更稳健（Robustness）（稳健性用于描述对极端值的不敏感性）.该案例的设计正是在现代问题情境之下，拟合了中位数历史起源的思想.

      教学实践 Y老师认为，学生往往不清楚在什么情况下使用平均数和中位数（KCS）.Y老师首先介绍中位数的历史起源，分析了中位数对极端值的不敏感性（SCK），再讲授献爱心捐款活动的案例（KCT），从而引入中位数的概念（CCK）.由于学生已经了解了中位数的历史知识，因而直接说出了极端值对平均数的影响，这样，教师实际上并未了解学生是如何理解平均数的，让学生错失了探究中位数为什么替代平均数的机会（KCS：M）.

      Q老师认为，如果先介绍中位数起源的历史，则学生在献爱心捐款活动案例中自然会想到用中位数作为平均水平的代表，这就失去了激发学生学习动机的目的（KCS）.因此，她把该案例作为教学的出发点，引入中位数概念之后，再让学生阅读中位数的历史材料（KCT）.以下是教学中的一段对话：

      教师：你能求出这组数据的平均数吗？学生：能.（过了一会）平均数为10.6.教师：平均数能反映全班同学捐款的“平均水平”吗？学生：捐款超过10.6的人数只有1个，因而不能代表全班同学捐款的平均水平.教师：为什么会出现这种情况？学生：最大值和最小值差异过大，其中的最大值80远远大于其余的数据，拉大了这组数据的平均水平.教师：也就是说，当数据中出现极端值时，平均数不能作为这组数据的代表，这时我们需要学习另外一个集中趋势的量，即中位数，它也是数据的一个代表（CCK）.

      从对话中可以看出，Q老师没有直接讲述平均数对极端值的敏感性，而把中位数的历史起源思想渗透到教学活动之中（SCK），自然引出了中位数的概念.

      教学案例3 质点中位数

      如图，数轴的上方有一些质点，每个质点的取值用数轴上的数据来表示，如何寻找这些质点中位数的位置？[4]

      

      设计说明 数据的分布是决定使用平均数和中位数的关键所在，而大多数学生还没有形成数据呈现偏态分布的意识，因此，当数据呈不规则分布时，他们容易混淆对平均数和中位数的理解.1874年，高尔顿（Galton）在一次演讲中给出了下面的描述：“一个占据中间位置的物体具有这样的性质，即比它多的物体的数目等于比它少的物体的数目.”该案例改编自历史现象，要求在偏态分布中，学生能够区分平均数和中位数所处的位置.

      教学实践 Y老师指出，该案例是从“形”的角度来理解中位数（SCK），学生会感到困难（KCS）.他首先解释了中位数概念（CCK），再让学生讨论如何寻找质点中位数的位置（KCT）.当一个学生回答质点中位数在数轴上33.5处时，教师问学生如何找到的？学生回答含糊不清，声音较小，教师对学生的回答不置可否，既没有肯定也没有否定，而开始解释如何寻找中位数.此时，教师错失了了解学生思维过程的机会（KCS：M）.

      Q老师先对质点在数轴上的取值进行了解释，再让学生分组讨论如何寻找质点中位数的位置（KCT）.通过课堂讨论，教师发现，学生的主要错误是把数轴的中点位置当成了质点的中位数位置，但也有学生正确找到质点中位数在数轴上34偏左一点（KCS）.教师进一步解释了中位数的概念（CCK），并指出，中位数的位置使得其左右两边质点的个数相等（SCK）.在课堂教学中，气氛非常活跃，教师让学生回答问题之后，忽略了还有其他学生举手想发言，错失了让学生发表自己观点的机会（KCS：M）.

      HPM介入统计教学，对教师的SKT产生了影响，其中SKT的四个主要成分都呈现出直接使用的情形，间接使用或没有识别的知识出现在SCK方面.教师的PCK存在知识缺失，可能会让学生错失学习机会.同时也发现，教师一旦掌握了数学史知识后，PCK就成为决定数学史运用的关键.本研究表明，在数学史融入统计教学的过程中，HPM与PCK的有机结合是教师SKT发展的一个重要问题.

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