提炼基本图形，妙解面积问题，本文主要内容关键词为：图形论文,面积论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在习题课的教学中，要提高课堂教学的有效性，关键要使学生将复杂问题简单化，在较短的时间内抓住问题的本质，这样可以达到举一反三、触类旁通的目的.这一切都需要教师在教学过程中不断地培养学生发掘、提炼、总结基本图形，以达到“做一题，通一类，会一片”的效果，从而提高学生的数学素养和创造性地解决问题的能力.本文展示一类函数视角下面积问题的研究.
基于图形：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽（a）”，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”.我们可以得出一种计算三角形面积的新方法
，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
上述证明自然平实，无任何技巧，属通性、通法.从常规的思维出发，用最基本的方法解决问题，应该成为我们的解题追求.
一、基本图形的应用
在解决这类问题时，首先要识别出基本图形，这对提高学生的几何解题能力有直接的促进作用.因此，在习题课教学中，教师应重视经验型基本图形的挖掘、探究，并引导学生深入剖析基本图形，抓住问题本质，使学生肯质疑、善思考，切实提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.
（1）求一次函数的解析式；
（2）已知双曲线在第一象限上有一点C到轴的距离为3，求△ABC的面积.
解：（1）一次函数的解析式为
（2）由第一象限内点C到y轴的距离为3，得点C的横坐标为3.
进而得点C的坐标为（3，2）.
故点A、B的坐标分别为（1，6），（-6，-1）.
②（方法2：作水平平行线）添加辅助线如图5所示，直线AB的解析式为y=x+5.
易得点F的坐标为（-3，2）.
进而可求得水平宽CF=6，铅垂高DE=6-（-1）=7.
[点评]此题是直接利用基本图形计算面积问题.看似简单，若能从不同角度对它进行分析，就可以深刻挖掘试题的价值，也有助于我们更好地把握知识之间的联系，体会灵活运用基本图形的重要性.此题不但可以深化基本图形，而且能挖掘知识内容，这样既巩固了基础知识，开拓了解题思路，又提高了发现问题、分析问题、解决问题的能力.
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时点M的坐标.
二、基本图形的推广
在解得问题答案之后，如果引导学生及时将试题的结论进行更深层次的探究，抽象、概括、拓展、总结成公式并加以应用，不但可以激发学生主动探索知识的欲望，培养学生学习数学的兴趣，而且还可以提高学生类比、联想，以及分析、处理问题的能力.
当基本图形中的铅垂高不在三角形内部时，是否也能运用上述结论呢？答案是肯定的.
（1）底边为2，顶点在直线y=x+2上且面积为21的等腰三角形位于图中什么位置？
所以在y轴的右边从左到右第10个或在y轴的左边从右到左第12个.
所以y轴右侧的每一个等腰三角形的面积都等于前后两个以腰为一边的三角形面积之和的一半.
[点评]此题与例1相比难度明显加大，第（3）小题考查的更加隐蔽.但考查的立足点仍然是基本图形的构造.以基本图形探讨某种情境或特殊情形下的解题思路与方法，然后将其进行拓展，推广到一般情况，进一步探究相关结论，解答此类问题的关键在于由特殊到一般、由简单到复杂的思维方式，这类试题不仅结论可以类比，而且思维方式、证明过程及说理过程也可以通过类比得出.
练习2如下页图10，抛物线
经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB.
（1）求该抛物线的解析式.
（2）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等.若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由.
（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等.若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由.
三、基本图形的引申
波利亚曾指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在四周找找，很可能四周就有好几个.”这句至理名言寓示着复习本身就是一个“串点成线”的过程.这一过程实质上是学生对基本图形系统内化并达到个性化和创造性拥有的过程，也是师生有效互动、预设与生成自然交融的过程.思考讨论中，学生自觉运用原有的知识储备，各个知识点不断被激活，探索的视野不断得以开阔，知识之间不断产生新的链接.理一点、明一片，理一片、会一面，不知不觉中，学生完成了对整个知识网络的新的建构.这样的梳理，远比反复背公式、一再做题目要深刻得多.
（1）求b、c的值；
（2）点E是Rt△ACB斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下：
①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；
②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.
解：（1）易得b=-2，c=-3.
②如图14，能求得满足条件点P的坐标为
[点评]对一道典型试题的拓广、引申，将概括出来的新结论、新方法应用到具体问题中，体验问题之间的关联性，不仅让学生加深了对这个基本图形的理解，同时对减轻学生负担，将学生从“题海”中解脱出来，训练和培养学生思维的创造性和深刻性有一定的促进作用，这样的典型试题，多归纳总结，多分析感悟，定能起到事半功倍的效果.
练习3 如图15，抛物线
与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线上中另有一点A在第一象限内，并且∠BAC=90°.
（1）填空：OB=______，OC=______；
（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得到△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；
（3）如图16，设垂直于x轴的直线l：x=n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值.
以上我们展现了对一道试题探究、创新（这里主要指引申的几个结论）的过程，目的是要告诉学生，数学的创新与发现并不神秘，只要我们遵循数学研究的基本规律，从已有的具体问题出发，将特殊问题一般化（推广），或一般问题特殊化，或将已有问题作横纵向的类比（引申），或将问题逆向思考，总会发现、提出新的问题，并不断引导学生去总结一些基本图形，吃透这些基本图形的本质，然后让学生在以后的解题过程中，遇到复杂的图形时会识别这些基本图形，最后在熟练掌握这些基本图形的基础上学会构造这些基本图形，从而培养学生思维的广阔性、深刻性和创新意识.