数学美感浅论，本文主要内容关键词为：美感论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学与艺术、一个以抽象的逻辑思维而见长，一个又以形象思维为特征而相互区别，被认为是处在人类科学世界的“两极”。但它们却有共同的根基和思想脉络，那就是两者在相当大的程度上都是依赖于人的自由想象不断进行创造和发明的。这对离现实越来越远、越来越抽象的现代数学来讲，尤其如此。它们愈来愈象艺术一样，成为人类的创造物，一种任意的结构。以至许多人认为数学家和艺术家及诗人都是想象家，他们工作时，几乎什么都不要，只要一只笔和一叠纸，就能驰骋于思维王国，而不管外部世界给予他们什么？正是依靠思维的创造性，数学家形成了奇特的概念、定理和命题，创造出优美的数学形式和和谐完美的数学体系，使人叹为观止，给人以美的享受和陶冶。人们把这种比之自然美、艺术美更高层次的以数学的理论、体系结构的和谐与秩序而具有的理性美，称之为数学美。
1 数学家的美感体验
正象自然美、艺术美能给人以美的享受，形成美的感受一样，数学家在数学创造过程中或观照美的数学理论时也在心灵深处触发出强烈的美感——数学美感。古希腊欧几里德的《几何原本》所建立的平面几何体系，流芳百世，被公认为是艺术化的杰作，曾是多少数学家和科学家赞叹和陶醉！爱因斯坦曾回忆说，就在他12岁初读这部伟大的著作时，就为这种逻辑推理的伟大力量所激动，并把这种强烈的美感贯穿在他的整个科学创造活动中。他说：“我坦白地承认，我被自然界向人类显示的数学体系的简洁性与优美强烈地吸引住了”。〔1〕。类似的， 数学家华特森在看到雷迈努金公式时说他有一种震颤颤般的美感。对于公式：
他说：这个公式给我一个深入心窍的感觉，这种感觉与我们进入开普莱、梅迪奇的圣器室见到米开朗琪罗装饰在朱里安诺·梅迪奇和劳仑左、梅迪哥墓前的“白昼”、“早晨”、“黑夜”和“黄昏”的质朴美时所感到的震颤没什么两样。彭加勒也深有感触地说：“感觉数学的美，感觉数和形的调和，感觉几何学的优雅，这是所有真正的数学家都知道的美感”。〔2〕对此， 哲学家柯普宁还从一般认识论的角度进行了阐述，认为人们不仅在感受到物质的东西时，而且在感受到以某种形式物化了人的种种活动的产物时，都会产生对美好的、雅致、完善的感受。数学家导出方程式或公式就如同看到雕像、美丽的风景、听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。”〔3〕
由上所述，数学美感就是审美主体（数学家）在对美的数学理论的观照中，对于这种客观存在着的美的主观反映、感受、欣赏和评价。这种美的感受和内心体验，既可能产生于数学劳动的必然结果中，也可能形成于数学劳动的偶然机遇中。往往带有瞬间触发的直觉性的特征。
那么，数学美感具体表现在哪些方面呢？根据数学家的观照具有不同特征美的数学理论的体验，可以看出，它大体表现为和谐匀称感、简洁感和奇异感等。
匀称感
匀称感首先来源于数学理论中的对称美。数学理论中，处处可见人们对自然界对称美的追求和反映。数学中数和形的对称，就象一个人的左右手那样对称着：实数——数轴，复数——平面，平面上的点——有序实数对，函数——图形等等。在代数学中，实数系一元n 次方程虚根的成对出现，解线性方程组的克莱姆法则等，几何学中的中心对称、轮换对称和镜像对称等，也都呈现着对称美。还有数学中的一些分支如群论就是在分析方程根的对称置换中而创立，以对称性为基本内容的。
这种对称美，变化中的不变，是最容易给人以美感的形式。如行列式，人称为“美丽的花园”，“而且每一边都可以扩展”。n 阶行列式由n[2]个元素按行、列排成一个正方形，使人深感其排列的整齐和处处对称，从中得到美的享受。
其次，由于对称性又是各部分之间的匀称与对等，所以对称性又往往与和谐的协调性相联系，而比例的合度又是和谐性的主要标志。凡比例合度的事物都给人以和谐悦目的感觉。数学黄金分割律的研究表明，凡体现黄金分割的比例关系的事物，都给人以匀称感。达·芬奇在其《论绘画》的著作中，也认为美感完全建立在各部分之间神妙的比例关系上。
简洁感
在科学的众多门类中，数学的简洁性程度无疑是最高的。数学家用凝炼、概括、精确而富有形象化和理想化的数学符号，按照严密的公理化方法构建的理论体系，由于其高度的抽象概括性，因而能最多地、最深刻地解释和反映客观事物的本质和规律。观照这种简洁明了的理论，有谁不会产生出简单、洁净的感觉呢？开普勒行星运行第三定律的数学表达式T[2]＝D[3]，是开普勒从大量而又十分凌乱的直接观察资料经过十八年探索得出的。显然，面对几百个杂乱的数字，是不会有什么美的感受的，可是一见到开普勒的T[2]＝D[3]，神奇的“2”和“3”，一种优美、妙不可言的简洁快感便由然而生。难怪他在宣布自己的研究成果时，把书名取作《宇宙和谐论》，从中可想开普勒当时那种欣喜若狂的神态。
奇异感
数学家在自己的研究活动中，经常创造一些奇特的概念，巧妙的方法，而得出一些奇特的甚至不可思议的结果。这种奇异性都能给人以奇妙而新颖的感觉，使人有“出乎意料”和“令人震惊”的意味。在心灵深处感受到一种愉快的惊奇，好奇心的满足。例如，欧拉解决“七桥问题”；并不在柯尼斯桥走走，而是奇特地建立了一个直观模型：把两岸的陆地和两个岛都用一个点，每座桥用一条线接两个点的线表示。得到一个图：
从而使原问题和“能不能把此图一笔画出”同构起来，然后证明此图不重复一笔画出，在数学上是不可能的。从而很容易地解决了这个难题。欧拉解答的优美之处，所以给人以强烈美的感受就在于欧拉出乎意料地借助了直观模型，而且模型虽简单又难于发现，构想新奇。
当然，在数学家的实际审美过程中，其内心体验是十分复杂的。各种感受并非截然分明，而是相互渗透的；有时表现也不很明显，往往难于确切地言明。这正象莱布尼兹指出的，美感是一种混乱的、朦胧的感受，是无数感觉的结合体，由这些微小感觉才形成了审美趣味。所以，彭加勒用了一个含义十分广泛、但又不很确切的概念——“雅致感”来说明数学美感。从彭加勒对雅致感的论述中，“雅致”除含有和谐、匀称、简单的基本意思之外，还包含有新奇的意思，即“出乎意料的雅致感”；包含有“瞬时看法”的意思，即“立刻对整体和细节有清楚的审视和了解”这一直觉特证；包含有非逻辑性，即在数学创造过程中，一个想法逻辑表示还没有形成，结论已通过“雅致感”直觉地得到。
2 数学美感的动力作用和方法论功能
由上所述，数学美感孕育、形成并贯穿于数学创造的整个过程之中，所以它在数学创造活动中发挥着重要的动力作用和方法论功能。
这种作用首先表现在数学美感能够激发数学创造的激情，为攻克数学难题带来持久的内在动力。在一般人看来，从事数学劳动，永远是一种十分贫乏和苦闷的工作。其实不然，对于数学家，特别是对具有强烈美感和美感意识的数学大师来说，研究数学如同观赏大自然的美丽风光一样是充满乐趣的。数学家张奠宙说，数学的美“使人们叹为观止，以致不少人在数学的天地流连忘返，把欣赏数学当作一种享受。”对于希尔伯特，数学无疑更美，他说数学“在我们眼里，就象一座鲜花盛开的园林。花园里有被人踏就的路，空闲时你可以循着它去观花赏景。”〔4〕数学家这种美的享受，不仅给数学家不断带来新的乐趣， 同时又成为不断攻克数学难题的持久动力。因为数学家如醉如痴地研究数学，往往很难用个人的功利得到说明。我国数学家陈景润，为摘取数学皇冠（数论）上的明珠（哥德巴赫猜想），身居六尺陋室，一头钻进数学的王国里，似痴若愚，通霄达旦地钻研，就是因为他觉得唯有数学这个科学的王国，才是他的“极乐世界”，一进入这个天地，就“几乎忘掉一切”。他说，“在充满公式、数字和符号的世界中，我感到兴趣盎然，富有奇特的诗意。”“并看到自己生命的价值，感受到这种不断探索的思维活动给我带来的精神享受。”〔5〕
其次，更重要地，数学美感还经常是启发引导数学达到重大发现和发明的桥梁。即“以美启真”是经常存在的。彭加勒认为，优秀数学家的本质特征就在于他有很强的直觉。由于直觉，他们往往很快地测到这里或那里可能隐藏着数学的本质和精髓。但他所说的直觉，并不是我们通常谈的感官上的直觉，而是和美感经验及美感意识联系在一起的，是由于数学家的职业特点，对数学的内容和方法十分精通，从而逐步形成的一种美感直觉。彭加勒根据自己发现富克斯函数的经历，应用心理学的成果，专门研究了数学创造思维的一般心智过程。他把这一过程总结为无限循环的“三段式”：有意识——无意识（下意识）——有意识。在整个大的三段式结构中又由许多小的三段式链条连成。他强调指出，无意识的自我“在数学创造中起重要的作用。”因为“发明者的真正工作就在于在这些组合中进行选择”。而这种选择不能仅靠逻辑的法制和按照固定的规律机械地完成，因为“这种组合数极多，但大都无用。”在选择中，必须依赖某种情感，即“一切真正数学家都知道的审美感，”“正是这种特殊的审美感，起着……微妙的筛选作用，……缺乏这种审美感的人，永远不会成为真正的创造者。”〔6 〕美国数学家哈代在总结自己的数学研究后，也得出同样结论“发明就是选择，选择不可避免地由科学上的美感所支配”。
彭加勒的观点，已为许多数学家和哲学家接受。我国著名数学家，数学哲学家涂治利在对数学创造的一般心智过程进行研究概括时，就肯定并吸收了彭加勒的观点。〔7 〕一些科学哲学家还从认识论的高度把它概括为“以美启真”的方法。认为真和美往往是统一的。著名物理学家海森堡有一句名言：“美是真理的光辉”，“探索者最初是借助于这种光辉，借助于它的照耀来认识真理的。”〔8〕
第三数学美和美感还是检验数学真理的重要辅助方式。即所谓“以美审真。”
数学的真理及其检验是一个极其复杂的过程。实践是检验真理（包括数学真理）的唯一标准，这是大多数科学家的信条。但这只是从数学应用到实践中去的最终意义上理解的，是相对于整个数学理论体系而言的。数学尤其是现代纯粹数学越来越成为一门思维性科学，研究的对象往往是一些远离客观现实的“自由”创造物。这种“任意”结构可能没有实际应用，即往往难以回到实践中去检验。而且，就是数学理论可以回到实践中去检验。但正象数学家狄拉克指出的，有时数学形式的美要比理论与实验的符合更加重要，因为数学美感引发的美的数学与普通的自然规律有关，而理论与实验的符合常与一些具体细节有关。逻辑证明作为检验科学真理的重要辅助手段，也只能在已有的科学和数学规范下发挥作用，不能带来革命性的新理论，而且，在很多数学问题上，逻辑证明是很费时间的。例如数学中的许多猜想象哥德巴赫猜想的证明，经历了几百年还未彻底解决，可当年哥德巴赫凭直观（其中包含美和美感的鉴别）很快得到这个猜想，现在虽然没有最终证明，但已无人怀疑其正确性，可见美感的鉴别往往是有效的。欧几里德建立平面几何体系时，为了使之构成完善的科学体系，从数学美学的观点出发，给出了第五公设。由于这一公设是欧几里德为了体系的完美需要才添加的，加之第五公设不如其它公设那样使人一看就明白，所以在其以后的两千多年里，许多数学大师都想用其它公设或公理代替第五公设，但都遭失败。这说明出于美学的考虑和受美感意识的支配，在数学理论体系的构建中也是一个非常重要的因素。因此，象彭加勒一样，许多数学家在数学创造阶段，常常是在和谐、匀称、简单、奇异等美学原则的指导下较快地构思出他的整个理论，或超越逻辑直接得出某种数学理论（如哥德巴赫猜想），并直观地相信它是真的。当然这种“以美审真”的方法，虽然是一个很有价值的方法，但它不总是正确的和可靠的，具有不确定性。它最终不能构成为检验真理的标准，最多只是探索和鉴别数学真理的一种辅助方式，就如在函数论、群论等众多数学分支有着重大贡献并对数学美进行深入研究的美国数学家魏尔曾经说：“我的工作总是努力把美和真联系起来，而当我必须作出选择时，我是常选择美的”。逻辑证明只是检验真理的辅助方式的一种。
3 数学美感的本质特征
同其它形式的美感相比较，我们认为，它的主要特征在于数学美感是一种抽象美感。彭加勒在谈到数学美时强调：“我这里谈的美，不是我们的感官印象的美，也不是质地美和表现美。我的意思是说那种比较深奥的美，这种美在于各部分的和谐秩序，并且纯粹的理智能够把握它。正是这种美使物体也可以说使结构具有让我们的感官满意的彩虹般的外表。”〔9〕数学家在观照美时“他们惊奇不已， 他们感到美的特征，尽管感官没有参与其中，难道他们不高兴吗？”〔10〕。从彭加勒的论述中，可以看出，数学美感不同于自然美和艺术美而获得的美感，更区别于生理快感。自然美感和艺术美感主要是由主体的视觉、听觉等感官接受并产生的。而由于数学美是一种抽象的理性美，所以数学美感是通过抽象思维、通过严谨的概念，判断和推理运动或瞬间直觉理解和把握的。或者说，这种美感主要来自于人的心智对客体内在美的领悟，而不着重人的肉眼对研究对象外在美的观赏。因此，美的数学理论和艺术作品的美学功能不同，前者主要使人赏心，而不完全使人悦目。这是数学美感同其它美感的主要区别之所在。
其次，同一般美感相比较，奇异感不仅是数学美感的根本所在，也是数学美感的主要特征。因为数学家的研究活动总是和“好奇心的满足”紧密联系着。
从它们的相互联系来看，首先从审美效果看，人们对数学理论和艺术作品的主观反映，感受、欣赏和评价时获得的美感及强烈程度，是没有多大差别的。比如，数学家在作出数学发现的瞬间或在他的理论完成时的心情同艺术家灵感涌现或艺术珍品将要竣工时的心情是非常类似的。海森堡在谈到他进行数学的矩阵元计算时，当发现自己窥测到自然界异常美丽的内部时，就象听到最优美的乐章一样几乎感到要晕眩了。
其次，艺术美理论中通常谈到“真、善、美”三位一体的问题，数学美感同数学真同样密切相联。数学真和美是同一个事物的两个不同侧面。一个正确的数学理论，就其反映客观事物的本质和规律而言就是真，就其表现于人的能动创造力而言则是美。所以海森堡有一句名言：“美是真理的光辉”。不仅如此，正象怀海特早就指出的，数学还是真善美的辨证统一。因为数学的真最终必然是合乎目的的、体现其价值的即善。
就本质而论，数学美感同其它美感是基本相同的，都是从精神方面对人的本质力量的自我观照，是对凝结、物化在审美对象中自身本质力量的直接观照。但是“因为数学科学是人类精神从外界借取的东西最少的创造物之一，……因此，它们就愈加充分地让我们在本质上了解人类精神。”〔11〕它最能体现人的智慧才能，人的本质力量，所以，人们对数学美感的体验往往更为强烈和深刻。当然，这种美感的体验，以精通数学理论和进入数学创造为前提，并非任何人轻易获得。这正象马克思指出的：“对于不懂音乐的耳朵，最美的音乐也没有意义。”数学美的鉴赏力需要数学家在自己的数学实践中，不断与审美对象接触和锻炼，才能提高。而且，由于数学劳动的复杂性和艰巨性，往往只有那些智力超群、品质卓越的人才有可能获得成功，在成功的欢快气氛中，获得美的享受，体验到人类创造力量的伟大。这就是为什么只有那些科学家和哲学素养水平极高的数学家和物理学家才喜欢谈数学的美，也容易理解为什么大多数人如艺术家和美学家对科学美和数学美持否定态度。