悖论非存在说，本文主要内容关键词为：悖论论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
1.引言
悖论之存在似为不争之事实。众所周知，就连罗素（B.Russell）、塔尔斯基（A.Tarski）和哥德尔（K.Gdel）这样的大逻辑学家也不怀疑其存在。非但如此，罗素还在集合论中发现了以他的名字命名的著名“悖论”；塔尔斯基则从分析“说谎者悖论”入手，断言在任何语义上封闭的语言中悖论是无可避免的；哥德尔不但给出过一个“说谎者悖论”的变种[①]，还利用并“点化”了这个“悖论”，把“本语句是假的”从语义学平面移到了语形学平面，构造出与之对应的著名语句——“本语句是不可证的”。
值得一提的是，以思想深刻著称的大哲学家黑格尔（G.Hegel）和维特根斯坦（L.Wittgenstein）也不以悖论之存在为怪，非但如此，他们还试图从中发掘出更为本质的东西。黑格尔在“悖论”中看到的是“直接的矛盾”，并且声称“真理就是这个矛盾”[②]。维特根斯坦也指出，把矛盾视为鬼怪乃是缺乏想象力的表现，他甚至进而预言，“总有一天会出现包含着矛盾的数学演算研究，人们将会真正感到自豪，因为他们把自己从相容性的束缚下解放出来了”[③]。
当然，不和谐的声音也并非完全没有。分析哲学家齐硕姆（R.Chisholm）就主张，以“说谎者悖论”为代表的所谓“悖论语句”既非真亦非假，实际上并无真假可言。既然不应就其真假进行谈论，所谓“自相矛盾”就丧失了实质性意义，悖论由是得以避免。
齐硕姆的主张基于以下两个假定：
（1）引起自相矛盾的信念和论断都是“没有内容的”。
（2）如果一个信念或论断是“没有内容”的，“就其与任何事态相关而言，它就不是肯定那事态存在的信念或论断”。
需要说明的是，在他那里，一个信念或论断A“没有内容”，是指“其内容信赖于”另一个信念或论断B（B可以与A相同），而B的内容反过来又依赖于A。
由于所谓“悖论语句”所表述的正是引起自相矛盾的论断，故由（1）和（2）可知，它们根本就没有肯定（或否定）任何事态，自然也就无真假可言了。[④]
应当指出，齐硕姆的主张实质上等于否定了悖论的存在。因为依照他的见解，把所谓“悖论语句”视为自相矛盾实源于一种误解，那就是把本来并无真假可言的语句当成是有真假可言的命题了。既然不能言其真假，自无矛盾可言，这些语句也就构不成什么悖论了。
需要在此强调的是，一如齐硕姆本人所言，他的主张是基于假定的。因此，这个主张只是一个假说。本文之目的则在于给出悖论不存在的证明，从而使之上升为一个定理。
2.悖论的定义
悖论之定义所见多有，迄今尚有争议。因此，我们只能从若干权威性工具书所给出的定义中加以选择，以此作为讨论的依据。
依照《美国哲学百科全书》的说法，（逻辑）悖论“是由两个相反的（甚至是矛盾的）命题组成的，而这两个命题又是由一些表面上合理的论据所产生的。这些论据其所以是合理的，是因为在另一种意义上使用它们时，似乎并没有引起什么困难。只是在发生悖论的特定组合中，这些论据才导致讨厌的结论。悖论以其典型的形态存在于两个貌似等价的命题中，其中一个命题是另一个命题的否定。如果对于某个命题A，有
我们就得到A和～A。悖论的这种典型形态有时称为自相矛盾。”
《中国大百科全书》给出的定义则是，悖论是“自相矛盾的命题，即如果承认这个命题，就可推出它的否定。反之，如果承认这个命题的否定，又可推出这个命题。”
与《中国大百科全书》上的定义完全相同，《辞海》对“悖论”的解释是：“逻辑学名词。一命题B，如果承认B，可推得
，又可推得B，称命题B为一悖论。”
尽管依照《中国大百科全书》和《辞海》的说法，悖论是一个单个的命题而不是一对命题，但不难看出，在这个定义下，悖论也总是成对出现的，即如果命题A是悖论，则A也是悖论。这与《美国哲学百科全书》中的说法——悖论“是由两个相反的（甚至是矛盾的）命题组成的”本质上还是相通的。再有一点不同是，《中国大百科全书》和《辞海》中所谓的“悖论”仅相当于《美国哲学百科全书》中所谓的“悖论的典型形态”或者说“典型形态的悖论”。
本文所依据的是《中国大百科全书》和《辞海》中给出的定义，由此可以推出使得一个语句成为悖论的充要条件。此充要条件实际上也是悖论的一个
定义 语句A是悖论，当且仅当：
（1）A是命题；
（2）A和
A可以相互推出。
尽管这个定义与本文所依据的定义是等价的，却有助于揭示其内在矛盾。
3.语句之分类
罗素提出，可以把语句分为三类，即真的、假的和无意义的。斯特劳森（P.Strawson）反对罗素的这种三分法。他指出，显然存在着这样的语句，它们虽有意义却既非真亦非假。例如，“当代法国国王是秃子”这个语句便是如此。斯特劳森主张，就意义之有无而言，语句可分为有意义的和无意义的，而就语句的使用（或被使用的语句，亦即陈述）而言，则可以分为真的、假的和既非真亦非假的。[⑤]
本文不打算像斯特劳森那样区分语句及其使用，但赞同把语句按照统一的原则作上述两种划分。然而，有必要指出的是，在就真值划分时，可先将语句分为两类，即有真假可言的（要么为真要么为假的）和无真假可言的。有真假可言的语句可再分为真的和假的，而无真假可言的语句显然只能是既非真亦非假的。根据定义，只有有真假可言的语句才是命题。所以，上述划分亦可表述为，语句可分为命题和非命题，命题又可分为真命题和假命题。
显然，有真假可言的语句或者说命题都有意义，但必须强调的是，无真假可言的语句或者说非命题却既可能无意义也可能有意义。
由此可见，一个有意义的语句末必是要么为真要么为假的命题，完全有可能并无真假可言，此点至关重要。我们很快就会看到，所谓“悖论”正是这种虽有意义却没有真假可言的语句。
4.悖论非存在定理
在证明数学命题的过程中，如果采用了反证法，那么由一个命题推出其否定或者反过来由一个命题的否定推出该命题就非但不是什么反常的怪事，反倒是我们所刻意追求的。这自然令人想到，反证法也许有助于解决悖论问题。
让我们先用反证法证明
由上述引理可知，语句A满足（2）则A不是命题，这与（1）显然矛盾，于是便有悖论存在为假，亦即悖论并不存在。证毕。
上述引理和定理告诉我们，所有那些所谓“悖论”，实际上只不过是非命题和佯悖而已。
5.三个典型的“语义学悖论”
一般认为，“语义学悖论”中最为典型的是“说谎者悖论”、“格雷林（K.Grelling）悖论”和“理查德（J.Richard）悖论”，它们也正是塔尔斯基曾经提及的。现在就让我们从语义分析的角度具体考察一下这三个“悖论”，说明它们的确不是命题，因而也就谈不上是什么悖论。这样做无疑将会进一步加深我们对于上述引理和定理的认识。
（1）“说谎者悖论”
试看“我正在说的话是假的”这句话。如果它是真的则它就是假的，反之，如果它是假的则它又是真的。此即所谓“说谎者悖论”。
“说谎者悖论”与其他“悖论”不同，它根本无需事先引入新的概念。从这个意义上说，它是最简单的悖论。霍夫施塔特（D.R.Hofstadter）因此而称其为“一步即成的、奇异的循环”。
“说谎者悖论”出现于古希腊时代，是最古老的“悖论”，有“所有逻辑悖论的老祖父”之称。
发现得又早，看上去又十分简单，按说它早就该被解决了，但事实却并非如此。尽管古希腊的柯斯的斐勒塔（Philetas of Cos）曾献身此道，著名的斯多葛派哲学家克吕西波甚至为之撰写了六部专著，后世更不知有多少大思想家一试锋芒，但迄今为止，诸多悖论研究家仍视之为最难解决的“悖论”，并把它列为重点攻关目标。令人沮丧的是，人们几乎一致公认，“攻克”这个难关的希望依然十分渺茫。[⑥]
关于“说谎者悖论”，真可谓见仁见智，众说纷纭。其中，绝大部分看法是与上述引理和定理相冲突的。故举数例，以见其详。
在黑格尔看来，这个语句不但有真假可言，并且是既真且假的，而这恰恰正是包含着矛盾的真理。他就此写道：“在这里，两个对立的方面，说谎与真话，是结合在一起的。（我们看到了直接的矛盾）……”“他同时既说真话而又说谎，而真理就是这个矛盾。”“这些诡辩并不是一种矛盾的假象，而是有实在的矛盾存在。”[⑦]
维特根斯坦也认为，人们完全没有必要为这个自相矛盾的命题感到不安，因为它的存在根本无损于语言的作用。他就此反问道：“这个矛盾有什么害处呢？我的意思是在这样的情形下，根据通常的规则，一个命题产生了与它矛盾的命题，后者又产生前者，这难道真会削弱我们语言的作用吗？”[⑧]
皮尔士（C.S.Peirce）则为之提供了一个“悖论式的解”：“这一个命题，由于其自相矛盾，所以是假的；因此，它显然断言者是真的。但其内在含义（即关于其自身的真假）是假。我国悖论研究家杨熙龄先生把他的意思概括为“这个命题企图真实地表明自己是一句假话”。[⑨]
芬斯勒（P.Finsler）也认为这个“悖论”是一个假命题。他论证说，当我断定命题A时，我根据事实说A是真的。因此，如果根据某种设计，命题A说明它本身是假的，那么关于A的断言实际上是两个命题的合取的断言，即A真并且A假。这个合取式是矛盾的，因此是假的；说谎者仅仅产生了一个假语句，所以根本不存在悖论[⑩]。请注意，尽管芬斯勒否定了“说谎者悖论”的存在，但是他所提供的理由却与本文截然不同。
当然，在某种程度上与本文相契合的见解也不是没有。
上文提到的古希腊哲学家克吕西波就认为，“说谎者悖论”“完全丧失了语言的意义”，说这句话的人“只是发出了一些声音罢了，什么也没有表示”(11)。这就是说，那个语句不但没有真假可言，而且连意义也没有。这未免有些矫枉过正了。
克吕西波的这一包含着真知灼见的见解并未被他的同时代人所接受，倒是著名的英国牛津学派分析哲学家斯特劳森的看法与之十分类似。斯特劳森指出，说这句话就有如先前什么都没说就说“同上”一样。严格说来，这并不是在作一个陈述，而只是发出了一串无意义的声音(12)。
美国著名逻辑学家和哲学家、模态逻辑语义学创始人之一克里普克（S.Kripke）指出，“说谎者悖论”中的那个语句实质上是“没有根据的”，根本不存在确定其真值的可能性。他论证说，含有“真”这个概念的语句的真值只有通过观察其他语句才能确定，此一过程可一直进行下去。如果最后不再碰到包含“真”这个概念的语句，就能确定起初那个语句的真值。此时，“我们说起初那个语句是有根据的”。如果不是这样，“我们就说那个语句是没有根据的”(13)。显然，在分析“我正在说的话是假的”这个语句时，就永远不会碰到不包含“真”这个概念的语句，所以，那个语句是“没有根据”，无所谓真假的。
齐硕姆对这个悖论（以及其他悖论）的看法一如前述，此处不再重复。总的说来，他的见解与克里普克十分接近。
在我们看来，克里普克就“说谎者悖论”所作的语义分析无疑是十分深刻的。这一分析清楚地表明，对于那个语句的真值分析将会陷入语言内部的恶性循环之中，根本无从取得证实或证伪它的事实依据，所以该语句绝无真假可言。齐硕姆实际上也已看出，对于这个语句的真值分析将永远只能在语句之间打圈子，与任何事实都不搭界，所以他才主张该语句既不会是真的也不会是假的。
（2）“格雷林悖论”
格雷林提出，形容词在用于形容自身时会出现两种情况，要么适于要么不适于。换言之，以任何一个形容词代入“‘a’是a”中的a所得到的语句要么为真要么为假。如果一个形容词适于形容自身就说它是“自状的”，反之，就说它是“非自状的”。这样，就可以把形容词无一例外地分为“自状的”和“非自状的”两大类。例如，“中文的”和“四个字的”是自状的，因为“中文的”是中文的，“四个字的”是四个字的；而“英文的”和“三个字的”则是非自状的，因为“英文的”不是英文的，“三个字的”不是三个字的，问题出在“非自状的”这个形容词本身的归属上。试判断下面这个语句的真伪：
“非自状的”是非自状的。
如果该语句为真，则“非自状的”就是自状的，故该语句为假；反之，如果该语句为假，则有“非自状的”是非自状的，故该语句为真。由此可见，无论把“非自状的”说成是自状的还是非自状的都会陷入自相矛盾，根本无从将其归入任何一类。此即所谓格雷林悖论。
英国逻辑学家汤姆逊（J.F.Thomson）指出，“非自状的”这个形容词是不能用于它自身的。他的理由是，这种做法会引出矛盾。麦克伊（J.L.Mackie）就此评论道：“这不能算作回答。”(14)虽然汤姆逊的看法是正确的，但麦克伊的指摘也不无道理，因为汤姆逊提出的理由的确尚未接触到问题的本质。
事实上，正如含有“真”这个概念的语句一样，状如“……是自状的”和“……是非自状的”的语句并不能直接取得真值，而只能间接地取得真值。也就是说，欲确定其真值，只能通过以下途径：先借助语义分析把它转化为另一个语句，然后再通过考察后者的真值来确定它的真值。一如在判断“中文的”、“英文的”、“四个字的”和“三个字的”是否自状时所做过的那样。然而，在沿着这样一条唯一可行的途径试图确定“‘非自状的’是非自状的”之真值时，我们将永远也摆脱不掉“自状的”和“非自状的”这两个形容词的纠缠，从而陷入恶性循环之中。这只能表明，那个语句不能间接地取得真值。既然该语句既不能直接地，又不能间接地取得真值，它根本就无所谓真假，因此也就不是什么命题。
最后，让我们回到格雷林最初的出发点。在他看来，每个形容词均可依据其是否适于形容自身而被归入“自状的”和“非自状的”两大类之一。现在我们可以清楚地看到，这个先入为主之见是不能成立的。因为上述讨论业已表明，存在着这样的形容词，它们不能被归入那两个类别之一。
（3）“理查德悖论”
“格雷林悖论”与形容词的分类有关，而“理查德悖论”则与自然数的分类有关。
自然数的性质均可以有限长的语句加以描述，而这些语句又可按字典序排列并加以编号。由于编号是自然数，于是，每个自然数就都对应着一个自然数的性质。现在让我们考虑每个自然数是否具有与之对应的性质。如其具有与之对应的性质就说它是“非理查德数”，反之，则说它是“理查德数”。换言之，由自然数及其对应的性质组成的语句为真就说它是“非理查德数”，若为假就说它是“理查德数”。例如，假定第17号性质是素数的定义所描述的性质，由于17本身恰好是素数，具有与之对应的性质，依照上述定义就可以说它是非理查德数。再如，假定第48号性质是奇数的定义所描述的性质，由于48不是奇数，并不具有与之对应的性质，依照上述定义就可以说它是理查德数。据此，我们就可以把自然数分为两类：“理查德数”和“非理查德数”。请注意，“不具有与之对应的性质”本身也是自然数的性质，此一性质也应有一个编号i。现在让我们来考察一下“i是理查德数”这个语句。如果该语句为真，则i就不具有与之对应的性质，由于这个性质恰恰正是“不具有与之对应的性质”，于是就有“i不具有与之对应的性质”为假，这就是说，i具有与之对应的性质，故该语句为假。反之，如果该语句为假，则i就具有与之对应的性质，也就是说，i不具有与之对应的性质，故该语句为真。此即所谓“理查德悖论”。这个悖论表明，无论是把i归入“理查德数”还是“非理查德数”，都会陷入矛盾之中。
与“自状的”和“非自状的”类似，状如“……是理查德数”和……是非理查德数”以及状如“……不具有与之对应的性质”和“……具有与之对应的性质”的语句都不能直接地取得真值，而只能借助语义分析从别的语句那里间接地取得真值。如果在此过程中能够碰到一个直接取得真值的语句，则原先的语句亦将由此而间接取得真值。显然，在试图分析“i是理查德数”之真值时，我们有，该语句为真，当且仅当“i不具有与之对应的性质”，当且仅当“i具有与之对应的性质”，当且仅当“i不具有与之对应的性质”……，从而陷入恶性循环之中，永远也不会碰到一个可以直接取得真值的语句。这表明，该语句非但不能直接地取得真值，也不能间接地取得真值，所以，那个语句实际上并无真假可言，更谈不上是什么悖论了。
现在让我们回过头来看看，一切自然数都可以归入“理查德数”或“非理查德数”吗？答案显然是否定的。
对以上三个典型的语义学悖论所作的语义分析表明，它们都不是命题，因而也就不是真正意义上的悖论。这就为悖论非存在定理及其引理提供了良好的例证。
6.余论
如前所述，语句A是悖论需满足：
（1）A是命题；
（2）A和A可以相互推出。
上述引理业已表明，一个语句不可能同时满足（1）和（2）。这提示我们，以前名之曰“悖论”的东西只不过是满足（2）的非命题语句罢了。由此可以看出，使悖论仍然得以“保留”的一种办法是从上述定义中去掉（1）。这一修正了的“悖论”定义就成了：语句A是悖论，当且仅当A和A可以相互推出。不过，这种做法并没有改变问题的实质，符合这一定义的悖论仍将是没有真假可言的语句，因此也就谈不上什么自相矛盾。如果非要说它们自相矛盾不可，那也只不过是形式主义的语言游戏罢了。
退一步说，即使是采用了更为宽泛的悖论定义，从而使得悖论依然得以存在，只要在这个定义中依然包含着上述意义上的“典型悖论”的涵义，那么，典型悖论就仍将是子虚乌有。换言之，在那种情况下，典型悖论非存在定理及其引理依然成立。
许多逻辑学和逻辑哲学的重大结果都建立在悖论存在这样一种认识的基础之上，如果悖论非存在定理及其引理确实成立，重新审视这些结果无疑将是十分必要的。
注释：
①②⑥⑦⑧⑨(11)(14) 杨熙龄《奇异的循环——逻辑悖论探析》（辽宁人民出版社1986年版）第25、103—105、147、133、112—113、45—46、56—57页。
③ 夏基松，郑毓信《西方数学哲学》（人民出版社1986年版）第171页。
④ 齐硕姆《知识论》（三联书店1988年版）第208—212页。
⑤(13) 涂纪亮《分析哲学及其在美国的发展》（中国社会科学出版社1987年版）第561—562、776页。
⑩ 林夏水主编《数学哲学译文集》（知识出版社1986年版）第177页。
(12) 孙小礼等主编《科学方法》（下）（知识出版社1990年版）第940页。