“几何概型”教学必须关注的三个问题，本文主要内容关键词为：几何论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“几何概型”是新课程新增加的内容之一，数学课程标准将其定位为：信息化的现代社会“统计和概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识”，要求学生“初步体会几何概型的意义，会进行简单的几何概率计算”.“几何概型”这一教学上的基本要求并不意味着其课堂教学的简单化、机械化，然而，在实际教学中，却大量存在着由于教师重视不够、研究不深而引发的肤浅、粗糙的现象.笔者以为，“几何概型”教学中有三个主要问题必须重点关注、正确处理.
问题1：如何厘清几何概型计算公式的合理性？
古典概型的计算是在大量随机试验的基础上，通过统计，借助于频率的稳定值来替代概率的，因为试验次数是正整数，基本事件是有限的，所以古典概型处理的离散问题，可以进行直接计算.几何概型研究的随机试验尽管仍然是等可能的，但基本事件有无限个，无法统计试验的基本事件的次数，因此，几何概型的计算就面临着如何进行合理的替代计算的问题.在苏教版高中数学必修3中，“几何概型”编排在第三章第三小节，教材通过若干类型的例题引进相应测度求几何概型，并给出了计算公式，但没有说明这种替代计算的合理性.这就需要教师深入教材、细化教材，厘清两个对象之间的逻辑关系，提升学生的理性思维能力.
教材的两个引入情境是：
（1）取一根长度为3m的绳子，如果拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？
（2）射箭比赛的箭靶涂有5个彩色得分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会射箭比赛箭靶的靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭.假设射箭都能中靶，且射中靶面上任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？
教学时，首先要引导学生用点来代替基本事件，每个基本事件对应于在某个具体的可以度量的几何图形中随机地取一点.情境1中，无法计算剪的次数，但可以建立“每剪绳子一次→线段上一点”的对应，在此基础上建立“无数次的随机剪→线段上所有的点”的对应.当然，此处还要特别强调由于剪的随机性，得到的所有的点是布满这条线段的，或者说这些点在线段上是连续分布的.最后建立“剪的数量→线段长度”的对应关系.通过这样的“数（次数）→形（点）→数（长度）”的转换过程，解决无限性无法计算的问题.对于情境2，同样应借助于这样的“数（次数）→形（点）→数（长度）”的转换，在“射中靶面→圆面上一点”的对应基础上，顺次建立“无数次射中靶面→圆面上所有的点”的对应以及“射中次数→圆面面积”的对应.
其次，要让学生感受并接受、理解上述的对应是内在的、逻辑的，因此，用相对应的几何图形的测度（长度、面积、体积等）来描述基本事件的总数和某个事件中包含的基本事件数量是合情又合理的，最终建立的度量公式是自然的、合理的.
只有让学生的思维经历直观感知、抽象概括、反思与构建的过程，让学生有机会对客观事物中蕴含的数学模型进行理性思维，才能真正提高学生的思维能力.
问题2：怎样理解几何概型，才是真正把握了概念的本质？
数学概念是数学大厦的基石，让学生准确理解概念是数学教学的重中之重.只有准确地理解了概念，才能准确地表述概念和准确地运用概念.几何概型概念的定义，不属于数学概念中的严格定义性，它是一种归纳性的描述定义.它是对一类可以借助几何图形的测度进行计算的概型的归纳.
（一）几何概型的特征不仅仅是等可能性和无限性
从教材内容安排的顺序看，几何概型在古典概型之后，这就使得很多教师把两种概型当做了互为矛盾的关系，从基本事件是否有限的维度分类为“有限”“无限”，并作为两种概型的不同特点.其实，这种说法是不正确的.几何概型的特点（特征）指的是几何概型所特有的性质，是几何概型区别于其他概型的关键.也就是说，根据这个特点（特征）就可以判断其为几何概型.举一个典型的反例：在全体实数中取一个数，求取到有理数的概率.这个试验中的基本事件是等可能的，有无数个，满足几何概型的两个特点，但是能用几何概型来解决吗？答案显然是否定的.所以，不能把等可能性与无限.性作为几何概型的特征，在教学中要防止把两种概型作为矛盾对立面的行为.
那么，究竟什么是几何概型的特征呢？基本事件的等可能性和无限性仅仅是构成几何概型的必要条件，笔者以为，几何概型的特征是可以建立随机试验与某个可度量的几何图形之间的对应关系，且这种对应是符合逻辑的，不是牵强附会的.
（二）几何概型的概念重在建模
几何概型概念的理解，重在对试验的正确建模.建模分三个层面：第一个层面是随机试验的对象与某个可度量的几何图形之间具有合理的对应关系，即首先要确定一个可度量的区域D.它既可能是问题中直接提供的图形，也可能是需要学生转化后对应的图形，如情境1中的线段.第二个层面是对基本事件的建模，教材上的表述是“每个基本事件可视为从区域D中随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样”.有教师认为这也相当于“把基本事件理解为一个点”.其实，“可视为”的数学本质是对应，是建立一个实际问题与数学模型之间的合理对应关系，因此，“每个基本事件对应于区域D中随机地取一点”的说法更具有数学味.不同的说法既可能是概念多样性的不同表述，但也可能导致对概念的本质理解产生偏差.教师在试图用自己的语言对概念解读时，要再三斟酌，不能为了过分的“通俗”而使学生对概念产生误解.第三个层面是对某个随机事件A的建模，随机事件A的发生对应着在区域D内恰好取到某个指定的区域d，区域d的确定一般从试验的问题中去建立相对应的模型.
问题3：概念的应用就是单纯地运用计算公式解题吗？
在运用概念解题时，教师一定要引导学生学会用概念解题的思维方法，即从概念的判断开始，围绕概念的要素分析题意，最后回到概念，加深和丰富概念的内涵和外延.从表面上看，本节是在运用几何概型的计算公式解题，其实不然，公式的应用不能仅仅停留在代数字计算的技能层面上，重点是要寻找实际问题中的数学模型，即能否建构随机试验与某个几何图形之间的对应，着力点应在利用公式之前.“几何概型”一节中的例题都是从实际问题中建立数学模型，教学时要引导学生反复读题、仔细读题，从以下三个层面来分析问题：（1）随机实验的结果是否具有等可能性；（2）随机事件的几何模型是什么，即区域D与d的形状；（3）区域D与d的测度.其中，第二个层面是最关键的，需要指导学生抓准题目的关键词，即“题眼”.教材中的例题3与习题3.3第6题的背景相似，但研究对象不同，前者为“点”，后者为“射线”，度量的测度随之而变，分别是“长度”“角度”，所以结果自然也就不同.
教材中的例2的处理是一个难点.例2是这样的：
在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10ml，含有麦锈病种子的概率是多少？
教学该例题时，很多教师为了形象生动起见，常常画出一大一小两个容器，说基本事件是在大容器内取一点，关注的事件是点落在小容器内.笔者以为，这样的建模是错误的.按照这些教师的说法，如果假设基本事件是在大容器内取一点的话，那么它跟小容器内的点有什么关系呢？也就是说，如果把小容器看做事件A的话，根据这些教师的解释，事件A中就不包含基本事件了.这显然是违背逻辑的.究其原因，在于这些教师没有准确理解这里蕴含的几何概型，致使建模产生了偏差.数学概念的教学，不能仅仅为了追求直观而忽视对概念本质的理解；不反对教师用自己个体感受的语言阐述概念，但千万不能违背概念的本质.例2正确的建模过程应该是：
第一步，将种子抽象成点.那么1L小麦种子就抽象成一个容积为1L的几何体，即为区域D；10 ml小麦种子就抽象成容积为10ml的几何体，即为区域d.而麦锈病种子这一个点在几何体中任一处出现的机会是随机的、均等的，因此，可下结论判断这个概型是几何概型问题.
第二步，分析随机事件A.在取出来之前，这10ml，几何体处于1L几何体里面，形状和位置足特定的，由于基本事件对应为在1L几何体内随机地取一点，从而关注的事件A对应为取出的一点恰好落在10mL的几何体内.
第三步，利用几何概型的计算公式进行计算.因为几何图形是空间图形，其对应的测度是体积，所以用区域d和区域D的体积之比作为所求概型的概率.
事实上，本文所提出的这三个问题恰好是教学“几何概型”这一节时需要把握的三个主要环节.在新课程背景下，教师应该更加重视对教材的研究.希望本文能够提供一个教学内容分析的点状的案例.