数学语境及其特征，本文主要内容关键词为：语境论文,特征论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：N02 文献标识码：A 文章编号：1674-7062(2012)06-0051-06
伴随着哲学中实在论与反实在论之间的争论，关于数学本质的探讨也由这两种立场的解释得以展开。数学实在论者，或称柏拉图主义者，认为数学对象如数字、函数、集合等独立于人脑而客观存在。这种解释无疑会坚定人类追寻数学真理的信念，同时也会为数学在其他学科中的广泛应用提供佐证。然而，数学实在论面临着一些难以克服的难题。贝纳赛拉夫(P.Benacerraf)在其两篇重要的论文(“数字不可能是什么”(What Numbers Could Not Be)[1]，“数学真理”(Mathematical Truth)[2])中对此进行了精辟总结。在“数字不可能是什么”中，他向集合论柏拉图主义者提出了何为数学基础的难题。在“数学真理”中，他向数学实在论发起了认识论挑战，即人类如何获知超出其感知范围的抽象的数学对象？可以说，认识论挑战对于数学实在论更具普遍性，迄今为止它几乎已经成为数学实在论的致命伤。近年来，以规避认识论挑战为宗旨，各种反实在论的数学哲学逐渐兴起并发展起来。语境论数学哲学就是其中具有极强发展潜力的一支。而居于语境论的视角，来解读数学的本质，数学知识产生和发展的过程，其首要任务就是要探明数学语境的构成及其本质特征。
以语境论为阐释基底来理解数学，离不开对数学语境的分析。对数学对象的研究，就是对语境中数学对象的研究。因此，在语境论的视角下，数学的本质就是数学的语境。只有阐明了数学语境的基本结构及其本质特征，才能揭示出数学的本质。
一 数学语境的结构
数学语境不是一个单纯的、孤立的概念，而是一个具有复杂结构的系统。具体来看，数学语境由语形表征、语义解释及语用约定三个要素构成。语形表征研究数学符号之间的形式关联，语义解释研究数学符号的意义，语用表征则研究认识主体、数学符号及其意义三者之间的关系。语境是三者相互作用的统一有机整体，并通过它们有序的结构呈现出认识主体与数学对象之间的联系。
希尔伯特在《几何基础》中所建立的公理化体系，可谓为数学语言确立之典范。众所周知，《几何基础》的基本思想是首先对初始符号、概念的形成规则、公设以及推理规则作出预设，继而把这些要素结合起来形成一个形式化系统，通过在该系统中进行演绎推理，得出各个数学定理。洞悉其整个形成过程，不难发现，都是与语境相关的。第一，对初始符号的预设就是语境中的语用约定，它对数学对象进行抽象，将之表示为特定的数学符号。第二，概念的形成规则、公设以及公理也都是特定语境中语用约定的结果。不同数学符号遵照形成规则构成合式公式，相互独立的合式公式被约定为公设和公理，以这些公设和公理为前提，依据逻辑推理规则，得出不同的结论，即不同的定理。以这些定理与公理为前提可进一步推演出新的定理。公设、公理与不同定理之间的逻辑推演关系构成了一个纯形式化体系，由此数学语言经过符号化之后只涉及数学符号与符号之间的逻辑关联，这在本质上就是数学的语形表征。第三，对形式化数学公式意义的把握，同样是与语境相关的。认识主体依据不同语境的特定语用目的，为数学公式赋予不同的意义，从而在不同的语境中得到不同的语义解释。一方面，形式数学系统经解释形成各种不同的数学结构，得到不同分支的数学理论；另一方面，它与经验语境结合，被直接解释为各种科学定律。总之，“数学语言的确立→数学系统的形成→数学模型的解释”[3]77，本质上也就是一个“语用约定→语形表征→语义解释”的数学语境结构模型。
具体来看，首先，数学体系的语形表征与数学的形式推演过程都与语境中的语用约定相关。数学的形式推演过程包括前提公设和推理规则。而对于所有的数学形式系统来说，它们都遵循同样的推理规则。即如果令Г是数学形式系统S中的公式组成的一个集合，并且A是S中的一个公式，若Г├A，则A是Г的逻辑后承。因此，数学推演过程的语境相关性就体现在前提公设的语境相关性上。例如命题“过线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”在欧氏几何中被看成是第五公设，在欧氏几何的语境中该命题作为公理使用，而如果保持欧氏几何的其他公设不变，只把平行公设替换为它的否命题“过线外一点没有直线与已知直线平行”或“过线外一点有不只一条直线与已知直线平行”则分别可以过渡到罗巴切夫斯基几何和黎曼几何的语境。因此，不同的数学语境规定着不同的前提公设，以此为基础的整个数学推演过程都在语境之中。总之，在数学形式系统中，语用约定了数学符号和数学形式系统的推演过程，它们都是具有语境相关性的，数学语境刻画着数学系统的整体建构。
其次，数学命题的语义构成也是与语境的语形表征以及语用约定紧密相关的。在具体的数学语境中，语义的构成性取决于数学语境的语用约定以及认识主体对数学命题在语境中的形式可判定性的证实。
第二，要使数学得到恰当的语义解释，语用约定绝不是任意的，数学语境的语用约定必须与主体来源于背景语境的真信念一致。背景语境由认识主体的理论背景、社会文化背景、历史背景汇集而成，它们集中体现为认识主体在特定语境中的真信念。任何有悖于主体在背景语境真信念的任意约定都不会为数学知识的进步发挥任何有益的作用。比如，把1=5作为语用约定来考察1+1=2在弗雷克尔—皮亚诺算术公理系统中的语义解释，显然是不成功的。第三，语义的构成性在本质上是与恰当的语用约定的来源问题紧密相关的。具体地看，语用约定是认识主体的语用目的与主体来源于背景语境的真信念相融合、相统一的结果。比如，对以弗雷克尔—皮亚诺算术公理系统为背景语境的任一特定语境而言，考虑约定“3=3”，其中等号左边的“3”是一个实数，等号右边的“3”是一个自然数。由于“3=3”这一约定与背景语境的真信念是一致的，因而“3=3”在当前语境中可以看成是一个合法的语用约定。因此，语义解释的前提依赖于语境的存在，而数学形式体系和相应的解释理论之间的内在关联又是形成语境的必要条件，只有在语境各要素相互关联的整体中才能找到恰当的数学解释。
总之，语境是语形表征、语义解释和语用约定统一的基底，是语形表征、语义解释与语用约定的结合，这三者之间若没有相互关联同样也构不成“语境”。数学家们基于不同语用目的构建数学的形式系统，即语形表征，同时，形式系统中的推演蕴涵了语形表征的指称对象，即语义的变更。其次，语义解释的实现以语形的符号表征为载体，通过语用约定而得到具体实现。在特定的语境下，只有语用约定才能使语义解释的选择成为可能。没有语用约定的限定和约束，语义解释的多样性就无法得以呈现。总而言之，“没有语形语境就没有数学的表征，没有语义语境就没有数学的解释、说明和评价，而没有语用语境就没有数学的发明。”[3]77因此，数学语境本质上就是语形表征、语义解释和语用约定的统一。
二 数学语境的特征
(一)数学语境的整体性
数学语境是语形表征、语义解释和语用约定相互作用的统一的有机整体。它作为一种特定的关联形式，包含了一切数学理论的、社会的和历史的背景要素。从语境的意义上讲，所有数学对象都可体现在一种整体性关联中。在特定语境中，研究对象、主体及其语境因素都是某种程度上的整体关联，而不再是单独存在的个体，从而消除了传统认识中的绝对主义。
在语境论看来，任何数字只有在一个数学语句中才有意义。数字意义的实现是与它所在的语境相关的。当然，这里的语境并不是指数字出现的数学语句本身，而是指一种非语言层面的语境。数字语境的实在性由语形、语义以及语用的整体交互作用呈现出来。也就是说，数字本身没有任何意义，数字只有出现在语句中才具有获得意义的可能，而真正决定其意义实现的是数学语境的语用约定。数字的语义解释由数学语境中特定的语用目的和语用域面及其出现的语句的语形表征所共同决定。只有在语境中，数字的含义才能具体化。而将语境作为意义的基础，并不意味着数学语境自身就是传统哲学意义上所谓的数学本体，而只是就意义的生成变化和理解过程而言具有本体论的性质或意义，表明的是语境对意义的最高约定。因此，任何数学理论的意义都是由它所在的数学语境确定的，认识主体和被认识对象都是同一语境中的要素，认识主体是语境化了的主体，认识对象是语境化了的对象，认识对象的存在性及其属性能够在语境所表现出的认识主体与认识对象之间的整体关联中得到呈现。如果把数学理论理解成命题的集合，命题与概念的指称和意义是由语境化了的对象决定的，它们的集合构成了对对象的完备描述。从这个意义上说，语境论以数学语境的整体性呈现了数学的实在性本质。
比如考虑将自然数向集合论的各种可能的化归路径，自然数的序列
0，1，2，3…
被认为可以等同于以下两种集合序列：
反数学实在论者会对数学实在论提出质疑：即我们似乎没有关于任何先于自然数的概念能够回答2=｛｛
｝｝还是=｛，｛｝｝。事实上，这种质疑是针对坚持基础主义的柏拉图式实在论者的，而语境论可以化解这类问题。首先，数学理论不再被认为是试图断言某些特定对象的真值，而是在语境中用它来定义高阶概念，其中对象的不同系统都可能以此为基础。比如，皮亚诺算术公理可被认为是定义一个“自然数序列”的概念。由于策梅罗序数和冯诺曼序数都满足皮亚诺公理，那么它们都是自然数序列的范例。对于自然数2=｛｛｝｝还是=｛，｛｝｝的问题，在不同的语境有不同的回答。在语境论者看来，关于2是否指涉任何独一无二的对象的预设，本身是没有意义的。“自然数2”只是依赖于在不同语境中认识主体所使用的是哪一种皮亚诺公理的范例，许多不同的对象都可以扮演数字2的角色，因而数字2无需被特殊对待。我们必须在语境中考察认识主体与发挥2的作用的对象之间的整体关联性，这样才能澄清2的真正含义。
(二)数学语境的确定边界性
语境作为理解科学活动的一个平台，是有边界的。语境的边界是由问题域决定的，或者说语境边界的大小由研究对象的边界大小来决定；语境的边界决定了语言的延伸度。具体而言，如果研究对象是一句话，那么，语境的边界就是这个语句；如果研究对象是一个特殊的问题，那么，语境边界就是这个问题域；如果研究对象是一段特定的历史，那么，语境的边界就是这段历史进程。因此，语境的边界与语境的结构与内容现实地联系在一起。
数学语境边界的确定，首先就在于语形边界的确定。特定的数学解释语境，绝不可能超越给定语言的语形边界，尤其是像数学这样形式化的研究对象，它的语境必然存在着相关的逻辑语法或形式算法语形边界的限制。在数学中，任何一个难题都是给定边界条件下的难题。而给定了边界条件，就是给定了求解相关难题的语境。因此，给定条件下的解，就意味着给定语境下的意义。求一个给定条件的解，就是探索给定语境下的意义，这完全是同一的。离开了特定的语境及其语形边界的约束，数学的演算功能就失去了意义。其次，在确定了语形边界的前提下，相关语境的内在的系统价值趋势也就必然地规定了特定表征的语义边界。因为，只要超越了这一已规定的语义边界，也就超越了该相关语境本身，就会导致语境的更迭。所以语义边界就是语境边界的意义规定，就是语境的语义洞察与价值洞察的统一。正是语义的构成性原则，规定了在特定语境下语义解释的张力范围，确立了语义解释的伸缩度，实现了特定理论表征的语词和命题与相关指称对象和指称世界之间的内在关联。最后，数学的语用也是有边界的。数学对象的意义及其表征系统正是在语用的结构关联中被确定的。在这个意义上，语境并不是不证自明的，它需要解释；而解释也不是任意的，它需要语境的约束。这就是语境的语用边界所发挥的功能。在这个基点上讲，语用边界就是语境边界的使用范围，是语用洞察和背景洞察的统一。正如郭贵春教授所说：“语境的语形、语义和语用边界是一致的，语用给定了语形和语义的边界和趋向，而语形和语义则表征和显现了语用的价值和确定边界的目的要求。”[4]
我们不妨以具体的数学语境为例，进一步说明数学语境的边界性。考虑时标上的动力方程
在数学语境中，当认识主体出于不同的语用目的对T赋予不同的意义时，就为语境划定了不同的边界。当T为实数域时，上述导函数的形式为一个微分方程，它刻画连续情况；而当T为整数域时，上述导函数的形式为一个差分方程，它刻画离散情况；当T为一个既包含离散集又包含连续集在内的集合时，上述动力方程刻画了连续与离散统一的情况。事实上，正是这种语用边界的不断变化和更迭，导致了数学解释的“再语境化”(recontextualization)过程，形成了数学语境的相对确定性与普遍连续性的统一。
(三)数学语境的不断再语境化
数学语境是动态的，而不是静止的。而且，语境在深度和广度上的变化越大，新语境的意义就越深厚，它的丰富的多样性就越具有时代性。一个新语境可以是一个新的目标集合、一个新的理论，甚至一种新的方法……总之，“这种可能性是无限的”。[5]可以说，语境的运动、变化与发展的过程，就是一种“再语境化”的过程。
数学语境是不断再语境化的，不断更迭的。库恩的范式理论强调科学革命，科学的进步在范式的转变中发生，范式之间不可通约。这样，科学理论以及科学进步的合理性在本质上依赖于科学家共同体的约定。在库恩范式研究纲领的导引下，科学哲学被推向了非理性主义，从而取消了科学理论与实在之间的关联。与库恩的范式相比，数学语境是连续的，数学语境之间有着本质的关联，它们都是对实在对象的认识、理解与把握。在这个意义上，数学理论的发展既有累积和连续的因素，也有革命的成分。
下面不妨以数学分析中关于函数可积性条件的认识为例，进一步具体说明我们对数学的认识如何随着语用目的的改变而处于一种不断语境化的过程之中。黎曼(G.Riemann)在研究三角级数时，具体讨论了函数的可积性问题，并给出了积分的定义，简记为
其中极限I为函数f(x)在区间[a，b]上的定积分。
从上述定义中我们不难发现，黎曼积分的理论所要求的条件迫使函数的不连续点可用长度总和为任意小的区间所包围，这就是说，可积函数必须是差不多连续的。它只适用于函数至多有有限个不连续点的情形。于是，对于具有无穷多个不连续点的函数的积分存在性问题出现了。这需要数学家建立一个新的语境，在该语境中函数的可积性条件不仅要满足连续函数，而且应该适用于具有无穷多个不连续点的函数。随着人们对数学分析各种课题的不断深入探讨，积分理论的研究工作也进一步展开。特别是约当(P.Jordan)和波莱尔(F.Borel)等人关于点集测度理论的研究成果，揭示出了测度与积分的联系。而现代应用最广泛的测度与积分系统是勒贝格(H.Lebesgue)完成的。勒贝格积分理论不仅蕴涵了黎曼积分所取得的成果，而且还在较大程度上克服了其局限性。对于定义在[a，b]上的正值函数，为使f(x)在[a，b]上可积，按照黎曼积分思想，
并作和
均为可测集，即f(x)为可测函数时,f(x)是勒贝格可积的。这就是说，积分的对象必须属于可测函数范围。于是在关于函数可积性条件的新语境中，可积函数的条件不仅局限于“基本上”连续函数，而且适用于那些具有无穷多个不连续点的可测函数。我们知道，连续函数一定是可测的，可测函数一定是勒贝格可积的，因此，对于黎曼可积的函数来说，它一定也是勒贝格可积的。黎曼积分是勒贝格积分的一种特殊情况。由此我们不难看出，正是基于不同的语用目的，数学家对函数可积性条件的探讨始终处于不断的认识过程，而这种认识过程本身依赖于不同语境之间的动态更迭。语境之间的关联显然是不能割裂的。在我们对数学的认识继续向前推进过程中遇到新的问题时，数学家们在新的语境中便会根据不同的语用目的作出新的初始预设，使数学的域面不断得到扩大，使新的问题在新的语境中找到答案。
总之，在语境的认识活动中，“超语境”与“前语境”的东西没有直接的认识论意义，任何东西都只有在“再语境化”的过程中融入新的语境之中，才具有生动的和现实的意义。
三 数学语境论进路的意义
在语境论的视角下，研究数学就是研究数学语境。数学语境的本质特征能够反映数学知识产生和发展的整个过程，从而揭示出数学的本质。语境的基本结构表明了对对象的语形抽象、语义解释及语用施行都是具有语境相关性的。数学的语形表征是由数学家们基于语境中的语用目的而构建；形式系统中公式之间的不断推演隐含了语形所指的变化，即语义的变化；语义解释的实现依赖于语形符号的表征以及语用目的和语用域面的规定，语义解释的选择只有在语用的指引和限定下才能成为可能。因而，语境论为数学所提供的语义解释是一种语境化的语义解释。
语境化的语义解释具有相对的确定性，这种相对的确定性是由数学语境的确定边界性以及数学语境的不断再语境化过程所共同决定的。数学语境的确定边界性表明了语义解释是有边界的，即在特定的数学语境中，语义解释是具有确定性的。而随着语用目的的改变和语用域面的不断扩大，语境边界会随之不断变化。语境边界的不断变化和更迭，导致了语义边界的改变。在语境的再语境化过程中，语义解释也处于一种动态变化之中，从而具有一定的相对性。但是，语境化的语义解释不同于任意形式的意义约定，其相对的确定性是以数学语境的再语境化过程的普遍连续性为前提的。数学语境的不断再语境化过程表明数学语境是连续的，数学语境之间有着本质的关联，它们都是对实在对象的认识、理解与把握。数学语境的整体性特征表明，数学对象在特定语境中是一种语境化了的对象，它与认识主体作为语境要素都处于一种整体性关联之中，这种整体关联性就决定了对象是语境化了的对象，语境是对象化了的语境。因此，语境论把认识主体与认识对象作为构成语境的要素统一在同一语境中，不再把数学知识理解为绝对的、终极的真理，而把它看成是语境化的概念，为我们认识数学知识提供了合理的语境论解释。这一根本性的转变，无疑在认识论以及方法论层面都具有重要的意义，更符合数学实践本身。
语境论进路能够为数学提供更合理的认识论解释。语境论的本质是一种关系实在论，它用普遍的关系实在论取代了柏拉图式的实体实在论。语境论用语境化的认识论取代了经验主义的认识论，主张用语境化真理论取代真理符合论。它强调认识主体与认识对象之间关系的语境相关性，语境化真理论与语境论相契合，无疑可以为我们认识数学真理提供合理的说明，且这种说明同样适用于对科学真理的认识。语境化的认识论解释构建了一种动态的交流理性标准。它通过语境的功能来形成和强化概念和理论的意义，在语言的语境化当中、在主体间性的基础上，对理论进行新的意义重建。应当说，语境化的认识论解释可以使认识疆域获得有目的的扩张，脱离给定边界的狭义束缚，获得以问题为中心的重新组合，趋向于从一个视点上来透视整个哲学的所有基本问题。可以说，在阐释数学和科学知识的产生、理解和评价过程上，语境论无不展示出其在认识论解释上所特有的优越性。
我们相信，在数学中提出语境论的解释路径既是数学哲学自身构建的需要，更是调和数学哲学与一般科学哲学的迫切要求。语境论不仅为数学实在论与反数学实在论的论争提供交流、对话的平台，而且它已经成为沟通数学哲学与科学哲学的关键环节。纵观当今包括数学、物理学、生物学、哲学、社会学、人类学、心理学等在内的各个学科，无论是在理论的定位、知识的构造还是方法的使用上，都无不体现着相互间的交叉和融通，只有以语境论为分析基底，才能更好地理解这些学科知识的内在联系。“所有的经验和知识都是相对于各种语境的，无论物理的、历史的、文化的和语言的，都是随着语境而变化的。”[6]可以说，语境论已经深刻地嵌入到了所有学科的哲学探讨之中。总而言之，语境论超越了逻辑经验主义所奠定的僵化的科学哲学研究进路，架起了科学主义与人文主义、理性主义与非理性主义、绝对主义与相对主义沟通的桥梁，因而是一种更有前途且更富有辩护力的新视域，值得我们进一步关注和深入研究。